Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 6

Mathematik für Informatiker II
Übungsblatt 6
Vincent Blaskowitz
Übungsblatt 6 vom 27.05.2011
Aufgabe 1
√
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die ersten sieben Nachkommastellen von
2
7 in Bi-
närdarstellung.
√
Lösung
Eine Möglichkeit wäre, den Term
2
7 mit dem Taschenrechner auszurechnen
und das Ergebnis mit der Methode aus dem Tutorium (bzw. der Methode aus dem
Skript, siehe Seite 53, Beispiel 3.25) zu berechnen. Wir wollen hier aber einen anderen
√
Weg aufzeigen, überhaupt an die Dezimalbruchentwicklung von
2
7 zu kommen. Der
folgende Weg entspricht dem des Skripts auf Seite 60, das zum Vergleich herangezogen
werden kann.
√
Wir nutzen die Binärbruchentwicklung von
lautet:
7,
die wir aus dem Tutorium kennen. Sie
(10,1010010)2 .
Diese ergibt - übertragen ins Dezimalsystem - eine Folge von rationalen Zahlen:
2,
1
2+ ,
2
2+
√
Diese Folge konvergiert gegen
1 1
+ ,
2 8
2+
1 1
1
+ + ,
2 8 64
√
7.
Daher können wir diese Folge benutzen, um uns
anzunähern:
√
2
···
7
1
1
1
= 22 · 2 2 · 2 8 · 2 64 · · · ·
1
2
7
Diese Schreibweise macht deutlich, dass wir eigentlich
2,
√
2,
qp
√
2, · · ·
rechnen, also
immer öfter die Wurzel ziehen. Aufgrund der Gleichheit der Basis in allen Folgengliedern können wir die Exponenten allerdings auch addieren und obige Gleichung wie folgt
√
notieren, was eventuell verständlicher macht, dass wir uns an
√
2
7
1
1
7
annähern:
1
= 22+ 2 + 8 + 64 +···
Dies aber nur zur Verdeutlichung. Wir bleiben bei der ersten Darstellung und rechnen
uns die relevanten Ergebnisse aus:
√
2
7
1
1
1
= 22 · 2 2 · 2 8 · 2 64 · · · ·
22 = 4
√
1
2 2 = 2 = 1,41421 · · ·
rq
√
1
2 = 1,09051 · · ·
28 =
1
2 64 = · · · = 1,04427 · · ·
√
Wir können uns somit dem Wert von
√
2
7
2
7 annähern:
≈ 4 · 1,41421 · · · · 1,09051 · · · · 1,04427 · · · ≈ 6,23602
Den Wert, den wir bei Eingabe von
2
√
7 in den Taschenrechner erhalten, lautet
6,2582153 · · · ,
unser approximierter Wert weicht also bereits ab der zweiten Nachkommastelle ab. Daher ist dieses Verfahren für das genaue Bestimmen von Nachkommastellen auf sehr viele
Binärstellen angewiesen (was logisch erscheint, schlieÿlich lassen sich im Dezimalsystem
groÿe Zahlen mit wesentlich weniger Ziern schreiben als im Binärsystem).
√
Das Verfahren oben an
2
7 dargestellt sollte daher zur Aurischung dienen, wie man die
Binärentwicklung einer Zahl nutzen kann, um ein Ergebnis wie das oben auszurechnen,
in dem
√ jene Zahl als Exponent erscheint. Im Folgenden möchten wir die Umwandlung
von
2
7 allerdings am vom Taschenrechner errechneten Ergebnis demonstrieren:
√
2
7
= 6,2582153
√
Die Vorkommastellen
der Binärdarstellung von
√
teil von
(110)2
2
7 selber. Dieser entspricht
2
7 ergeben sich aus dem Vorkommaan-
6, weshalb der Vorkommaanteil der Binärdarstellung
entspricht.
2
Für die Nachkommastellen verwenden
wir folgendes Verfahren: Wir multiplizieren den
√
reinen Nachkommaanteil von
7 mit 2 (was einer Verschiebung im Stellenwertsystem um
2
eins entspricht). Wenn das Ergebnis gröÿer-gleich 1 ist, ist die entsprechende Binärzier
eine 1, ansonsten eine 0.
Das neue Ergebnis multiplizieren wir erneut mit 2, wobei wir darauf achten müssen, dass
wir nur den reinen Nachkommateil weiterverwenden. Das ganze sieht durchgerechnet wie
folgt aus:
2 · 0,2582153 = 0,5164306 → 0
2 · 0,5164306 = 1,0328612 → 1
2 · 0,0328612 = 0,0657224 → 0
2 · 0,0657224 = 0,1314448 → 0
2 · 0,1314448 = 0,2628896 → 0
2 · 0,2628896 = 0,5257792 → 0
2 · 0,5257792 = 1,0515584 → 1
Am Ende erhalten wir (von oben nach unten abgelesen) folgende Binärzahl:
a = (110,0100001)2
Eine kurze Probe:
6+
1
4
+
1
128
= 6,2578125
Auf zwei Stellen nach dem Komma noch korrekt. Wir können davon ausgehen, dass unsere
Berechnung korrekt war. Für mehr Genauigkeit bei der Rückrechnung ins Dezimalsystem
sind einfach mehr Binärstellen notwendig, um ein genaueres Ergebnis zu bekommen.
