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Lösungen S.169 Nr. 15 b c d e f ( x) ax 4 bx 3 cx 2 dx e x 4 a 4 . Wenn x große Werte x x² x³ x annimmt, oder anders formuliert, wenn x sehr große (positive) oder sehr kleine (negative) b c d e Werte annimmt, dann wird der Wert des Terms 4 fast Null sein. Das bedeutet x x² x³ x dann, dass sich für sehr große Werte oder sehr kleine Werte für x der Term ax 4 bx 3 cx 2 dx e wie der Term ax 4 verhält! S.170 Nr. 16 a) Bei den Potenzfunktionen f ( x) x n mit n N treten Punktsymmetrie zum Ursprung auf, falls der Exponent n ungerade ist. Ist der Exponent hingegen gerade, so tritt eine Achsensymmetrie zur y-Achse auf. b) Der Graph der Funktion f mit f(x)=ax³+cx ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da im Funktionsterm nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten auftreten. Außerdem gilt die Gleichung f(-x)= - f(x), denn f(-x) = a(-x)³-cx = -ax³-cx und -f(x) = -ax³-cx. Der Graph der Funktion f mit f(x)=ax4+cx²+e ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da im Funktionsterm nur Potenzen von x mit geraden Exponenten auftreten. Außerdem gilt die Gleichung f(-x)=f(x), denn f(-x)=a(-x)4+c(-x)²+e=ax4+cx²+e. S. 170 Nr. 17 a) Die Funktionen f1, f5 und f7 sind achsensymmetrisch zur y-Achse, da in den Funktionstermen nur Potenzen von x mit geraden Exponenten auftreten. Die vorkommenden Konstanten verschieben die Graphen lediglich in y-Richtung. Andererseits lassen sich die Konstanten mit x0(=1) multiplizieren. Der Exponent 0 gilt als gerade. Die Funktionen f2, f3 und f8 sind punktsymmetrisch zum Ursprung. In den Funktionstermen treten nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten auf. Es gibt auch keine Konstanten! Die Funktionen f4 und f6 sind weder achsensymmetrisch zur yAchse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da sowohl Potenzen von x mit geraden als auch mit ungeraden Exponenten auftreten. b) Leitet man eine Potenz von x ab, z.B. x4, so verringert sich der Exponent um 1. Dies lässt sich mit der entsprechenden Ableitungsregel begründen. Aus geraden Exponenten werden ungerade und aus ungeraden werden gerade Exponenten. Wenn der Graph einer Funktion f achsensymmetrisch zur y-Achse ist, so ist der Graph zu f’ automatisch punktsymmetrisch zum Ursprung. Ist der Graph einer Funktion f jedoch punktsymmetrisch zum Ursprung, so ist der Graph zu f’ achsensymmetrisch zur yAchse. S. 170 Nr. 18 Der Graph der Funktion f mit der Gleichung f(x)=sin(x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da die Gleichung f(-x)=-f(x) erfüllt ist. 1 Der Graph der Funktion g mit der Gleichung g ( x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, x da die Gleichung g(-x)=-g(x) erfüllt ist. Der Graph der Funktion h mit der Gleichung h( x) x ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da die Gleichung h(-x)=h(x) erfüllt ist, denn x x Der Graph der Funktion s mit der Gleichung s ( x) x Ursprung, da die Gleichung s(-x)=-s(x) erfüllt ist. 1 ist punktsymmetrisch zum