Umwandlung gewöhnlicher Bruch Dezimalbruch

Umwandlung gewöhnlicher Bruch  Dezimalbruch
Erweiterung der Division (für Quotientenwerte  Z ) :
Bsp.1) a) 3500 : 4 = 875
32
30
28
20
20
--
c)c)
b) 35 : 4 = 8 + 3:4 = 8 +
Methode 1)
oder Methode 2)
,
,,
,,
350
350: :44 == 350
350 00: : == 87
8755
,,
,,
,
,
3,5
3,5: :44 == 33 500
500: :44== 00875
875
e)
0,35 : 4 = 0 3500 : 4 = 0 0875
usw.
SAT/JS
,
35 : 4 = 35 00 : = 8 75
32
30
28
20
20
--
d)d)
Bsp.2)
3
3
= 8
= 8,75
4
4
130,2 : 14 = 9, 3
126
42
42
--
Bsp.3)
3,6 : 4 = 0, 9
0
36
36
--
Bsp.4)
9 : 125 =
Kürzer:
9,000 : 125 = 0,072
0
90
00
900
875
250
250
----
3,6 : 4 = 0, 9
36
-(geht auch im Kopf!)
Kürzer : 9 : 125 = 0,072
900
875
250
250
----
Merke : a) Vor dem Herunterholen der 1. Nachkommastelle wird im Quotientenwert das Komma
gesetzt.
b) Stehen keine Ziffern mehr zum Herunterholen zur Verfügung, so werden an die Reste
Nullen angehängt ( Herunterholen von gedachten Endnullen)
vgl. LS : S. 34 und S. 98
HA : LS / S. 99 /Nr. 3) a,b,c,d,g,m
Nr . 4 ) a,e,g,k,l,m
Nr. 5) (kurz besprechen: jeweils Preis für 1kg berechnen- ist oft auch bereits mit angegeben)
Anwendung für die Umwandlung in Dezimalbrüche:
3
32  6  0,6

