Bevölkerungsentwicklung mit drei Altersgruppen
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Bevölkerungsentwicklung mit drei Altersgruppen Projektseminar in Sommersemester 2006: Simulation komplexer Systeme Technische Universität Clausthal Institut für Umweltwissenschaften Leibnizstraße 21-23 38678 Clausthal-Zellerfeld Betreuer(in) : PD Dr. rer. nat. habil. Helmut Lessing Dipl.-Wirtsch.-Inform. Jana Görmer vorgelegt von: Name: xxx Matr.-Nr.: xxx Studiengang: xxx xxx xxx xxx Clausthal-Zellerfeld, 10. Juli 2006 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ................................................................................................... 2 2 Problemstellung ......................................................................................... 3 3 Systemstruktur .......................................................................................... 4 3.1 Teilmodell Kinder-Klasse ........................................................... 3.1.1 Wortmodell mit Erklärung ................................................... 3.1.2 Vom Wortmodell zum Wirkungsgraph ................................ 3.1.3 Vom Wirkungsgraph zu mathematischen Ausdrücken ........ 3.1.4 Kritische Parameter ............................................................. 3.2 Teilmodell Eltern-Klasse ............................................................ 3.2.1 Wortmodell mit Erklärung .................................................. 3.2.2 Vom Wortmodell zum Wirkungsgraph ................................ 3.2.3 Vom Wirkungsgraph zu mathematischen Ausdrücken ........ 3.3 Teilmodell Alte-Klasse ............................................................... 3.3.1 Wortmodell mit Erklärung ................................................... 3.3.2 Vom Wortmodell zum Wirkungsgraph ................................ 3.3.3 Vom Wirkungsgraph zu mathematischen Ausdrücken ........ 4 4 5 6 6 8 8 8 8 9 9 9 9 4 Quantifizierung des Simulationsmodells ................................................. 10 5 Simulation der Bevölkerungsentwicklung ............................................... 12 5.1 5.2 5.3 5.4 Vom Strukturdiagramm zum Simulationsmodell ........................ Standardlauf ................................................................................ Parametermanipulation ............................................................... Gleichgewichtspunkt ................................................................... 12 13 14 15 6 Erweiterbarkeit .......................................................................................... 15 6.1 6.2 Vereinfachungen .......................................................................... Erweiterungsmöglichkeiten ......................................................... 6.2.1 Einflussgrößen ................................................................. 6.2.2 Strukturelle Verfeinerung ................................................. 15 16 16 16 Literaturverzeichnis .................................................................................. 18 Anhang ........................................................................................................ 19 1 1. Einleitung 1. Einleitung Im ersten Buch Moses lesen wir: „Und Gott segnete sie und sprach zu ihnen: Seid fruchtbar und mehret euch und füllet die Erde und machet sie euch untertan und herrschet über die Fische im Meer und über die Vögel unter dem Himmel und über alles Getier, das auf Erden kriecht.