Gleichungen/Ungleichungen Gleichungen Aufgabe 1 (Wurzel π37) Finde alle Lösungen (x, y, z) ∈ R3 des Gleichungssystems x+z−y =6 x + z 2 − y 2 = 36 x3 + z 3 − 2y 3 = 1 2 Aufgabe 2 (ÜJM 3.2.8) Man bestimme alle Paare geordneter reeller Zahlen (x, y), für die gilt x3 + x2 y + xy 2 + y 3 = 0 x + xy + y = −1 Aufgabe 3 (MO 371331) Man ermittle alle Paare (x, y) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem erfüllen: xy(x + y) = 30 x3 + y 3 = 35 Aufgabe 4 (MO 371346A) Man ermittle alle reellen Lösungen des Gleichungssystems x5 = 21x3 + y 3 y 5 = x3 + 21y 3 Aufgabe 5 (ÜJM 3.2.9) Man löse das Gleichungssystem x3 − 2x2 y − 2xy 2 + y 3 = 8 x2 − 3xy + y 2 = 4 Aufgabe 6 (MO 05124*) Man ermittle alle Quadrupel (x1 , x2 , x3 , x4 ) reeller Zahlen, für die gilt x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + x4 x1 x2 + x1 x4 + x2 x4 + x3 x1 x3 + x 1 x4 + x3 x4 + x2 x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 + x1 =2 =2 =2 =2 Aufgabe 7 (MO 07104*) Man gebe alle reellen Zahlen x an, die folgende Gleichung erfüllen r q q √ √ 3 x √ x+ x− x− x= 2 x+ x Aufgabe 8 (MO 370945) Bestimme alle Tripel reeller positiver Zahlen, für die gilt a + 2b2 + 3c3 + 1 2 3 + 2 + 3 = 12 a b c Seite 1 Gleichungen/Ungleichungen Seite 2 Ungleichungen Nützliche Ungleichungen • die Mutter aller Ungleichungen: x2 ≥ 0 • Mittelungleichung: HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM • Jensensche Ungleichung: für konvexes f gilt f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) P P P 2 • Cauchy-Schwarz-Ungleichung: ( ni=1 a2i ) · ( ni=1 b2i ) ≥ ( ni=1 ai bi ) Aufgabe 9 (BWM 2006.1) Für die Seiten eines Dreiecks gelte a2 + b2 > 5c2 . Zeige, dass c die Länge der kürzesten Seite ist. Aufgabe 10 (MO 371016) √ √ Beweise, dass für jede positive ganze Zahl gilt 2 n + 1 − 2 n < √1 n √ √ <2 n−2 n−1 Aufgabe 11 (Baltic Way 2012) Seien a, b, c reelle Zahlen mit a ≤ b ≤ c. Zeige ab + bc + ca + c − a ≤ 1 + 31 (a + b + c)2 Aufgabe 12 (Wurzel π30) Man beweise ln2 (cos x) ≤ x(tan x − x) für alle x ∈ [0, π2 ) Aufgabe 13 (Wurzel π42) Man beweise für beliebige a, b, c > 0 die Ungleichung 2a3 + 2b3 + 2c3 + ab2 + bc2 + ca2 ≥ 3a2 b + 3b2 c + 3c2 a Aufgabe 14 (IMO-Auswahl, 2001) Zeige: Für positive reelle Zahlen a, b, c gilt b c 3 a p +p +p ≤ 2 (a + b)(a + c) (b + a)(b + c) (c + a)(c + b) Aufgabe 15 (Wurzel σ20) Man beweise für alle positiven a, b, c, d, e ∈ R mit a + b + c + d + e = 1 die Ungleichung a4 b4 c4 d4 e4 1 + + + + ≥ b+c c+d d+e e+a a+b 50 Aufgabe 16 (MO 371045) Beweise die folgende Aussage 1 1 1998 < 1 + √ + . . . + √ < 1999 2 1000000 Aufgabe 17 (Kolmogorow-Buch, 148) √ √ Beweise n n! > n Aufgabe 18 () Beweise 12 (a + b) ≥ √ a+b ab · b a