Analysis 1 - Uni Salzburg

10.03.2015
Prof. Dr. Verena Bögelein
Analysis 1
2. Übungsblatt
Aufgabe 5
Verinnerlichen Sie das Beweisprinzip der vollständigen Induktion, indem Sie Ihre Vorlesungsunterlagen, insbesondere den Beweis der Bernoulli-Ungleichung, nachvollziehen. Zeigen Sie dann, dass gilt
n Y
1
1
1−
=
k
n
k=2
für alle n ∈ N, n ≥ 2. Weiters denieren
wir für eine natürliche Zahl n ∈ N die sogenannte
Q
n! dieser Zahl als n! := ni=1 i. Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N≥2 gilt
Fakultät
4n
(2n)!
<
.
n+1
(n!)2
Aufgabe 6
Wie in der Vorlesung
P besprochen, lässt sich für n ∈ N via vollständiger Induktion eine
einfache Formel für ni=1 i angeben (Sie dürfen diese bei Aufgabenteil (b) ohne weitere
Begründung verwenden!). In dieser Aufgabe soll ein ähnlicher Ausdruck untersucht werden.
(a) Beweisen Sie dazu für n ∈ N mittels vollständiger Induktion zunächst
n
X
i2 =
i=1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
(b) Benützen Sie nun diese Formel, um für n ∈ N den Ausdruck
n
X
(i − 2)(2i + 7)
i=1
zu berechnen.
Aufgabe 7
Der Umgang mit einer häug verwendeten Schreibweise für sogenannte Doppelsummen
(d. h. es wird über zwei verschiedene Indices k und ` summiert) soll im Folgenden anhand
des Ausdrucks
4
X
(−1)k
k+`
k,`=1
erlernt werden. Diese Doppelsumme ist dabei so zu verstehen, dass jedem Indexpaar (k, `)
k
der Summand (−1)
k+` zugeordnet ist (es treten demnach insgesamt 16 Summanden auf).
Eine äquivalente, häug benützte Schreibweise für obige Doppelsumme ist
X
1≤k,`≤4
(−1)k
.
k+`
Berechnen Sie diese. Analog kann man auch bei Produkten über mehrere Indices multiplizieren. Berechnen Sie
Y
1≤k<`≤5
k
.
k+`
Beachten Sie dabei, dass das Produkt hier nur über diejenigen k, ` ∈ {1, ..., 5} mit k < `
gebildet wird.
Aufgabe 8
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden (Un-)Gleichungen, d. h. begründen Sie,
für welche x ∈ R die (Un-)Gleichungen erfüllt sind:
|x| − 1 · |x| + 1 = x2 − 1.
|x| − 1 < |x − 1|,
Unter Umständen kann Ihnen dabei anfänglich jeweils eine Skizze helfen, als Beweis an der
Tafel genügt diese jedoch nicht! Für zwei reelle Zahlen x und y denieren wir zudem
max{x, y} :=
x
y
falls x ≥ y ,
sonst.
Finden Sie eine Formel, die das Maximum max{x, y} zweier Zahlen x, y ∈ R durch x, y ,
und |x − y| ausdrückt. Analog zum Maximum zweier Zahlen kann man auch das Minimum
min{x, y} zweier Zahlen denieren. Kann man dafür eine entsprechende Formel angeben?
Aufgabe 9
Beweisen Sie die in der Vorlesung angegebene, dort jedoch nicht begründete Formel
n
X
i=0
für alle q 6= 1 und n ∈ N ∪ {0}.
qi =
1 − q n+1
1−q