¨Ubungen – Blatt 4

Prof. Dr. Annette Werner
Dr. Amir Džambić
Lineare Algebra
Wintersemester 2010/2011
Übungen – Blatt 4
(Abgabe der Lösungen bis zum 18. 11. 2010 um 10 Uhr in den dafür
vorgesehenen Schränken.
Diese stehen in der Robert-Mayer-Str. 6, 3.Stock (im Flur) und sind
gekennzeichnet)
Aufgabe 1. Bestimmen Sie

0 7
 7 3
a) A = 
 3 0
21 9
die Determinanten folgender


−2 −1

9
5 


b)
A
=

−2 −1 
27 15
Matrizen:

1 2 3 4
1 0 0 −2 

1 −3 0 3 
0 −3 0 1
(4 P.)
Aufgabe 2. Seien x und y reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass gilt


x y 0
1
 −y x −1 0 
2
2
2

det 
 0 1 x −y  = (x + y + 1)
−1 0 y
x
(4 P.)
Aufgabe 3.
a) (Regel von Sarrus) Sei A = (ai,j )i,j=1,2,3 eine 3 × 3-Matrix. Zeigen Sie:
det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 .
b) Sei n ∈ N und sei A eine n × n-Matrix. Drücken Sie det(−A) in Abhängigkeit
von det(A) und n aus.
(4 P.)
Aufgabe 4.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die Determinante der n × n-Matrix
A := (ai,j ) mit ai,j = 1, falls i + j = n + 1 und ai,j = 0, falls i + j 6= n + 1.
b) Zeigen Sie, dass für die n × n-Matrizen

2 −1
 −1 2

 0 −1

Bn := 


 0
0
0
0
0
−1
2
0
0
0
0
0
0
0
0






...


2 −1 
−1 2
folgende Rekursionsformel für n ≥ 3 gilt:
det(Bn ) = 2 · det(Bn−1 ) − det(Bn−2 ).
Raten Sie eine geschlossene Formel für det(Bn ) in Abhängigkeit von n, und beweisen
Sie diese mit vollständiger Induktion.
(4 P.)