“ Wir wissen nicht genau, wann diese Worte zum ersten Mal formuliert wurden und wie groß die Erdbevölkerung damals war. Man darf aber annehmen, dass der Ursprung des Bibelzitats in die Zeit zwischen 2000 v. Chr. und Christi Geburt fällt. Damals lebten etwa 250 Mill. Menschen auf der Erde; das entspricht zweifach der heutigen Einwohnerzahl Japans. Derzeit (2006) leben auf der Erde mit 6.5 Mrd. Menschen etwa 26 mal so viele wie zu jener Zeit. Und es kommen jährlich etwa 90-100 Mill. Menschen hinzu. Wir erleben eine gewaltige Zunahme der Weltbevölkerung. Zu Beginn der 90er Jahre müssen wir uns für konsequente Maßnahmen entscheiden, um das Bevölkerungswachstum aufzuhalten, die Armut zu bekämpfen und die Umwelt zu schützen. Anderenfalls können wir unseren Kindern nur ein vergiftetes Erbe hinterlassen. Dazu ist notwendig, die Bevölkerungsentwicklung der einzelnen Länder zu untersuchen. Es gibt charakteristische demographische Unterschiede zwischen den Bevölkerungen der Industrie- und Entwicklungsländern. Die Bevölkerung in den Industrieländern z.B. Japan, Deutschland, wächst nur noch schwach an, der Anstieg der Weltbevölkerung rührt aus der derzeitigen Bevölkerungsexplosion in den Entwicklungsländern (z.B. Indien, VR China) her. Wir suchen nach entsprechenden Modellen, die Verhalten der Bevölkerungsentwicklung in einer bestimmten Region beschreiben und möglichst auch Hinweise auf notwendige Änderungen oder Einwirkungen geben können, um zulässige oder gar gefährliche Entwicklungen zu vermeiden. Die erste Phase der Modellbildung hat sich mit dem Erkennen und der Darstellung der verhaltensrelevanten Systemstruktur zu befassen. In Kapital 2 werden die Problemstellung und der Modellzweck klar umrissen. Dann folgt die Entwicklung des Systemkonzeptes, das in einem Wortmodell erfasst wird. Anschließend sind die Systemelemente und ihre Wirkungsbeziehungen herauszuarbeiten und im Wirkungsdiagramm darzustellen. Wir haben die Arbeitsschritte in drei Teilmodelle aufgeteilt, die wir in Kapitel 3 erläutern. Die Quantifizierung des Modells finden wir in Kapital 4. Nach der Modellprogrammierung und ersten Simulationen wird durch Analyse des Modellsystems einen tieferer Einblick in das ganze Sprektrum des Verhaltens geboten. Es besteht die Aufgabe, das dynamische System durch gezielte Systemveränderung (z.B. Kinder pro Frau) und Einwirkungen von außen so zu lenken, dass sich daraus ein optimales Verhalten ergibt. Mit den entsprechenden Arbeitsschritten befasst sich das Kapitel 5. In Kapitel 6 wird die Erweiterbarkeit des Modells untersucht. Bevölkerungsprognosen stellen eine der Grundvoraussetzungen für die Vorhersage und Planung des Zukünftigen Bedarfs im Bereich von Nahrungsmitteln, Energie, Arbeitsplätzen, Infrastruktur und sozialen Leistungen dar. Es wäre ideal, wenn man sich auf eine einzige Bevölkerungsprognose bezöge, welche allgemeine Zustimmung findet. Da jedoch die Faktoren, welche die Bevölkerungsent2 2. Problemstellung wicklung beeinflussen – Fruchtbarkeit, Sterblichkeit, Wanderungsbewegungen – nicht vollständig vorausgesagt werden können, stellen solche Prognosen zumeist individuelle oder kollektive Einschätzungen dar, die selbst unter Experten sehr stark voneinander abweichen. Auch über die Daten, die als Grundlage der Prognosen dienen, herrscht oft Uneinigkeit. Wegen dieser inhärenten Schwierigkeiten, ist die Frage, anhand welcher Datenreihen wir die Bevölkerungszahl auswählen? 2. Problemstellung Bevölkerungsentwicklungen können zwar mit tatsächlichen oder angenommenen Geburten- und Sterberaten als exponentielle Wachstumsprozesse grob abgeschätzt werden, doch ist dieser Ansatz für die meisten Zwecke oft nur unzureichend. Grobe Fehler entstehen vor allem dadurch, daß man von einer homogenen Bevölkerung ausgeht, deren Altersstruktur völlig unberücksichtigt bleibt. Dabei hängt der Geburtenzuwachs lediglich von der Bevölkerungszahl ab. Diese Vereinfachung mag für Bakterienpopulationen zulässig sein, bei der menschlichen Bevölkerung macht es dagegen offensichtlich