n√a - hunzikers jimdo page!

Formelsammlung Mathematik
Berufsmaturitätsschule Zürich
Gestaltung und Kunst
Mengen
Elemente
a∈ A "a ist Element von A"
a∉ A "a ist nicht Element von A"
G
A
A ∖B
Teilmengen a⊂A "a ist Teilmenge von B"
A⊄B "A ist nicht Teilmenge von B"
A∩B
B∖ A
Vereinigungsmenge
A∪B
Schnittmenge
A∩B
A∖B
Differenzmenge
B
"A ohne B"
Zahlen und Terme
Zahlenmengen
Grundoperationen
Natürliche Zahlen ℕ
=
{ 0 ,1 , 2 ,3 , 4 , ... }
ℤ
ℤ−
ℤ+
Rationale Zahlen ℚ
Reelle Zahlen
ℝ
=
{ ... ,−3 ,−2 ,−1 , 0 ,1 , 2 , 3 , ... }
=
{ x ∈ ℤ; x < 0 }
( analog: ℚ − , ℝ− )
=
{ x ∈ ℤ; x ≥ 0 }
( analog: ℚ+ , ℝ + )
Ganze Zahlen
a
a
= Menge der Brüche
= Menge der rellen Zahlen. Jeder reellen Zahl
entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt. Zudem gilt: ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
=
b
∙
c
Summe
=
Subtrahend
a
c
Differenz
b
=
Faktor
a
:
c
Produkt
b
Dividend
=
Divisor
c
Quotient
Binomische Formeln
( ab ) c = a ( bc ) = abc
a+( b+c )
b+a
ab = ba
ab+ac
ac+ad+bc+bd
( a+b )+c =
Assoziativgesetze
a+b =
Kommutativgesetze
(
a b+c ) =
Distributivgesetz
( a+b )⋅( c+d ) =
Ausmultiplizieren
a⋅c
b⋅c
a :c
b :c
2
Subtraktion
Multiplikation
Division
[ a , b ] = { x∈ℝ ; a ≤ x ≤ b }
{−aa ,,
falls a ≥ 0
falls a < 0
2
2
( a+b)
= a + 2ab + b
2
2
2
( a−b)
= a − 2ab + b
2
2
(a+b)(a−b) = a − b
a c ad +bc
+ =
b d
bd
a c ad −bc
− =
b d
bd
Addition
Betrag und Intervalle
a,b ∈ ℝ , a < b
∣a∣ =
−
Faktor
Rechengesetze
Betrag
b
Summand
Minuend
Irrationale Zahlen ℝ∖ ℚ = Beispiele: √ 2 , π , e . Diese Zahlen sind nicht als
a
Bruch b zweier ganzer Zahlen darstellbar.
Bruchrechnen
a
=
Erweitern
b
a
=
Kürzen
b
+
Summand
a c
a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
a c
a⋅d
: =
b d b⋅c
[a , b [ = { x∈ℝ ; a ≤ x < b }
abgeschlossenes Intervall
halb-offenes Intervall
]a , b ] = { x∈ℝ ; a < x ≤ b }
halb-offenes Intervall
] a , b [ = { x∈ℝ ; a < x < b }
offenes Intervall
Potenzen und Wurzeln
Definition
Potenz: ax
n-te Wurzeln
Exponent
1
1
an =
Basis
negative Exponenten
a0 = 1
a−1 =
a1 = a
−n
n
a
a = a⋅a⋅a⋅...⋅a
Potenzgesetze
(n gleiche Faktoren)
1
a
a
n
()
1
1
= n=
a
a
m
n
=
n
a 2 = √a
√a
n
√ am
n
= ( √ a)
n
−3
√ a⋅ n√ b = n√ ab
4
2
a ⋅b
c ⋅a
1. −4 5 = 5 3
c ⋅d
d ⋅b
2.
