Universität zu Köln SS 2012 Mathematisches Institut Algebraische

Universität zu Köln
Mathematisches Institut
SS 2012
Algebraische Topologie
4. Übungsblatt
Prof. Stefan Friedl PhD und Dr. Raphael Zentner
Bearbeiten Sie folgende Aufgaben selbständig und werfen Sie das bearbeitete Übungsblatt
spätestens bis Montag den 13. Mai um 12 Uhr in den dafür vorgesehenen Briefkasten im
Foyer des Mathematik-Containers bei der Physik.
Aufgabe 1. Es seien f, g : C∗ → F∗ und x, y : F∗ → X∗ kettenhomotope Abbildungen.
Zeigen Sie, dass x ◦ f und y ◦ g ebenfalls kettenhomotope Abbildungen sind.
Aufgabe 2. Es sei K ⊂ Rn eine kompakte Teilmenge und {Vi }i∈V eine offene Überdeckung
von K. (Zur Erinnerung, dies bedeutet, dass die Vi offen sind, und dass K = ∪i∈I Vi .)
Zeigen Sie: Es gibt ein λ > 0 mit der Eigenschaft, dass es für jedes x ∈ K ein i ∈ I gibt,
so dass Bλ (x) ⊂ Vi .
Solch ein λ > 0 wird manchmal Lebesgue-Zahl von der offenen Überdeckung genannt.
Aufgabe 3. Es sei X ein topologischer Raum und es seien Z ⊂ A ⊂ X Teilmengen. Wir
nehmen an, dass es eine Teilmenge U ⊂ Z gibt, so dass der Abschluss von U im Inneren
von A enthalten ist, und so dass folgende Aussagen gelten:
(1) U ist ein Deformationsretrakt von Z.
(2) X \ Z ist ein Deformationsretrakt von X \ U
(3) A \ Z ist ein Deformationsretrakt von A \ U .
Zeigen Sie, dass die Inklusion (X \ Z, A \ Z) → (X, A) für jedes n einen Isomorphismus
Hn (X \ Z, A \ Z) → Hn (X, A)
induziert.
Aufgabe 4. Es sei X ein topologischer Raum und es sei U = {Ui }i∈I eine Überdeckung
von X. Wir bezeichnen mit in : CnU (X) → Cn (X) die Inklusionsabbildungen.
(a) Konstruieren Sie nicht-triviale Kettenabbildungen fn : Cn (X) → CnU (X).
Hinweis: Konstruieren Sie fn induktiv für n = 0, 1, . . . und verwenden Sie dabei
unter anderem die Unterteilungsabbildungen um
n angewandt auf singuläre n-Simplizes,
wobei das m von Simplex zu Simplex variieren kann. Stellen Sie sicher, dass Ihre
Abbildungen eine Kettenabbildung ergeben.
(b) Konstruieren Sie Kettenabbildungen fn : Cn (X) → CnU (X), so dass die Abbildungen
in ◦ fn und id kettenhomotope Abbildungen Cn (X) → Cn (X) sind.
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