einen Unterschied, ob die Bevölkerung vorwiegend aus Kindern und Erwachsenen im reproduktionsfähigen Alter oder aus Alten besteht. Die Bevölkerungsgruppe der Alten meint hier die über 44 Jährigen, die in der Regel keine Kinder mehr bekommen und nicht mehr zur Reproduktion beitragen. Kinder bis zum 14. Lebensjahr können in der Regel noch keine Kinder bekommen und tragen dadurch selbstverständlich nicht zur Reproduktion bei. Zur Berechnung der Geburtenzahlen muss daher die Zahl der gebährfähigen Mütter und deren Fertilität (Fruchtbarkeit) bekannt sein. Die Fertilität ist eine in der Demografie verwendete Einheit und wird in der Statistik durch die Gesamtfruchtbarkeitsrate gleichbedeutend mit zusammengefasster Geburtenziffer (total fertility rate) gemessen. Sie gibt an, wie viele Kinder eine Frau durchschnittlich im Laufe des Lebens hätte, wenn die aktuellen Verhältnisse für den gesamten Zeitraum gelten würden. Ähnliche Überlegungen sprechen dafür, auch die Zahl der Sterbefälle über altersspezifische Mortalitäten zu berechnen. Mortalität ist definiert als die Anzahl der Gestorbenen pro 1000 Menschen und Jahr in der jeweiligen Altersgruppe. Für die Bevölkerungsentwicklung wurde lediglich eine bestimmte Entwicklung der Mortalität angenommen. Schätzungen der Mortalität im Basis-Jahr der Prognose und für den Zeitraum bis zum Simmulationsende wurden mit Hilfe von geschätzten Sterbetafeln entwickelt. Die Sterbetafeln des Jahres, von dem die Prognosen ausgehen, wurde gewöhnlich aus einer Reihe von Unterlagen zusammengestellt. Dazu gehörten behördlich registrierte Daten über Sterbefälle bezüglich Alter und Daten aus Untersuchungen und Volkszählungen über die Todesfälle des vorangegangenen Jahres (nach entsprechender Auswertung und Korrektur falls nötig). Es ist noch zu berücksichtigen, dass hier Migrationseffekte nicht berücksichtigt werden. Das Modell spiegelt also die Entwicklung einer natürlichen Bevölkerung ohne räumliche Grenzen wider. Erst in einem Modell, das die wichtigsten Altersgruppen enthält, können einigermaßen zuverlässige Aussagen über den Bedarf an infrastrukturellen Einrichtungen 3 3. Systemstruktur (Bau von Kindergärten, Schulen, Universitäten, etc.), über private und öffentliche Dienstleistungen (Ausbildung, Verwaltung, Gesundheit, usw.) bzw. über Staatsausgaben (Sozialausgaben, Beihilfen, Renten, usw.), über wirtschaftliche Entwicklung (Arbeitskräfte, Verbraucher, usw.) und über vieles andere gemacht werden. Das hier vorgestellte Modell gilt nicht nur für die menschliche Bevölkerungsentwicklung, sondern allgemeiner auch für die Populationsdynamik von Tieren und Pflanzen bei verschiedenen Entwicklungsstadien. Ein ähnlicher Ansatz gilt z.B. zur Beschreibung einer Insektenpopulation (Ei, Raupe, inchworm, Ruppe, Schmetterling) oder der Waldentwicklung (Baumhöhenklassen).[Bossel2004S, S. 120] 3. Sytemstuktur Um eine Bevölkerungsentwicklung eines bestimmten Landes korrekt zu beschreiben, müssen mindestens drei Altersgruppen explizit dargestellt werden: Kinder (im Alter von 0 bis 14 Jahren) Eltern (im Alter von 15 bis 44 Jahren) Alte (älter als 44 Jahre). Kinder haben daher 15 Altersjahrgänge, die später auch als Verweildauer genannt wird. Entsprechend haben Eltern 30 Verweildauer. Die Verweildauer der Alten kann man nicht genau sagen, da hier die Veränderung der maximalen Lebenserwartung eine Rolle spielt. Diese Einteilung geschiet vor allem im Hinblick auf eine genaue Berechnung der Geburtenzahlen. Die Gesamtbevölkerung ergibt sich aus der Summe der drei Bevölkerungsgruppen. In vorliegenden Fall lassen sich die wichtigen Zustandsgrößen erkennen: Kinder, Eltern, Alte. Entsprechend haben wir drei Teilmodelle für das Modell entwickelt: Teilmodell: Kinder-Klasse Teilmodell: Eltern-Klasse Teilmodell: Alte-Klasse Diese drei Teilmodelle betrachten wir nachfolgend getrennt, um das Wortmodell, Wikungsgraphen und Mathematisches Modell jeweils herzuleiten. Wir wissen, dass das Wortmodell die Grundlage für die weitere Modellentwicklung ist, und daher die Basis für den Wirkungsgraphen ist. In dem Wirkungsgraphen werden die Systemgrößen und ihre Wirkungsstruktur bzw. Wirkungszusammenhängen dargestellt. Dann verwenden wir den Wirkungsgraph zur Herleitung der Mathematischen Ausdrücke für die Beziehungen zwischen den Systemgrößen. 