Humboldt-Universität zu Berlin Bereich Stochastik und

Humboldt-Universität zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 6
SS 2010
25. Mai 2010
Prof. Dr. Dirk Becherer
Prof. Dr. Thorsten Dickhaus, Michael Stauch,
Joscha Diehl, Nicolas Perkowski
Übungen zur Stochastik 1
Aufgabe 1 (4 Punkte).
Für n ≥ 2 seien X1 , . . . , Xn stochastisch unabhängige, identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Eine weitere n-dimensionale Zufallsgröße Y sei definiert als Y = AX + b, wobei b ∈ Rn einen
(deterministischen) Vektor und A eine feste n × n-Matrix reeller Zahlen mit det(A) 6= 0 bezeichnen.
a) Berechnen Sie die n-dimensionale Dichtefunktion von Y .
b) Berechnen Sie den Erwartungswertvektor und die Varianz- / Kovarianzmatrix von Y .
c) Sei nun speziell n = 2. Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten von Y1 und Y2 . Zeigen Sie,
dass die bedingte Dichte von Y2 gegeben Y1 diejenige einer Normalverteilung ist und bestimmen
Sie die Parameter dieser bedingten Normalverteilung.
Aufgabe 2 (4 Punkte).
Ein fairer Würfel wird unendlich oft geworfen. Die einzelnen Würfe seien unabhängig voneinander.
Die Ergebnisfolge (Xn )n∈N ist eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Sei
Akn = {ω ∈ Ω : Xn+j = 6 für j = 0, . . . , k − 1}
das Ereignis, dass ab dem n-ten Wurf eine Sechser-Serie der Länge k ∈ N auftritt.
Zeigen Sie, dass P(lim supn→∞ Akn ) = 1 ist, d. h., es treten fast sicher unendlich viele Sechser-Serien
der Länge k auf. Folgern Sie hieraus, dass sogar fast sicher unendlich viele Sechser-Serien beliebiger
Länge auftreten, also dass
!
∞
\
P
lim sup Akn = 1.
k=1
n→∞
Aufgabe 3 (4 Punkte). Berechnen Sie die Erwartungswerte der folgenden Zufallsvariablen.
a) Y1 , wobei Y1 diskret Laplace-verteilt auf {i2 , 1 ≤ i ≤ n} für eine feste natürliche Zahl n ist.
b) Y2 = exp(X), wobei X ∼ N (µ, σ 2 ) normalverteilt auf R mit Parametern µ und σ 2 ist.
c) Y3 , wobei Y3 Cauchy-verteilt auf R ist, also die Verteilungsdichte
fY3 (x) =
π(a2
a
+ x2 )
für a > 0 bezüglich des Lebesgue-Maßes auf R besitzt.
Aufgabe 4 (6 Punkte).
Für eine reellwertige Zufallsvariable X sei m eine reelle Zahl, für die gilt
P(X ≤ m) ≥ 1/2 und P(X ≥ m) ≥ 1/2.
(1)
a) Zeigen Sie, dass für a > m gilt
E(|X − a| − |X − m|) = 2[(a − m)(P(X ≤ m) − 1/2) + E((a − X)1{m<X<a} )].
b) Zeigen Sie
E(|X − m|) = inf E(|X − a|).
a∈R
c) Eine Zahl m mit der Eigenschaft (1) heißt ein Median von X. Geben Sie jeweils einen Wahrscheinlichkeitsraum und eine reellwertige Zufallsvariable X an, für die
(i) es mehr als einen Median von X gibt,
(ii) der Median von X eindeutig bestimmt, aber ungleich E(X) ist.
Hinweis: Für a < m gilt
E(|X − a| − |X − m|) = 2[(m − a)(P(X ≥ m) − 1/2) + E((X − a)1{a<X<m} )].
Da dies in Analogie zu a) gezeigt werden kann, können Sie es ohne Beweis in b) verwenden.
Abgabe: Dienstag, 01.06.2010
(Bitte jeder einzeln abgeben und die Übungsgruppe sowie Matrikelnummer deutlich mit angeben.)