Universität Duisburg-Essen SoSe 2009 Fachbereich Mathematik

Universität Duisburg-Essen
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. U. Herkenrath
SoSe 2009
Übungen zur Stochastik I
(Blatt 3)
Aufgabe 6 (4 Punkte)
Sei T : (Ω, A) → (Ω0 , A0 ) eine messbare Abbildung. Dann wird für jedes Maß µ auf
A das Bildmaß µT auf A0 definiert durch:
µT (A0 ) = µ(T −1 (A0 )), A0 ∈ A0 .
Zeigen Sie:
µT ist ein Maß auf A0 , ist µ = P ein Wahrscheinlichkeitsmaß, dann ist µT = PT
auch ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Aufgabe 7 (5 Punkte)
Ein Bernoulli-Experiment ist beschrieben durch Ω = {0, 1} , A = P(Ω) und
P = ({1}) = p, 0 < p < 1. Das Elementarereignis ”1” werde als Erfolg, ”0” als
”Misserfolg” bewertet.
Es werde eine Serie von unabhängigen, gleichwertigen Wiederholungen dieses BernoulliExperiments durchgeführt. Berechnen Sie für k = 0, 1, 2 . . . , die Wahrscheinlichkeit
für das Auftreten von k Misserfolgen bis zum Eintreten des r-ten Erfolges.
Welche Darstellung ergibt sich für r = 1?
Aufgabe 8 (3 Punkte)
Aus einer Schulklasse mit 20 Schülern werde an 6 aufeinander folgenden Tagen jeden
Morgen ein Schüler zufällig ausgewählt, dessen Hausaufgaben besonders gründlich
kontrolliert werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Schüler mehrfach ausgewählt
wird?
Aufgabe 9 (5 Punkte)
Geben Sie jeweils einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) an und eine darauf definierte Zufallsgröße X, so dass
(a) X binomial-verteilt ist mit den Parametern n ∈ N, 0 ≤ p ≤ 1,
(b) X hypergeometrisch-verteilt ist mit den Parametern N ∈ N, R ∈ { 0, 1, . . . , N }
und n ∈ { 0, 1, . . . , N }.
Sie dürfen sich auf Beispiele aus der Vorlesung beziehen.
Abgabe: Mittwoch, 20.05.2009 in der Vorlesung.
Bitte geben Sie jede Übungsaufgabe auf einem separaten Blatt ab und geben Namen
und Matrikelnummer an.