3.1 Teilmodell Kinder-Klasse 3.1.1 Wortmodell mit Erklärung Kinder hat Zuwachs durch Geburten pro Jahr, deren Zahl offensichtlich von der Zahl der Mütter (Frauen) in der Gruppe der Eltern und deren Fertilität pro Jahr abhängt. Wir nehmen an, dass die Hälfte der Eltern gebärfähige Frauen sind. Fertilität ist hier definiert als die Zahl der Kinder pro Frau in einem Jahr, deswegen soll sich die Kinderzahl pro Frau auf die 30 Jahre VERWEILDAUER in der 4 3.1.2 Vom Wortmodell zum Wirkungsgraph Gruppe der Eltern verteilen. Daher ist offensichtlich, dass Fertilität umgekerht zum VERWEILDAUER ELTERN ist. Die Zahl der Kinder pro Frau kann hier über vier Szenarioparameter als Zeitfunktion vorgegeben werden. Abnahme Kinder besteht aus zwei Teile, nämlich Sterbefälle Kinder und die ErwachsenWerdenen. Diese beiden führen zu einem Verlust von Kindern. Jede Bevölkerungsgruppe hat eine altersspezifische Sterberate (Mortalität), die bei der Gruppe der Alten am höchsten ist. Die MORTALITÄT KINDER beeinflusst die Zahl der Sterbefälle Kinder. Die Sterbefälle sind proportional zur mortalität. MORTALITÄTEN werden in unserem Modell als konstanten betrachtet. Kinder werden erwachsen. Wenn ein Kinderjahrgang erwachsen wird, wird er bei der Elterngruppe mitgezählt. D.h. wenn Kinder das 14. Lebesjahr überschrei- ten, so gehen sie über in die Gruppe der Eltern. Entsprechend verringert sich die Zahl der Kinder um den Betrag ErwachsenWerden. Damit ist offen- sichtlich Zuwachs Eltern gleich ErwachsenWerden. ErwachsenWerden (also, der Übergang von einer Altersgruppe in eine andere) ist proportional zum Inhalt (Kinder) und umgekehrt proportional zur VERWEILDAUER in der Ausgangsaltersklasse Kinder. Dabei ist innderhalb der Altersklasse der Kinder jeder Jahrgang gleich groß. Kinder haben 15 Altersjahrgänge, deswegen verlässt dementsprechend jedes Jahr 1/15 diese Klasse. 3.1.2 Vom Wortmodell zum Wirkungsgraph Im Wortmodell finden wir alle Systemgrößen und Wirkungszusammenhängen für das Teilmodell Kinder-Klasse. Zustandsgrößen werden als fettige Schrift gezeichnet. Vorgabengrößen bzw. Parameter und Konstanten werden von anderen Systemelementen nicht beeinflusst und in Großbuchstaben geschrieben. Die anderen Größen sind sich ständig verändernde Zwischengrößen oder Flüsse, die Kursiv geschrieben sind. Die ‚automaren’ Wirkungsbeziehungen lassen sich nun leicht in Form eines Wirkungsgraphen auftragen. (Siehe Abb. 3.1) Kinder-Klasse Kinder pro Frau Abb. 3.1: Wirkungsgraph der Fertilität － Systemgrößen für das Teilmodell VERWEIDAUER KINDER Geburten pro Jahr VERWEILDAUER ELTERN Kinder kennzeichnen gegensinnige Wirkung; alle anderen Wirkungsbeziehungen － Erwachsen Werden Kinder-Klasse. Die Minus-Zeichen Eltern Sterbefälle Kinder MORTALITÄT KINDER 5 sind gleichsinnig. 