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Jens Peters CASIO FX 2.0 Plus BBS I, Emden Fortbildung: Stochastik, Lineare Algebra Einladung zur Fortbildung: „Einsatz des Taschenrechners im Mathematikunterricht“ Raum 103 Zeit: Donnerstag 28.01.2008 von 7.45 Uhr bis 14.45 Uhr Teilnehmer: Bittner, Broers, Janssen (StRef), Peters, Rolfsen, Voß Thema: Einsatz des CASIO FX 2.0 Plus im Matheunterricht / Teilgebiete Stochastik und Lineare Algebra Stochastik Berechnung der Fakultäten bis zu den Binomialkoeffizienten Annäherungen durch Regressionen sowie dessen Graph Berechnung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen sowie das Einzeichnen von Histogrammen Lineare Algebra Matrizeneingabe Matrizenberechnungen Berechnungsmöglichkeiten des Simplex-Algorithmus Umgang mit der Software zum Einlesen des Taschenrechnerbildschirms Mit freundlichen Grüßen Jens Peters Verteiler: A.Bittner, W.Broers, C.Rolfsen, H.Voß CASIO FX 2.0 Plus Jens Peters BBS I, Emden Fortbildung: Stochastik, Lineare Algebra Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Lösungen zu folgenden Aufgaben: a) 5! b) 3! 5! c) 7! 4! d) 8! (8 3)! 6 e) 2 Aufgabe 2: Sie sind Vertreter für Taschenrechner aller Art. In Ihrem Einsatzgebiet betreuen Sie ca. 10.000 Kunden, die den Rechner schulisch, beruflich oder auch privat nutzen. Der Hersteller, bei dem Sie beschäftigt sind, möchte im nächsten Quartal einen neuen Taschenrechner auf dem Markt bringen. Dieser ist eine abgespeckte Version eines CAS-Rechners. Sie als Vertreter sollen dem Hersteller den Preis nennen, den die Kunden Ihrer Meinung nach bereit wären zu zahlen. Man rechnet mit einem Verkaufspreis zwischen 80,-€ und 150,-€, den Sie auf volle Zehnerbeträge beziffern sollen. Verkaufspreis: ___________ Ihre Kollegen aus anderen Einsatzgebieten haben ebenfalls eine Schätzung abgegeben: x ME in 10000 Preis p GE 150 140 130 120 110 100 90 80 Die Werte können durch eine Gerade angenähert werden. Dieses Verfahren wird auch Lineare Regression genannt! Jens Peters CASIO FX 2.0 Plus BBS I, Emden Fortbildung: Stochastik, Lineare Algebra a) Bestimmen Sie die angenäherte Geradengleichung: y=______________ Eingabe der Daten b) Lassen Sie sich die Gerade von Ihrem Taschenrechner zeichnen! c) Bestimmen Sie eine Parabel, die sich an die Daten noch besser annähert! Lassen Sie sich diese einzeichnen! Aufgabe 3: Der CAS-Rechner soll mit einem Verkaufspreis von 90,-€ auf dem Markt eingeführt werden. Der Hersteller verspricht sich dadurch eine Erhöhung seines Marktanteils auf 20%. a) Bestimmen Sie die Binomialverteilung für den Hersteller unter der Bedingung, dass aus einer Gruppe von 100 Personen zufällig 20 CAS-Käufer nach ihrem Kaufverhalten gefragt werden. Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der Käufer, die das Produkt des genannten Herstellers kaufen würden. Nach der Seq- Bestätigung machen Sie bitte wie folgt weiter: Jens Peters CASIO FX 2.0 Plus BBS I, Emden Fortbildung: Stochastik, Lineare Algebra b) Lassen Sie sich die Binomialverteilung als Histogramm zeichnen! Vorgehen zunächst wie bei der Linearen Regression! c) Zeichnen Sie die Binomialverteilung für n=200 und p=0,20 ! Aufgabe 4: Um den Marktanteil grob einzuschätzen, führt das Unternehmen mit Hilfe von 100 Befragten einen statistischen Test durch. Überprüft werden soll zunächst nur, ob der Marktanteil noch p0=12% (Nullhypothese) beträgt, oder ob er bereits auf p1=20% (Alternative) angestiegen ist. Wenn höchstens 16 Befragte den neuen CAS-Rechner gekauft haben oder kaufen würden, so glaubt man der Nullhypothese, ansonsten der Alternative! a) Bestimmen Sie den -Fehler sowie den - Fehler! b) Bestimmen Sie den -Fehler mit der Normalverteilung! Sie benötigen dazu keine vorgegebene Liste (vgl. CASIO List 1) Jens Peters CASIO FX 2.0 Plus BBS I, Emden Fortbildung: Stochastik, Lineare Algebra Aufgabe 5: Das Unternehmen hat den Marktanteil von 20% laut weiteren statistischen Tests noch nicht erreicht. Unter anderem ist dafür ein erhöhter Ausschussanteil von 2% verantwortlich. a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Poissonverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Sendung von 150 Teilen kein Ausschussteil bzw. höchstens fünf Ausschussteile ist bzw. sind. (Hier benötigen Sie wieder eine vorgegebene Liste!) Aufgrund einer ISO-Zertifizierung für das Unternehmen kündigen sich in unregelmäßigen Abständen Prüfer an. Diese testen den Ablauf der Produktion, welches sich auch durch die Anzahl der Ausschussteile kennzeichnet. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Prüfung zum ersten Mal beim fünften Ziehen ein Ausschussteil gezogen wird! CASIO FX 2.0 Plus Jens Peters BBS I, Emden Fortbildung: Stochastik, Lineare Algebra Aufgabe 6: Ein Unternehmen stellt aus den drei Rohstoffen R1, R2 und R3 die vier Zwischenprodukte Z1, Z2, Z3 und Z4 her, die dann zu drei verkaufsfähigen Endprodukten E1, E2 und E3 verarbeitet werden. Die Herstellungsmatrizen lauten: 4 6 0 0 4 6 11 2 1 2 RZ 1 0 2 2 ; ZE 6 0 4 4 8 2 0 3 4 6 a) Das Unternehmen erhält einen Auftrag zur Lieferung von 220ME des Produktes E1, 340ME von E2 und 420ME von E3. Bestimmen Sie, wie viele ME der Rohstoffe dazu erforderlich sind! Zusätzlich: Eingabe der Matrix B! OPTNTaste b) Bei der Herstellung einer ME des jeweiligen Folgeproduktes entstehen folgende Kosten (in Geldeinheiten GE) Rohstoffkosten: kR 1 4 3 Fertigungskosten der Zwischenprodukte aus den Rohstoffen: kZ 15 40 50 35 Fertigungskosten der Endprodukte aus den Zwischenprodukten: kE 35 42 58 Berechnen Sie die gesamten Kosten für den Auftrag aus der Aufgabenstellung a). Jens Peters CASIO FX 2.0 Plus BBS I, Emden Fortbildung: Stochastik, Lineare Algebra c) Der Betrieb hat einen Lagerbestand von 8120ME von R1, 1930ME von R2 und 3200ME von R3, der vollständig zur Produktion von Endprodukten eingesetzt wird. Bestimmen Sie viele ME der einzelnen Endprodukte sich daraus herstellen lassen! d) Das Unternehmen hat sich entschieden, das Angebotssortiment um ein Produkt (E4) zu erweitern. Aufgrund dessen verändert sich die Herstellungsmatrix ZE wie folgt: 4 6 0 1 2 1 2 3 ZEneu 6 0 4 2 3 4 6 1 Der Betrieb hat einen verbleibenden Lagerbestand von 35.100ME von R1, 8.520ME von R2 und 19.440ME von R3, der vollständig zur Produktion von Endprodukten eingesetzt wird. Bestimmen Sie d1) mit Hilfe der Inversen zu ZE bzw. d2) mit einer