Aufgabenstellung

Berechnen Sie folgende Beispiele zur linearen Optimierung:
a) Eine Tischlerei fertigt 2 Produkte(A, B).
Holz (Einheiten)
Arbeitsstunden
Gewinn (Geldeinheiten)
A
2
10
8
B
4
6
10
Gesamtmenge Holz: 40 Einheiten
Gesamtmenge Arbeit: 120 Stunden
stehen maximal
zur Verfügung
Bestimme, wie viele Stücke von A bzw. von B erzeugt werden müssen, um den höchsten
Gewinn zu erzielen!
Lösung: Produkt A 5 Stück
Produkt B 8 Stück
b) Ein Bauer hat 45 ha Acker. Er will Weizen und Zuckerrüben anpflanzen. Allerdings
will er nicht mehr als15 ha für Rüben verwenden. Er hat Arbeitskräfte für insgesamt
1200h. Die Arbeitszeit bei Weizen beträgt 20h/ha, bei Zuckerrüben 60 h/ha. Gewinn
bei Weizen: 300€/ha, Gewinn bei Rüben: 600 €/ha.
Berechnen Sie, wie viele ha er mit Rüben du wie viele ha er mit Weizen bepflanzen
muss, damit er den maximalen Gewinn einfährt!
Lösung:
Weizen: 37,5 ha Weizen, 7,5 ha Rüben.
c) Stellen Sie grafisch dar:
x y  2
x  2y
6
x 3
d) Stellen Sie grafisch dar:
y0
x  y  1
x y  1
e) Ermitteln Sie Z!
Z
3x  y  75
5x  y  9  0
2x  y  6  0
x  2y  6  0
x  5y  9  0
x 0
y0
Lösung: Z = 82
f) 2 Produkte sollen aus den Materialien M1, M2 und M3 gefertigt werden.
Vorräte:
M1 ... 200 kg
M2 ... 100 kg
M3 ... 240 kg
Bei der Herstellung von Produkt A werden benötigt:
M1 ... 1 kg
M2 ... 2 kg
M3 ... 4 kg
Bei der Herstellung von Produkt B werden benötigt:
M1 ... 2,5 kg
M2 ... 1 kg
M3 ... 4 kg
Gewinn:
A/Stück 30 €
B/Stück 20 €
Wie viele Stücke jedes Produktes müssen für einen maximalen Gewinn hergestellt
werden?
Lösung: A : 40
B : 20
g) In einer Fabrik werden 2 Produkte genäht. Pro Monat werden vom ersten Produkt 700
Stück/Monat verkauft.
Gefertigt werden die Produkte in 3 Räumen:
Stunden pro Stück A
Raum 1
3h
Raum 2
1h
Raum 3
5h
Stunden pro Stück B
Maximale Arbeitsstunden:
7h
4h
Raum 1 ... 5500 h
Raum 2 ... 3000 h
Raum 3 ... 4400 h
3h
Gewinn: Stück von A ... 12 €
Stück von B ... 18€
Wie viele Stücke sollen für maximalen Gewinn gefertigt werden? Wie hoch ist der
Gewinn?
Lösung: Stücke A 550, Stücke B 550, Gewinn: 16500 €
h) Aus 2 Legierungen soll eine Schmelze hergestellt werden, die mindestens 40 kg Cu,
50 kg Zn und 120 kg Cr enthält.
Legierung 1
Legierung 2
Cu
Zn
Cr
Al
Preis
20%
15%
10%
30%
50%
20%
20%
35%
9€/kg
7,5€/kg
Wie kann man die billigste Schmelze herstellen und wie viel kostet diese?
Lösung: 200 kg Legierung 1, 100 kg Legierung 2, minimale Kosten 2550 €
i) Gegeben sind folgende Gleichungen:
1. x + y ≥ 10
2. x + 2y ≥ 15
3. y + 2x ≥ 15
f(x, y) = x + 1/2y => min
Lösung: (5|5)
j) Es gibt 2 Materialien, Material 1 und Material 2.Es sind 1000t von Material 1 und
2400t von Material 2 vorhanden. Dazu gibt es 630 Arbeitskräfte. Für das Produkt A
werden 10 t vom ersten und 20 t vom zweiten Material benötigt. Produkt B braucht
nur 10t des zweiten Materials. Zur Herstellung braucht A eine, B neun Arbeitskräfte.
Berechnen Sie die Anzahl der herzustellenden Produkte, damit maximal viele
Produkte gefertigt werden.
Lösung: 90 Stück A, 60 Stück B