Aufgabe 2
Aufgabenstellung
Lösung
Finden Sie
alle
Lösungen von
4x − 2x − 2 = 0.
Wir lösen diese Aufgabe mittels Substitution. Wir sagen:
z = 2x
Jetzt können wir die Ausgangsgleichung schreiben als:
z2 − z − 2 = 0
3
(1)
Das schaut doch ganz nach der PQ-Formel aus, nicht wahr? Lösen wir die Gleichung
damit:
z1/2
1
= ±
2
r
1 3
1
+2= ±
4
2 2
⇒ z1 = 2
z2 = −1
Wenn wir diese Ergebnisse in (1) einsetzen, erhalten wir:
Für
z1 : 2 = 2x .
Für
z2 : −1 = 2x
Stimmt für
x=1
L = {1}
Warum sind das nun
alle Lösungen dieser Gleichung? Könnte es nicht noch weitere geben?
Nein! Die Form der Substitution macht uns klar, dass es keine weiteren Lösungen geben
kann.
Aufgabe 3
Aufgabenstellung
dass die Gleichheit
Lösung
1 6= 0 eine positive reelle Zahl. Zeigen Sie, dass ax + a−x ≥ 2 und
genau dann gilt, wenn x = 0.
Sei
Zunächst brechen wir die Aufgabenstellung mal deutlich auf zwei zu beweisende
Aussagen auf:
ax + a−x ≥ 2 ∀x ∈ R
−x
x
a +a
Beweis für (1)
Es gilt:
=2⇔x=0
x
x
(a 2 − a− 2 )2 ≥ 0,
denn etwas Quadriertes ist immer
≥ 0.
4
(1)
(2)
Wenn wir diese Klammer mit der binomischen Formel ausrechen, erhalten wir:
x
x
ax − 2 · a 2 − 2 + a−x ≥ 0
Da
x
x
a 2 − 2 = a0 = 1
können wir das vereinfachen zu
ax − 2 + a−x ≥ 0
Und daraus folgt unmittelbar, dass
ax + a−x ≥ 2
Beweis für (2)
Wir haben es hier mit einer Äquivalenz zu tun. Das heiÿt, wir müssen
zwei Sachen zeigen! Wir müssen beide Richtungen der Gleichung beweisen. Das machen
wir wie folgt:
⇒:
x
x
ax + a−x = 2 ⇒ (a 2 − a− 2 )2 = 0
Das entspricht auch unserer obigen Herangehensweise bei Aufgabe (1). Wir folgern also,
dass das Quadrat der Klammer 0 ist. Das kann aber nur der Fall sein, wenn die Klammer
selber 0 ergibt. Also muss gelten:
x
a2 = a
Da die Basis in beiden Fällen
a
−x
2
ist, müssen demnach die Exponenten gleich sein. Also
muss gelten:
Und das kann nur der Fall sein wenn
x
−x
=
2
2
x = 0. Somit
hätten wir die eine Richtung bewie-
sen.
⇐: Das geht etwas schneller. Wir gehen davon aus, dass
ax + a−x = 2:
x = 0
und zeigen, dass
x = 0 ⇒ ax + a−x = a0 + a0 = 1 + 1 = 2
Wir hätten in dieser Aufgabe auch bei dem ersten Weg überall Äquivalenzpfeile einzeichnen können, da es sich ausschlieÿlich um Äquivalenzumwandlungen handelt und somit
würde ⇐ aus ⇒ folgen. Die obige Herangehensweise ist allerdings transparenter.
5
Aufgabe 4
0.1 Aufgabenstellung
Berechnen Sie
blog50 (2011)c − 1
ohne Taschenrechner.
0.2 Lösung
Erinnern wir uns kurz, was diese Symbole bedeuten:
bxc
bedeutet
x abgerundet.
Die
exakte mathematische Denition lautet:
bxc := max{n ∈ Zkn ≤ x} ∈ Z; x ∈ R
Was unsere Aufgabe angeht, machen wir uns zunächst klar:
501 = 50
502 = 2500
Somit gilt:
1 < log50 (2011) < 2
Das gilt, da wir einen Exponenten brauchen, der einen gröÿeren Wert als 50, aber einen
kleineren Wert als 2500 erzeugt. Aufgrund der Denition der Abrundung können wir
damit allerdings sagen, dass
blog50 (2011)c = 1
Und somit haben wir das Ergebnis:
blog50 (2011)c − 1 = 0
6