Bewertungstheorie - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. Alexander Prestel
David Grimm / Sven Wagner
Sommersemester 2008
Übungsblatt 6
27.05.2008
Bewertungstheorie
Aufgabe 6.1:
Sei (Γ, ≤) eine angeordnete abelsche Gruppe, und sei (K, w) ein bewerteter Körper. Wir
statten die abelsche Gruppe Γ × w(K × ) mit der lexikographischen Ordnung aus. Zeigen
Sie, daß die Abbildung v : K((Γ))× → Γ × w(K × ), f 7→ (γ, w(f (γ))) mit γ = min(supp(f )),
eine Bewertung von K((Γ)) mit Wertegruppe Γ × w(K × ) ist. Bestimmen Sie außerdem den
zugehörigen Restklassenkörper.
Ist w die triviale Bewertung auf K, so heißt v die kanonische Bewertung von K((Γ)).
Geben Sie für diesen Fall den Bewertungsring, die Wertegruppe und den Restklassenkörper
zu v an.
Definition:
Sei K ein Körper, und sei N eine Teilmenge der Potenzmenge von K, die die folgenden
Bedingungen erfüllt:
T
T
/ N.
(1) N := N ∈N N = {0}, {0} ∈
(2) ∀N, M ∈ N ∃O ∈ N : O ⊂ N ∩ M .
(3) ∀N ∈ N ∃M ∈ N : M − M ⊂ N .
(4) ∀N ∈ N ∀x, y ∈ K ∃M ∈ N : (x + M )(y + M ) ⊂ xy + N .
(5) ∀N ∈ N ∀x ∈ K × ∃M ∈ N : (x + M )−1 ⊂ x−1 + N .
(6) ∀N ∈ N ∃M ∈ N ∀x, y ∈ K : xy ∈ M ⇒ x ∈ N oder y ∈ N .
Dann ist τN := {U ⊂ K | ∀x ∈ U ∃N ∈ N : x + N ⊂ U } eine Topologie auf K. Eine solche
Topologie nennen wir V -Topologie.
Sei N eine Teilmenge der Potenzmenge von K. Dann heißt eine Teilmenge S von K beschränkt (bezüglich N ), wenn für alle N ∈ N ein M ∈ N mit M S ⊂ N existiert.
Aufgabe 6.2:
Sei K ein Körper, und sei N eine Teilmenge der Potenzmenge von K die die Eigenschaft
(1) aus der obigen Definition erfüllt. Zeigen Sie:
a) Erfüllt N die Bedingung (3) aus der obigen Definition, so hat sie auch die folgenden
Eigenschaften:
(3a) ∀N ∈ N ∃M ∈ N : M, −M ⊂ N .
(3b) ∀N ∈ N ∃M ∈ N : M + M ⊂ N .
b) Erfüllt N die Bedingung (4) aus der obigen Definition, so hat sie auch die folgenden
Eigenschaften:
(4a) ∀N ∈ N ∃M ∈ N : M M ⊂ N .
(4b) ∀N ∈ N ∀x ∈ K × ∃M ∈ N : xM ⊂ N .
c) Erfüllt N die Bedingung (4) aus der obigen Definition, so ist die Bedingung (5) äquivalent zu
(5’) ∀N ∈ N ∃M ∈ N : (1 + M )−1 ⊂ 1 + N .
Bitte wenden.
d) Die Bedingung (6) ist äquivalent zu
(6’) Für alle N ∈ N ist die Menge (K \ N )−1 beschränkt.
e) Ist τN eine V -Topologie auf K, so existiert ein N ∈ N mit der Eigenschaft
K × = (K \ N ) ∪ (K \ N )−1 .
Aufgabe 6.3:
Sei K ein Körper, und sei τN eine V -Topologie auf K. Zeigen Sie:
a) τN ist eine nichtdiskrete Hausdorfftopologie.
b) Bezüglich τN sind die beiden Körperoperationen als Abbildungen von K × K, ausgestattet mit der Produkttopologie, nach K und das Invertieren als Abbildung von K × ,
ausgestattet mit der Spurtopologie, nach K stetig.
Zeigen Sie außerdem, daß die von nichttrivialen Absolutbeträgen und Bewertungen auf
einem Körper induzierten Topologien stets V -Topologien sind.
Abgabe bis Freitag, den 6. Juni, 24 Uhr in Briefkasten 13.