x S. 170 Nr.19 a) Es ist die Funktion f mit f(x)=x³-2x²-x+2 gegeben. Um zu zeigen, dass die angegeben Stellen tatsächlich Nullstellen der Funktion sind, werden die Werte einfach in die Funktion für x eingesetzt. Dieses lässt sich schriftlich oder mit Hilfe des GTRs (Funktion eingeben, Wertetabelle erstellen) machen. b) Graph zu der Funktion f Lokales Maximum bei mit f(x)=x³-2x²-x+2 HP(-0,215… | 2,112…) (3 Nullstellen) Lokales Minimum bei TP(1,548… | -0,631…) (2 Nullstellen) Graph um 0,631.. nach Graph um 2,112…nach oben verschoben unten verschoben (1 Nullstelle) Graph um mehr als Graph um mehr als 0,631.. nach oben 2,112…nach unten verschoben verschoben Hinweis: Wenn der Graph nach oben oder nach unten verschoben wird, stellen sich für bestimmte Verschiebungswerte 1-3 Nullstellen ein. Um z.B. zwei Nullstellen zu erhalten, muss man dafür sorgen, dass sich einer der lokalen Extrempunkte auf der xAchse befindet. Dazu berechnet man den y-Wert des jeweiligen Extrempunktes mit Hilfe des GTRs und verschiebt den Graphen um genau diesen Wert in die entsprechende Richtung. S.170 Nr.20 Der Funktionstyp I kann eine, zwei oder drei Nullstellen haben, indem man ihn geeignet in y-Achsenrichtung verschiebt. Dies liegt unter anderem daran, dass der Graph zunächst steigt, dann fällt und dann wieder steigt. Daraus folgt, dass es y-Werte gibt, zu denen es bis zu 3 xWerte gibt. Die Funktionstypen II und III können nur eine Nullstelle haben, unabhängig davon wie man die Graphen in y-Achsenrichtung verschiebt. Grund dafür ist, dass die Graphen für alle x streng monoton steigen. S. 170 Nr.21 a) f1(x) = 2(x-6)³ = 2(x-6)(x-6)² = 2(x-6)(x²-12x+36) =2x³ - 36x² + 216x – 432 f2(x)=0.5x(x-5)(x+3) = 0.5x - 1.0x² - 7.5x f3(x)=(x²+1)(x-2) = x³ - 2x² + x – 2 f4(x)=-(x²-1)(x-2) = - x³ + 2x² + x – 2 f5(x)=-x²(x+10) = - x³ - 10x² f6(x)=-(x-3)(x²+2x+1) = - x³ + x² + 5x + 3 b) f1: Dreifache Nullstelle an der Stelle x = 6 f2: Einfache Nullstellen an den Stellen x = 0, x = 5 und x = -3 f3: Einfache Nullstelle an der Stelle x=2 f4: Einfache Nullstellen an den Stellen x= -1, x= 1 und x = 2 f5: Doppelte Nullstelle an der Stelle x=0 und einfache Nullstelle an der Stelle x = -10. f6: Einfache Nullstelle an der Stelle x = 3. Nach Benutzen der pq-Formel ergibt sich noch eine doppelte Nullstelle an der Stelle x = -1. S. 170 Nr.22 Die Funktionsterme zu den Funktionen f1 bis f3 und f5 in Aufgabe 21 sind in Linearfaktoren zerlegt. Daher lassen sich die Nullstellen und die zugehörigen Linearfaktoren leicht ablesen. Beispiel 1: f1(x)=2(x-6)³ =2x³ - 36x² + 216x – 432. Aus der Linearfaktorzerlegung lässt sich die 3-fache Nullstelle x = 6 ablesen. Die Funktion lässt sich folglich so schreiben: f1(x)=2(x6)(x²-12x+36). Vergleicht man diesen Funktionsterm mit dem Term in dem gelben Kasten (a =2, x1=6, g(x)=x²-12x+36) so erkennt man, dass die Aussage richtig ist. Beispiel 2: f2(x)=0,5x(x-5)(x+3) = 0,5x – 1,0x² - 7,5x. Die Nullstellen lauten 0, 5 und -3. Somit lässt sich der Funktionsterm 0,5x – 1,0x² - 7,5x auf folgende