() ()
a
b
−x
b
=
a
2.
m
x
Version April 2017, (c) Thomas Hunziker, dipl. math., dipl. ML
√ √ a = n√ m√ a = n⋅m√ a
mn
am
an
= a m−n
3. a n⋅b n = (ab)n
Wurzelgesetze
Faustregeln
2
1. a m⋅a n = a m+n
n
√a
n
√b
=
√
n
a
b
(ab )
4.
an
=
bn
n
5.
( am)n = am⋅n
Griechisches Alphabet
Alpha
Beta
Gamma
Delta
α
β
γ
δ
Α
Β
Γ
Δ
ε
ζ
η
θ
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Ε
Ζ
Η
Θ
Jota
Kappa
Lambda
Mü
ι
κ
λ
μ
Ι
Κ
Λ
Μ
Nü
Xi
Omikron
Pi
ν
ξ
ο
π
Ν
Ξ
Ο
Π
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
ρ
σ
τ
υ
Ρ
Σ
Τ
Υ
Phi
Chi
Psi
Omega
φ
χ
ψ
ω
Φ
Χ
Ψ
Ω
Funktionen
Bezeichnungen
Funktion
D
W
Nullstellen
f: D → W
x → y = f(x)
Eine Funktion ordnet jeder Zahl x aus einer Menge D genau
eine Zahl y zu. Funktionen werden meist mit Kleinbuchstaben
bezeichnet: f, g, h, ...
(lies: "f von x")
y
Die Definitionsmenge D einer Funktion f : x → y ist die Menge
aller x-Werte, für die die Funktionsgleichung definiert ist.
graph(f)
W
Die Wertemenge W einer Funktion f : x → y ist die Menge
aller möglichen y-Werte. Diese heissen Funktionswerte von f.
f(x)
P ( x∣f( x) )
Die x-Werte, bei denen der Graph von f die x-Achse schneidet
bzw. berührt, heissen Nullstellen von f.
D
x
x
Lineare Funktionen
D=R
m, q ∈ ℝ
Funktionsgleichung y = mx+q
Graph
Der Graph einer linearen Funktion f ist eine Gerade mit
der Steigung m, welche die y-Achse im Punkt (0 |q)
schneidet.
Steigung
m =
y −y
y −y
Änderung in y-Richtung
Δy
=
= 2 1 = 1 2
Änderung in x-Richtung
Δx
x2− x1
x1 −x2
Quadratische Funktionen
D=R
a , b ,c ∈ ℝ
a≠0
2
Scheitelform
y = a (x−u) + v
Grundform
y = ax 2 + bx + c
Scheitelpunkt
Graph
( ∣
S ( u∣ v ) = S −
b 4ac −b 2
2a
4a
)
y
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel mit
dem Scheitelpunkt S, deren Öffnung vom Parameter a abhängt.
a>0 :
a<0 :
Nullstellen
mit Scheitelpunkt S(u | v)
a>0
S
Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Die Parabel ist nach unten geöffnet.
S
a<0
x
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion f sind die
Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung.
Quadratische Gleichungen
Lösungsformel
Normalform
ax 2 + bx + c = 0
Auflösungsformel
x 1, 2 =
Diskriminante
Die Diskriminante D = b 2−4ac
entscheidet über die Anzahl Lösungen:
Zerlegung
Linearfaktoren
(Satz von Vieta)
(a≠0)
−b ± √ b 2 − 4ac
2a
D > 0 : zwei Lösungen
D = 0 : eine Lösung
D < 0 : keine Lösung
}
in ℝ
Sind x1 und und x2 die Lösungen der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 , so lässt sich diese in
Linearfaktoren zerlegen:
b
c
ax 2 + bx + c = 0 = a( x−x 1)( x− x2 )
mit
x1+ x2 = −
und x1⋅x 2 =
a
a
Verhältnisse
Strahlensätze
Goldener Schnitt
V-Figur
Wenn AB∥ A ' B' , so gilt:
X-Figur
Aꞌ
A
B
S
S
B
Aꞌ
A
Bꞌ
Bꞌ
1.
SA '
SB'
=
SA
SB
2.
SA
SA '
=
AB
A 'B '
AB
AT Major
1+ √ 5
=
=
=
=
AT
TB Minor
2
Φ = 1.618 ...