5
52
10
Methode 1)
3

3 : 5 = 0,6
5 Methode2)
3 7  3 35  3,35
20
100
(M.1)
3 7 
3 + 7 : 20 = 3 + 0,35 = 3,35
20 ( M.2)
36  12  2 2  2,4 (so am einfachsten!)
15
5
5
1  ?
7
Methode 1 versagt hier, da keine Stufenzahl ein Vielfaches von 7 ist !
1  1 : 7 = 0, 142857 142857 142857 ..... = 0,  142857
7 ( 2)
10
1.Periode 2.Periode
7
30
28
20
14
sprich : null
zur 1.Periode
60
Komma Periode
56
eins vier ...
40
35
50
49
10
7
30
zur 2.Periode
......
a) Keine Vielfaches von 10 bis 60 ist durch 7 teilbar
 die Division geht nie auf unendlicher D.b.
ganz so schlimm ist es aber nicht :
b) Rest < 7  nur 6 verschiedene Reste möglich (1,...,6)
 spätestens nach der 6. Dezimale tritt irgendein Rest zum 2. Mal auf
 unendlich periodischer D.b. (hier Periodenlänge  6)
SAT:
3 
22
3 : 22 = 0, 1 3 6 3 6 ...
30
22
80
66
140
132
80
........
= 0 , 1 36
sprich :
null Komma eins
Periode drei sechs
Hier ergibt sich ein gemischt periodischer D.b
mit Periodenlänge 2 (<22)
( 0,  142857 ist ein rein periodischer D.b.)
2  2 : 3 = 0, 6 6 6 ... =
0, 6
3
rein periodischer D.b mit Periodenlänge 1
2  2 : 15 = 0, 1 3 3 .... = 0, 13
JS : (evtl. mit „schriftlicher Division“)
15
gemischt periodischer D.b mit Periodenlänge 1
JS : (geht ohne „schriftliche Division“)
JS : (evtl. mit „schriftlicher Division“?  nein: ungeschickt!)
3  1  0,2
15 5
HA : LS / S. 105 / Nr. 3) a, b , c , i
S. 35 / Nr. 3) ohne d)
(nicht immer ist Methode 2 nötig! Vorteil beachten!)
Allgemein gilt :
1) Jeder (gewöhnliche) Bruch lässt sich entweder als endlicher Dezimalbruch oder als unendlich
periodischer Dezimalbruch schreiben
2) a) Ist der Nenner des (gekürzten) Bruches Teiler einer Stufenzahl, dann kann man durch Erweitern
eine Stufenzahl im Nenner herstellen
 endlicher D.b.
Wie erkennt man solche Nenner ?
b) 10 = 2 · 5
100 = 2 · 5 · 2 · 5
1000 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5
usw.
 Alle Teiler von Stufenzahlen enthalten als Primfaktoren nur 2 und / oder 5
a) und b) 
Ein (vollständig gekürzter!) gewöhnlicher Bruch lässt sich genau dann in einen endlichen D.b.
umwandeln, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und / oder 5 enthält .
3) Enthält der Nenner auch andere Primfaktoren außer 2 und 5 , dann ergibt sich bei der Umwandlung
stets ein unendlich periodischer D.b. (gekennzeichnet durch eine immer wiederkehrende
Zifferngruppe, die Periode.)
Es gilt : Periodenlänge < Nenner
Anmerkung: Ab der 9. Klasse kommen auch nicht periodische D.b. vor, die entstehen aber nicht
durch Division, stellen also keine Brüche dar !
Beginnt die Periode unmittelbar nach dem Komma, so heißt der D.b. rein periodisch (Bsp.: 0, ´1256 ),
andernfalls heißt er gemischt periodisch (Bsp.: 0, 12´56 ).
Hinweis : D.b. rein periodisch  weder 2 noch 5 im Nenner des gew. B. (nicht explizit im LP / Buch)
wird hier nicht weiter begründet
5  5 : 3  25 : 3  8, 3  0,83
später !
6 2
10
10
allgemein : Abspaltung der Primfaktoren 2 und 5 liefert einen rein periodischen D.b. im Zähler und eine Stufenzahl im
Nenner  durch Kommaverschiebung gemischt periodischer D.b.
Begründung an Bsp. wäre :
weitere Bsp. :
7  7
 endlicher D.b.
40
2225
 rein periodischer, unendlicher D.b. (Per.länge < 21)
24  2 4
21
37
21  3  3
 endlicher D.b.
175 25
55
4 16  4 8  4 8  gemischt periodischer, unendlicher D.b. (Per.länge < 75)
150
75
355
39  13  13
 endlicher D.b.
24
8
222
HA : LS / S. 35 / Nr. 8) +
S. 106 / Nr. 14) a) – g)
Spezialfälle (lernen!):  Ergänzung der Tabelle weiter vorne !
1  1: 3  0, 3
3
2  2 : 3  0,  6
3
1 = 3
0,  9
3
Für Interessierte :
1 ......  0, 1
9
2  ......  0, 2
9
usw.
1 ...  0, 01
99
2  ....  0, 02
99
evtl. Nr. 15)
Anwendung : 2, 873  2 873 (usw.)
999
usw.
LZK : welche Art von D.b. ergibt sich (Begr.) ? bei einfachen Umwandlungen umwandeln !
2 ; 3; 8; 7 ; 8 ; 8 ; 7 ; 3 ; 3 ; 4 ; 2;
5 25 15 16
9 125 55 4
8
5
3
11 ; 25 ; 21
22
75
75
Welche der folgenden Quotientenwerte sind sicher falsch (Begr.) :
32 : 7 = 4, 5714286 ? ( liefert z.B. mein TI 31 Demo! )
falsch !
32 : 7 = 4, 5714286 ?
richtig : unendl.per.D.b. mit Periodenlänge <7 : 32 : 7 = 4, 571428 5714286 .... 
Erklärung : der Rechner rundet (auf 8 Stellen insgesamt, da nicht mehr Platz)  nächstes Kapitel
weitere Bsp. (Entscheide , ohne zu dividieren; kürzen und evtl. umwandeln ; evtl. mit Methode1) :
21
20 : 21 = 0,952381 ? f: müsste unendlich sein
= 1, 05 ? f: müsste endlich sein
20
7
= 0,777 777 8
? f: müsste unendlich sein
35 : 11 = 3, 18 ? kann stimmen (stimmt)
9
13 : 6 = 2, 1 667649 ? f: Periode zu lang
87 : 25 = 3, 48 ? f: müsste endlich sein
21
21 3
21
21
= 0,0375 ?
f:
= =0,375
= 0, 357 ?
f:
= 7 =0,35
60
60 20
56
56 8
HA.: LS / S. 106 / Nr. 17) / Nr. 20) Nr. 20) vorher z.T. mdl. besprechen Formulierungen!
Evtl. zu letztem Bsp. von Nr. 20) vorher : 112  7 = 0,4375 (NR)
256 16
 Merke : Wenn möglich, dann immer erst kürzen!!
Einordnen von per Db :
...........
Rundungen : 0, 739  ...  0,7397 (4 D)
0, 739  0, 740
(3D)
0, 02 5400 = 0,02 5400 5400  0,025401 ( 5 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) :
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;
1,23 456 ( 8 D) ;
1,23 456 ( 8 gZ)
2,3 74 (5 D) ;
0,0 70 (4 gZ)
;