Arten darstellen: 1. f1(x)=0,5x (x² - 2x – 15) ( a=0,5, x1=0, g(x)= x² - 2x – 15) 2. f1(x)=0,5 (x-5) (x² + 3x) ( a= 0,5, x1= 5, g(x)= x² + 3x) 3. f1(x)=0,5(x+3)(x²-5x) (a=0,5, x1=-3, g(x)=x²-5x) Bei den anderen Funktionen lässt sich der Satz über die Linearfaktorzerlegung analog bestätigen. S.171 Nr. 24 Ersetzt man die Funktionen f(x) durch –f(x), so ergeben sich Graphen, die aus den Graphen zu f(x) durch Spiegelung an der x- Achse hervorgehen. Dies hat zur Folge, dass sich die Lage der Nullstellen nicht verändert, aber die Art des Vorzeichenwechsels. S.171 Nr. 25 a) f(x) = 0,1 (x-4)(x+2)(x-7) mit a R oder f(x) = -0,1 (x-4)(x+2)(x-7) mit a R b) g(x) = -0,1 (x-3)² (x-8) mit a R oder g(x) = 0,1 (x-3)(x-8)² mit WICHTIG: eine Nullstelle muss doppelt sein! Sonst ergibt sich keine Funktion dritten Grades! c) h(x) = 0,1 (x+3)³ oder h(x) = -0,1 (x+3)³ WICHTIG: die Nullstelle muss dreifach sein! Fall 1: Wenn die Funktion dritten Grades drei Nullstellen besitzt, muss sie zwei lokale Extrempunkte haben. Fall 2: Hat die Funktion dritten Grades zwei Nullstellen, so muss eine doppelt, die andere einfach sein. Auch daraus folgt, dass sie zwei lokale Extrempunkte besitzt. Fall 3: Hat die Funktion dritten Grades jedoch nur eine Nullstelle, so kann sie entweder zwei lokale Extrempunkte besitzen oder einen Sattelpunkt oder einen Wendepunkt, der kein Sattelpunkt ist. S.171 Nr. 26 a) f(x)= 0,5x³-x²-2x+4 f ’(x) = 1,5x²-2x-2 Der Graph zu f besitzt zwei Nullstellen. Die Nullstelle bei x = 2 ist doppelt! Der Graph zu f’ besitzt auch zwei Nullstellen. Beide sind jedoch nur einfach! b) g(x)= f(x)+ k k = 3: Der Graph wird um 3 nach oben verschoben. Die doppelte Nullstelle verschwindet, die einfache Nullstelle verschiebt sich nach links. k = -1: Der Graph wird um 1 nach unten verschoben. Die einfache Nullstelle verschiebt sich nach rechts. Aus der doppelten Nullstelle entstehen zwei einfache Nullstellen. k = -5: Der Graph besitzt nur noch eine Nullstelle Die Nullstellen der 1. Ableitung verändern sich nicht, da eine Verschiebung des Graphen zu f nicht dessen Steigung ändert. g(x)= s * f(x) s = 0,5: Der Graph wird in y-Richtung gestaucht. s = 2: Der Graph wird in y-Richtung gestreckt. s = -0,5: Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt und in y-Richtung gestaucht. Für alle Werte von s verändern sich die Anzahl und die Lage der Nullstellen der Graphen von f und f ’ nicht!!!! Ist an einer Stelle der Funktionswert Null, so bleibt er Null, wenn er mit s multipliziert wird. Dadurch bleiben die Nullstellen da, wo sie sind. S.171 Nr. 27 f1(x) = 2(x+2)(x-1)(x-3) = 2x³ - 4x² - 10x + 12 f2(x) = (x+3)(x-2)² = x³ - x² - 8x + 12 f3(x) = 1,5 (x+1)²(x-3) = 1.5x³ - 1,5x² - 0,75x - 4,5 f4(x) = (x+3)(x²+x+1) = x³ + 4x² + 4x + 3 f5(x) = 0,5 (x+1)³ = 0,5x³ + 1.5x² + 1.5x + 0.5 f6(x) = (x-1)(x²+4) = x³ - x2 + 4x - 4 f1’(x) = 6x²-8x-10 f2’(x) = 3x²-2x-8 f3’(x) = 4,5x²-3x-0,75 f4’(x) = 3x²+8x+4 f5’(x) = 1,5x+3x+1,5 f6’(x) = 3x²-2x+4 a) Zusammengefasst lässt sich folgendes sagen: Besitzt f(x) eine