Übungen zur Mengentheoretischen Topologie

Übungen zur Mengentheoretischen Topologie
Sommersemester 2014
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Dr. Denis Vogel
Dominik Wrazidlo
Aufgabe 1.
(6 Punkte)
Aufgabe 2.
(6 Punkte)
Blatt 6
Abgabetermin: Mittwoch, 28.05.2014, 9.15 Uhr
Man bestimme für die folgenden topologischen Räume (X, O) jeweils die Zerlegung in Zusammenhangskomponenten und entscheide jeweils, ob (X, O) wegzusammenhängend ist:
(a) X = Q ⊆ R mit der Teilraumtopologie O.
(b) X = {1, 2, 3} und O = {∅, {1} , {1, 2} , {1, 2, 3}}.
(a) Man zeige, dass der Abschluss von
[ 1
K := {(x, 0); 0 < x ≤ 1} ∪
( n , y); 0 ≤ y ≤ 1 ⊆ R2
2
n∈N0
durch K = K ∪ {(0, y); 0 ≤ y ≤ 1} gegeben ist. Man folgere, dass X = K \ {(0, 0)} ein
zusammenhängender topologischer Raum ist.
(b) Man zeige, dass der topologische Raum X aus Teil (a) nicht wegzusammenhängend ist.
2
Hinweis: Für i ∈ {1, 2} bezeichne πi : X → R die Projektion von X ⊆ R auf die ite Koordinate. Angenommen, es gibt einen Weg w : [0, 1] → X auf X mit Anfangspunkt
w(0) = (0, 1) und Endpunkt w(1) = (1, 0). Man konstruiere ein t0 ∈ [0, 1) mit π1 (w(t0 )) = 0
und π1 (w(t)) > 0 für alle t ∈ (t0 , 1] und ferner ein t1 ∈ (t0 , 1] mit π2 (w(t)) > 0 für alle
t ∈ [t0 , t1 ]. Man betrachte nun das Bild von [t0 , t1 ] unter π1 ◦ w, um einen Widerspruch
herbeizuführen.
Aufgabe 3.
(6 Punkte)
Aufgabe 4.
(6 Punkte)
Sei X ein zusammenhängender topologischer Raum und h : X → X ein Homöomorphismus mit
h ◦ h = idX . Man zeige, dass für jede stetige Abbildung f : X → R ein x ∈ X mit f (x) = f (h(x))
existiert. Ferner gebe man ein Beispiel für X und h wie oben (mit h 6= idX ) an!
Sei n > 1 eine ganze Zahl. Man beweise:
(a) S1 ist nicht homöomorph zu Sn .
Hinweis: Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass für ganze Zahlen m ≥ 1 und Punkte
x ∈ Sm das Komplement Sm \ {x} homöomorph zu Rm ist. (Ein Homöomorphismus ist z.B.
durch die stereographische Projektion gegeben.)
(b) P1 (R) ist nicht homöomorph zu Pn (R).
m
Hinweis: Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass der projektive Raum P (R) (vgl.
m
Blatt 4, Aufgabe 3) für ganze Zahlen m ≥ 1 homöomorph zu S / ∼ ist, wobei die Äquivalenzrelation ∼ antipodale Punkte auf Sm identiziert, d.h. für x, y ∈ Sm gilt x ∼ y genau
dann wenn x = y oder x = −y .