Zentrische Streckung
Eine zentrische Streckung ist durch ein Streckzentrum S, einen Streckfaktor k
und folgende Abbildungsvorschrift gegeben:
Jedem Punkt P der Ebene bzw. des Raumes wird genau ein Bildpunkt P'
auf der Geraden durch S und P zugeordnet mit SP ' = k⋅SP .
S
A
Eigenschaften:
Für
den
Flächeninhalt
A
a ∥ a ' , b ∥ b ' , ...
Für den Streckfaktor k gilt:
bzw. das Volumen V gelten:
SP'
2
a ' = k⋅a , b ' = k⋅b , ...
A ' = k ⋅A
k=
3
SP
V ' = k ⋅V
α = α' , β = β' , ...
C'
C
α
a'
a
b
b'
B
c
B'
α'
c'
A'
Trigonometrie
H
A
G = Gegenkathete von α
α
A = Ankathete von α
G
H
α = sin−1
cosα =
A
H
α = cos−1
G
tan α =
A
−1
α = tan
am Einheitskreis
y
1
P
α
cos α
−1
tan α
G
α = spitzer Winkel
H = Hypotenuse
( GH)
( AH )
( GA )
sin α =
sin α
am rechtwinkligen Dreieck
1
x
−1
Datenanalyse
Variablentypen
Diskrete Merkmale:
Stetige Merkmale:
Qualitative Merkmale:
Säulendiagramm
Sie nehmen nur bestimmte Werte an, z.B. ganze Zahlen.
Beispiele: Anz. Geschwister, Augenzahl beim Würfeln
Diese können jeden beliebigen Wert in einem Intervall
annehmen. Beispiele: Zeit, Länge, Gewicht, Volumen
Sie können nicht als Zahlenwerte angegeben werden.
Beispiele: Augenfarbe, Geschlecht, Nationalität
Gegeben eine Stichprobe x1, x2, …, xn
7%
6.3%
6%
5%
Balkendiagramm
Flüchtlinge weltweit 2014
Afghanistan
Syrien
Somalia
Sudan
DR Kongo
Myanmar
Irak
Kolumbien
Vietnam
5.7% 5.7%
4.6%
4%
3%
2%
1%
Tierarzt Fuß- Polizist Pilot
baller
2'556'600
2'468'400
1'121'700
649'300
499'500
479'600
401'400
396'600
314'100
Histogramm
Kreisdiagramm
Körpergrösse von 20 Personen
„Mögen Sie den Song
'Last Christmas'?“
Stichprobe:
Alle für eine Untersuchung relevanten Personen oder
Objekte
Eine Teilmenge der Grundgesamtheit
Stichprobenumfang n:
Urliste:
Die Anzahl der untersuchten Personen oder Objekte
Die Liste der unsortierten, unbearbeiteten Daten
Geordnete Stichprobe:
Rang:
Die sortierte Liste der Daten
Die Position eines Wertes in der geordneten Stichprobe.
Bei mehreren gleichen Werten wird der Mittelwert der
Position genommen.
Streifenplot
Streudiagramm
Absolute Häufigkeit:
Anzahl Beobachtungen
Reichweite von E-Bikes in km
Ehepaare
Relative Häufigkeit:
absolute Häufigkeit
Gesamtzahl
Standardabweichung:
x
=
√
Anzahl Personen
2
Ja:
53.7%
0
150 160 170 180 190 200 cm
50
60
70
80
A
B
(x 1 −x )2 + (x 2 −x)2 + ... + (x n −x)2
n−1
Gegeben eine geordnete Stichprobe von n Zahlen
Der Median (Zentralwert) x ̃ ist der Wert, der an der mittleren Stelle steht. Ist n eine
gerade Zahl, ist der Median der Durchschnitt der beiden in der Mitte liegenden Werte.
Berechnung von Q1 und Q3: Teile n durch 4, runde wenn nötig auf die nächste ganze
Zahl auf. Nenne die erhaltene Zahl p. Dann steht Q1 an der p-ten Stelle von links, und
Q3 steht an der p-ten Stelle von rechts!