Nullstelle mit ungerader Vielfachheit (z.B. einfach, dreifach, usw.) so ist der Wert f ’(x) entweder positiv oder negativ. Besitzt f(x) jedoch eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit, so ist der Wert f ’(x) = 0. In diesem Fall berührt der Graph die x-Achse, die Steigung ist Null und es liegt eine lokale Extremstelle vor. b) In der Produktform (z.B. f(x) = x (x+1)², nicht jedoch g(x) = x²+ x) lassen sich die Nullstellen und deren Vielfachheiten ablesen. Ist die Vielfachheit einer Nullstelle gerade, so berührt der Graph die x-Achse an der Nullstelle. Ist sie jedoch ungerade, so schneidet der Graph an der Nullstelle die x-Achse. S.171 Nr. 28 Jede Funktion dritten Grades, also f(x)= ax³+bx²+cx+d, verhält sich laut Basiswissen auf Seite 169 oben wie die Funktion f(x) = a x³. Falls a >0, und x gegen positiv unendlich strebt, so strebt f(x) auch gegen positiv unendlich. Strebt x gegen negativ unendlich, so strebt f(x) auch gegen negativ unendlich. Falls a negativ ist, strebt f(x) gegen negativ unendlich für x + oo, für x -oo jedoch gegen positiv unendlich. Daraus folgt, dass der Graph einer Funktion dritten Grades mindestens einmal die x-Achse schneiden muss! S.172 Nr. 29 a) Funktionsterm ist in Produktform gegeben. Die Nullstellen lassen sich einfach ablesen: x = 0, x=5 oder x = -3/2 b) Nach Ausklammern von 5x³ ergibt sich f(x) = 5x³(x+3/5). Die Nullstellen lassen sich nun ablesen: Dreifache Nullstelle bei x=0 und einfache Nullstelle bei x = - 3/5 c) Nach Ausklammern von x ergibt sich f(x) = x(x²-3x-2). Durch Ablesen und mit Hilfe der pq-Formel oder mit Hilfe des GTRs ergeben sich die Nullstellen x1 = 0, 3 17 3 17 x2 3,562 und x3 0,562 2 2 d) Der Term x²+1 kann nicht Null werden. Damit ergibt sich nur die doppelte Nullstelle bei x = 1 e) Mit Hilfe des GTRs ergeben sich die Nullstellen x1 = -1 und x2 = 1. Sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen, da der Graph symmetrisch zur y-Achse ist, da im Funktionsterm nur Potenzen von x mit geradem Exponenten vorkommen f) Durch Ablesen und ein wenig Kopfrechnen ergeben sich die Nullstellen x1 = - 0,5, x2 = 7 und x3 = 7 . g) Ausklammern ergibt f(x)= 4x ( x²-9/4). Ablesen und Kopfrechnen ergibt x1=0, x2=3/2 und x3 = -3/2. h) Ausklammern ergibt f(x)=9x (x²g-2/3x+1/9). Anwenden der 3. binomischen Formel ergibt f(x)= 9x (x-1/3)². Durch Ablesen erhält man x1=0, x2= 1/3 (doppelte Nullstelle) i) Mithilfe des GTRs ergeben sich die Nullstellen x1≈-1,781, x2 ≈ 0,281 und x3 = 1. S.173 Nr. 30 a) 1 3 3 x ³ 3 x . Die Ableitungen lauten: f ' ( x) x ² 3 und f ' ' ( x) x . 