Analysis 1 - Uni Salzburg

17.03.2015
Prof. Dr. Verena Bögelein
Analysis 1
3. Übungsblatt
Aufgabe 10
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion den in der Vorlesung formulierten Multinomialsatz: Für alle m ∈ N, n ∈ N ∪ {0} und x1 , . . . , xm ∈ R gilt
∑
(x1 + . . . + xm )n =
0≤α1 ,...,αm ≤n
α1 +...+αm =n
n!
xα1 · . . . · xαmm .
α1 ! · . . . · αm ! 1
Aufgabe 11
Beweisen Sie:
(a) Jede natürliche Zahl n besitzt eine b-adische Darstellung (b ∈ N≥2 ), d.h. es existieren
m ∈ N und z0 , z1 , . . . , zm ∈ {0, 1, . . . , b − 1}, zm ̸= 0, sodass
n=
m
∑
zk bk =: (zm . . . z1 z0 )b .
k=0
(b) Die Stellenanzahl m + 1 und die Ziern z0 , z1 , . . . , zm sind eindeutig durch n und b
bestimmt.
Hinweis: Verwenden Sie als Hilfsmittel die Division mit Rest, d.h. n = qb + r mit eindeutig
bestimmten Zahlen q ∈ N ∪ {0} und r ∈ {0, 1, . . . , b − 1}.
Aufgabe 12
Bestimmen Sie das Supremum und das Inmum folgender Teilmengen von R (falls existent). In welchen Fällen liegt ein Maximum bzw. ein Minimum vor?
{
}
n−1
:n∈N ,
n
[√ √ ]
Q∩
5, 6 ,
{
}
1 1
x+ : <x≤2 .
x 2
Aufgabe 13
Seien a, b > 0. Dann versteht man unter dem arithmetischen Mittel A(a, b) und dem
harmonischen Mittel H(a, b) die Ausdrücke
A(a, b) :=
a+b
2
und H(a, b) :=
2ab
.
a+b
Seien nun 0 < a1 < b1 und an+1
{ := H(an , bn ) und bn+1
} := A(an , bn ) für n ∈ N. Zeigen Sie,
dass die Menge der Intervalle In = [an , bn ] : n ∈ N eine Intervallschachtelung deniert,
indem Sie folgende Eigenschaften nachweisen:
1. an , bn > 0 ∀ n ∈ N,
2. an ≤ bn ∀ n ∈ N,
3. an ≤ an+1 und bn+1 ≤ bn ∀ n ∈ N,
4. In ⊂ Im ∀ n ∈ N,
5. |In+1 | ≤ 2−1 |In | ∀ n ∈ N,
6. |In | ≤ 2−(n−1) |I1 | ∀ n ∈ N.
Zeigen Sie auÿerdem, dass gilt: an bn = a1 b1 ∀ n ∈ N. Bestimmen Sie schlieÿlich
∞
∩
n=1
In .