Interquartilsabstand:
Nein:
46.3%
4
40
x 1 + x 2 + ... + x n
n
SD =
6
IQR = Q3 − Q1
90
Das Alter des Ehemannes
Mittelwert:
=
8
Modell
Grundgesamtheit:
Umfrage „Wunschberuf“
70
60
50
40
30
20
10 20 30 40 50 60 70
Das Alter der Ehefrau
Boxplot
Minimum
Median (=Q2)
Q1
(erstes Quartil)
Q3
(drittes Quartil)
Maximum
Planimetrie
A: Flächeninhalt (Area)
Allgemeines Dreieck
A=
b
a
hc
c
A
2
2
a
a
A = a⋅b
d
c
hb
d = √ a 2+b 2
•
Kreis
e
A=
f
r: Radius
u = 2πr
M
e⋅f
2
h
t: Tangente
s
V: Volumen
h: Körperhöhe
Stereometrie
S: Oberfläche (Surface)
S1, S2, ... : Seitenflächen
Würfel
a
h
G
a
A = m⋅h
a
A=
d: Raumdiagonale
V=
V=
S = 4π r
G⋅h
3
2
M = 2 πr h
h
S = 2 π r (r+h)
r
Gerader Kreiskegel
E: Anzahl Ecken, F: Anzahl Flächen, K: Anzahl Kanten
4
4
6
Tetraeder
2
V = πr h
S = G + S1+...+Sn
G
d = √ a 2+b 2 +c 2
4 πr 3
3
Gerader Kreiszylinder
h
S = 2⋅( ab+ac+bc )
r
S = 2⋅G+S1 +...+Sn
Platonische Körper
E
F
K
a+c
⋅h
2
Zentriwinkel:
360°
φ=
n
Innenwinkel
(Eckwinkel):
(n−2)⋅180°
α=
n
G: Grundfläche
M: Mantelfläche
Pyramide
V = abc
b
m
V = G⋅h
Quader
d
a+c
2
Kugel
2
d = a⋅√ 3
a
m=
3
S = 6⋅a
d
m: Mittelparallele
α
Prisma
V=a
A = a⋅h

( n−2)⋅180 °
s: Sehne
e⋅f
2
Regelmässiges n-Eck
In jedem n-Eck
ist die Summe
der Innenwinkel
gleich
A = πr2
r
a
e,f: Diagonalen
Allgemeines n-Eck
t
A=
•
Trapez
•
a
f
e,f: Diagonalen
a
c
A = b⋅h b
ha
h
•
a
Drachenviereck
A = a⋅ha
b
a
e
u = 2⋅(a+b)
b
a
d = a⋅√ 2
h
2
a2
⋅√ 3
4
a
h = ⋅√ 3
2
A=
a
Rhombus (Raute)
2
Parallelogramm
c
2
a + b =c
Satz des Pythagoras:
u = 4⋅a
a
a
a⋅b
2
Rechteck
d
Sektor
Gleichseitiges Dreieck
A=
b
b⋅hb
=
2
A=a
d
d: Diagonale
c
a
a⋅ha
Quadrat
a
h: Höhe
Rechtwinkliges Dreieck
c⋅hc
2
A=
u: Umfang
8
6
12
Würfel
6
8
12
Oktaeder
s: Mantellinie
20
12
30
12
20
30
Dodekaeder
Ikosaeder
V=
h
s
π r2 h
3
M = πr s
S = π r (r+s )
r
Euler'scher Polyedersatz: Bei konvexen Polyedern gilt immer E+F−K=2 .
Diverses
s: Weg, t: Zeit,
v: Geschwindigkeit
s
v=
t
Primzahlen von 1 bis 100
2 3 5 7 11 13 17
19 23 29 31 37 41 43
47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97
Zinsformeln:
K0: Anfangskapital,
Kn: Kapital nach n Jahren,
Jahreszins Z =
K0⋅p
100
(
p: Zinssatz
Kn = K0⋅ 1+
p
100
)
n