4 4 2 Der Graph zu f(x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da im Funktionsterm nur Potenzen von x mit ungeradem Exponenten vorkommen! Ist x=a Nullstelle, so ist auch x= -a Nullstelle Ist P(a | b) ein lokaler Hochpunkt, so ist Q(-a | -b) ein lokaler Tiefpunkt. Ist P(a | b) ein lokaler Tiefpunkt, so ist Q(-a | -b) ein lokaler Hochpunkt. f ( x) Die Nullstellen ergeben sich durch Ausklammern von x und Kopfrechnen: x1 = 0, x2 = 12 und x3 = 12 . Lokale Extrempunkte notwendige Bedingung f ’(x)=0 f ’(x) =0 x1= - 2 und x2 = 2. Hinreichende Bedingung f’(x)= und f’’(x)0 f ’’(-2)= -3 lokaler Hochpunkt an der Stelle x = -2. f’’(2) = +3 lokaler Tiefpunkt an der Stelle x= 2 Berechnung der y-Werte f(-2) = 4 und f(2) = -4 Fazit Lokaler Hochpunkt bei HP( -2 | 4) und lokaler Tiefpunkt bei TP( 2| -4). Wendepunkte Notwendige Bedingung f’’(x)=0 f’’(x)=0 0=3/2x x = 0 Hinreichende Bedingung f’’(x) hat an seiner Nullstelle einen Vorzeichenwechsel Da der Funktionsterm zu f ’’ linear ist, liegt an der Stelle x=0 ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor. Fazit: Wendepunkt bei WP(0|0) b) f ( x) x ³ 6 x ² 9 x . Die Ableitungen lauten: f ' ( x) 3x ² 12 x 9 und f ' ' ( x) 6 x 12 . Der Graph zu f(x) ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur yAchse. Die Nullstellen ergeben sich durch Ausklammern von - x und Anwenden der 3. binomischen Formel: x1 = 0, x2 = 3 (doppelte Nullstelle und damit lokale Extremstelle!!) Lokale Extrempunkte notwendige Bedingung f ’(x)=0 f ’(x) =0 x1= 1 und x2 = 3. Hinreichende Bedingung f’(x)= und f’’(x)0 f ’’(1)= +6 lokaler Tiefpunkt an der Stelle x = 1. f’’(3) = -6 lokaler Hochpunkt an der Stelle x= 3 Berechnung der y-Werte f(1) = -4 und f(3) = 0 Fazit Lokaler Hochpunkt bei TP( 1 | -4) und lokaler Hochpunkt bei HP( 3| 0). Wendepunkte Notwendige Bedingung f’’(x)=0 f’’(x)=0 0=-6x+12 x = 2 Hinreichende Bedingung f’’(x) hat an seiner Nullstelle einen Vorzeichenwechsel Da der Funktionsterm zu f ’’ linear ist, liegt an der Stelle x=2 ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor. y-Koordinate berechnen f(2) = -2 Fazit: Wendepunkt bei WP(2|-2) c) 1 f ( x) x 4 x 3 . Die Ableitungen lauten: f ' ( x) x ³ 3x ² und f ' ' ( x) 3 x ² 6 x . 4 Der Graph zu f(x) ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur yAchse. Die Nullstellen ergeben sich durch Ausklammern von – 1/4x³(also f(x)=-1/4x³(x-4)): x1 = 0 (dreifache Nullstelle), x2 = 4 (einfache Nullstelle) Lokale Extrempunkte notwendige Bedingung f ’(x)=0 0=-x³+3x² 0= -x² ( x-3) f ’(x) =0 x1= 0 (doppelte Nullstelle, also ohne VZW!!!) und x2 = 3. Hinreichende Bedingung f’(x)= und f’’(x)0 f ’’(0)= 0 kein lokales Extremum, da f ’(0) ohne VZW. f’’(3) = -9 lokaler Hochpunkt an der Stelle x = 3 Berechnung der y-Werte f(0) = 0 und f(3) = 6,75 Fazit Lokaler Hochpunkt bei HP( 3| 6,75). Wendepunkte Notwendige Bedingung f’’(x)=0 f’’(x)=0 x1=0 und x2 = 2 Hinreichende Bedingung f’’(x) hat an seiner Nullstelle einen Vorzeichenwechsel Da der Graph zu f ’’ eine nach unten geöffnete Parabel mit zwei Nullstellen ist, besitzen beide Nullstellen einen VZW. y-Koordinaten berechnen f(0) = 0, f(2) =4 Fazit: Sattelpunkt bei SP(0 | 0), da f ’(0) = 0 und Wendepunkt bei WP( 2 | 4) 1 4 4 x 2 x ² . Die Ableitungen lauten: f ' ( x) x ³ 4 x und f ' ' ( x) 4 x ² 4 . 