erweiterten Koeffizientenmatrix, wie viele ME der einzelnen Endprodukte sich daraus herstellen lassen! Mit der OPTNTaste erhalten Sie folgendes Menü: 1: Dimension 2: Determinante 3: Norm einer Matrix 4: Eigenvektor 5: Eigenwert 6: Diagonalmatrix 7: Obere Dreiecksmatrix Aufgabe 7: Lösen Sie das folgende Lineare Gleichungssystem: 2 x 3 y 2 x y x 3 y 3 x 2 y 2 0 7 3 CASIO FX 2.0 Plus Jens Peters BBS I, Emden Fortbildung: Stochastik, Lineare Algebra In einem Unternehmen werden die beiden Produkte P1 und P2 auf ökologische Art und Weise hergestellt. Der dadurch bedingte aufwendige Produktionsprozess sowie die Kapazitätsbegrenzungen (Restriktionen) der Maschinen erfordern eine exakte Ablaufplanung. Hinsichtlich der Belegungszeiten hat das Unternehmen ermittelt, dass an Maschine 1 für das Produkt P1 2 Minuten und für P2 4 Minuten benötigt werden. An Maschine 2 hingegen dauert die Herstellung 8 Minuten für P1 und 4 Minuten für P2. Nach 60 Minuten wird die Maschine 1, nach 90 Minuten die Maschine 2 grundgereinigt, weshalb eine Charge innerhalb der vorgegebenen Zeit produziert werden soll. Bei einem durchschnittlichen Absatz rechnet das Unternehmen mit einem Gewinn von 1,5 GE für P1 und 1 GE für P2. Bei welcher Produktionsmenge macht das Unternehmen den größten Gewinn? Vorgehensweise: Nichtnegativitätsbedingungen: x 0; y 0; x Anzahl P1; y Anzahl P 2 2 x 4 y 60 (TAM1) 8 x 4 y 90 (TAM 2) G 1,5 x y Restriktionen: Zielfunktion: Aufstellen eines Linearen Gleichungssystem mit „Basisvariablen“ b1 und b2 (als Ausgleich): Lineares Gleichungssystem 4 y b1 2x 8 x 4 y 1,5 x y 60 b2 90 0 1. Simplex- Tableau x y b1 b2 2 8 4 1 0 60 60 : 2 30 0 1 90 90 : 8 11, 25 min 2 ( Pivotzeile) 1 0 0 4 3 1,5 0 max1 ( Pivotspalte) Arbeitsschritte: 1. Man wähle zuerst das Maximum der Koeffizienten der Zielfunktion! 2. Man nehme die Restriktionen und dividiere sie durch die Elemente der Pivotspalte! Eintrag siehe Hilfsspalte rechts des Tableaus. Das Minimum bestimmt die Pivotzeile. 3. Man markiere das Pivotelement! 4. Das Pivotelement muss durch Zeilenumformung 1 werden, alle weiteren Werte in der Pivotspalte müssen 0 werden (vgl. Gaußsche Elimination)! 2. Simplex- Tableau: x y b1 b2 0 3 3 1 0,5 1 0, 25 0 0,125 37,5 37,5 : 3 12,5 min 2 ( Pivotzeile) 11, 25 11, 25 : 0,5 22,5 0 0, 25 0 0,1875 16,875 max1 ( Pivotspalte) Die o.g. Arbeitsschritte werden entsprechend wiederholt! CASIO FX 2.0 Plus Jens Peters BBS I, Emden Fortbildung: Stochastik, Lineare Algebra Berechnung des 2. Tableaus mit dem Taschenrechner: Eingabe des Tableaus Eingabe durch OPTN Pivotzeile multiplizieren Ergebnis pro Arbeitsschritt abspeichern! Mit „A“ Pivotspalte verändern -2 wird mit 2. Zeile multipliziert Anschließende Addition zur 1. Zeile 2. Zeile wird multipliziert Zeile wird mit 1/8 multipliziert Die Arbeitsschritte müssen für die weiteren Zeilen wie dargestellt durchgeführt werden! Stellen Sie nun solange Simplex-Tableaus auf, bis die Koeffizienten in der untersten Zeile (Zielfunktion) alle negativ sind! Tragen Sie das Ergebnis auf dieses Blatt ein! Jens Peters Klasse : 20:53:00 Unterrichtseinheit Folie BBS I, Emden 31.10.2007 Jens Peters Klasse : Unterrichtseinheit BBS I, Emden