3 3 Der Graph zu f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da im Funktionsterm nur Potenzen von x mit geradem Exponenten vorkommen! Ist x = a Nullstelle, so ist auch x = -a Nullstelle Ist P(a | b) ein lokaler Hochpunkt, so ist Q(-a | b) ein lokaler Hochpunkt. Ist P(a | b) ein lokaler Tiefpunkt, so ist Q(-a | b) ein lokaler Tiefpunkt. Die Nullstellen ergeben sich durch Ausklammern von 1/3x² (also f(x)=1/3x²(x²-6) und Kopfrechnen: x1 = 0 (doppelte Nullstelle und damit lokale Extremstelle), x2 = 6 und x3 = d) f ( x) 6. Lokale Extrempunkte notwendige Bedingung f ’(x)=0 0 = 4/3x³-4x = 4/3x(x²-3) f ’(x) =0 x1= 0, x2 = 3 und x3 = 3 Hinreichende Bedingung f’(x)= und f’’(x)0 f ’’(0)= -4 lokaler Hochpunkt an der Stelle x = 0. f’’( 3 ) = 8 lokaler Tiefpunkt an der Stelle x = 3 f’’(- 3 )=8 lokaler Tiefpunkt an der Stelle x = - 3 Berechnung der y-Werte f(0) = 0, f( 3 ) = und f(- 3 )=-3 Fazit Lokaler Tiefpunkt bei TP1( - 3 | -3) und lokaler Tiefpunkt bei TP2( 3 | -3). Wendepunkte Notwendige Bedingung f’’(x) = 0 0 = 4 x ² - 4 f’’(x) = 0 x = -1 oder x = 1 Hinreichende Bedingung f’’(x) hat an seinen beiden Nullstellen Vorzeichenwechsel, da der Graph zu f ’’ eine nach oben geöffnete Parabel ist. Fazit: Wendepunkte bei WP1(-1|-5/3) und WP2(1|-5/3) e) f ( x) x 3 3x² 3x . Die Ableitungen lauten: f ' ( x) 3x ² 6 x 3 und f ' ' ( x) 6 x 6 . Der Graph zu f(x) ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur yAchse. Die einzige Nullstelle ergibt sich durch Ausklammern von x (also f(x)=x(x²-3x+3)): x = 0 Der Term x²-3x+3 wird nicht Null, was sich durch Anwenden der pq-Formel überprüfen lässt. Lokale Extrempunkte notwendige Bedingung f ’(x)=0 f ’(x) =0 0=x²-2x+1=(x-1)² x = 1 (doppelte Nullstelle der ersten Ableitung und damit Wendestelle der Funktion f, da kein VZW) Hinreichende Bedingung f’(x)= und f’’(x)0 f ’’(1)= 0 kein lokales Extremum, da f ’(0) ohne VZW. Fazit Keine lokalen Extrema Wendepunkte Notwendige Bedingung f’’(x)=0 f’’(x)=0 x=1 Hinreichende Bedingung f’’(x) hat an seiner Nullstelle einen Vorzeichenwechsel Da der Graph zu f ’’ eine streng monoton steigende Gerade ist, besitzt er eine Nullstelle mit VZW. y-Koordinaten berechnen f(1) = 1 Fazit: Sattelpunkt bei SP(1 | 1), da f ’(1) = 0 f) 1 3 3 f ( x) x 3 x ² 3 x . Die Ableitungen lauten: f ' ( x) x ² 3 x 3 und 2 2 2 f ' ' ( x) 3x 3 . Der Graph zu f(x) ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur yAchse. Die einzige Nullstelle ergibt sich durch Ausklammern von -1/2x (also f(x)=-1/2x(x²-3x+6)): x =0 Der Term x²-3x+6 wird nicht Null, was sich durch Anwenden der pq-Formel überprüfen lässt. Lokale Extrempunkte notwendige Bedingung f ’(x)=0 f ’(x) =0 0=x²-3x+2 Anwenden der pq-Formel ergibt keine Lösung Fazit Keine lokalen Extrema Wendepunkte Notwendige Bedingung f’’(x)=0 f’’(x)=0 x=1 Hinreichende Bedingung f’’(x) hat an seiner Nullstelle einen Vorzeichenwechsel Da der Graph zu f ’’ eine streng monoton fallende Gerade ist, besitzt er eine Nullstelle mit VZW. y-Koordinaten berechnen f(1) = -2 Fazit: Wendepunkt bei SP(1 | -2) S.173 Nr. 31 Hinweis: Beim linken Graphen muss man zwischen den Wendestellen zwei lokale Extremstellen einbauen. Sonst funktioniert es nicht.