3.1.3 Vom Wirkungsgraph zu mathematische Ausdrücken 3.1.3 Vom Wirkungsgraph zu mathematische Ausdrücken Im nächsten Schritt verwenden wir den Wirkungsgraph zur Herleitung der mathematischen Ausdrücke für die Beziehungen zwischen den Systemgrößen. Es ergibt sich daher die folgenden Modellgleichungen für das Teilmodell Kinder-Klasse. Geburten pro Jahr = (1/2) * Eltern * Fertilität [Mill. Menschen/Jahr] Fertilität = Kinder pro Frau * (1/VERWEILDAUER ELTERN) [1/Jahr] Sterbefälle Kinder = Kinder * MORTALITÄT KINDER [Mill. Menschen/Jahr] ErwachsenWerden = Kinder * (1/VERWEILDAUER KINDER) [Mill. Menschen/Jahr] Die Zustandsgleichung (Zustandsveränderungsrate) wird auch entsprechend ermittelt, die ergibt aus der Differenz zwischen den Zunahme und Abnahme Kinder mit der Dimension [Mill. Menschen/Jahr]: d(Kinder)/dt = Zunahme Kinder – Abnahme Kinder = Geburten pro Jahr – Sterbefälle Kinder – ErwachsenWerden Wir haben die Dimensionen (Maßeinheiten) für jede Systemgrößen mitbetrachtet. Die Einheiten der Größe sind in eckigen Klammern angegeben. Z.B. die Einheit der Kinder pro Frau ist [1] = [Mensch/Mensch], daraus bekommen wir die Einheit der Fertilität bezogen auf einem Jahr [1/Jahr]. Mathematische Ausdrücke aus dimensionsbehafteten Größen sind nur dann korrekt, wenn sie angegebenen Operationen nicht nur für die Werte dieser Größen, sondern auch für ihre Dimensionen stimmen. Die Dimensionen können daher zur Herleitung der richtigen mathematischen Ausdrücke hilfreich sein, z.B. durch Überprüfung der dimensionalen Stimmigkeit der Modellgleichungen oder durch Ermittlung korrekter Umrechungensfaktoren. 3.1.4 Kritische Parameter Der kritischste Parameter der Bevölkerungsentwicklung ist die Fertilität, d.h. die Zahl der Kinder pro Frau. Diese Zahl der Kinder Pro Frau wird als Szenario mit linearer Veränderung von KINDER PRO FRAU ANFANGS zum Zeitpunkt BIS ZUM JAHR auf KINDER PRO FRAU ENDE zum Zeitpunkt AB DEM JAHR ermittelt (Siehe Abb. 3.2). Dafür benutzen wir die Ramp-Funktion, Die Ramp-Funktion erzeugt eine linear mit einer konstanten Steigung anwachsende Funktion. Die Steigung kann sich aus der Szenarienparametern ergeben. Szenarioparameter Abb. 3.2: Wirkungsgraph KINDER PRO BIS ZUM FRAU ANFANGS JAHR KINDER PRO FRAU ENDE AB DEN JAHR der Systemgrößen für die Szenarioparameter. Kinder pro Frau Fertilität Die Szenarioparameter sind das Stellwerk dieses Modells. Hierüber wird Einfluss auf die Werte der zeitpunktbezogenen Zustände der Größe Kinder pro Frau genommen. 6 3.1.4 Kritische Parameter Wie in Abbildung 3.3 skizziert, wird zu einem Zeitpunkt t0 ein Istwert k0 der benannten Stellgröße abgenommen und zum Zeitpunkt tend hin in seinem Niveau auf den Wert kend verändert. Genau diese Aufteilung charakterisiert das Modell, worauf aber in späteren Kapiteln noch genauer eingegangen wird. Kinder pro Frau k0 kend t0 tend Betrachtungsperiode Abb. 3.3: Szenarioparameter Diese Werte bestimmen die Steigung, welche als Wirkung in eine zeitpunktabhängige Ramp-Funktion eingeht. Diese Steigung kann man auch als die Veränderung der Anzahl der Kinder pro Frau auf den Zeitraum zwischen t0 und tend sehen. Die entsprechende formale Beschreibung hat folgende Ausprägung: Steigung = (kend – k0) / (tend – t0) Wie bereits beschrieben geht nun diese Steigung in die Ramp-Funktion ein um den Wert über die Laufzeit für die Größe Kinder pro Frau zu ermitteln. Dies geschieht durch eine Summe von k0 und einer Ramp-Funktion Kombination. Diese Kombination ist wie folgt zu beschreiben. Ab einem Zeitpunkt t0 wird die Steigung wirksam, durch Subtraktion einer weiteren Ramp-Funktion, mit gleicher Steigung und Wirkung ab dem Zeitpunkt tend, von der Ersten, wird die Wirkung der ersten Funktion ab diesem zweiten Zeitpunkt aufgehoben und somit wieder ein starres Niveau erreicht. Kinder pro Frau = k0 + Ramp(Steigung, t0) – Ramp(Steigung, tend) Dieser Wert Kinder pro Frau geht nun bezogen auf die Verweildauer in der Betrachtungsklasse der Eltern, in die Fertilität ein. 7 3.2 Teilmodell Eltern-Klasse 3.2 Teilmodell Eltern-Klasse 3.2.1 Wortmodell mit Erklärung Die Zahl der Eltern nimmt durch ErwachsenWerden zu. Wir haben im Teilmodell Kinder-Klasse bereit erfahren, dass im jeden Jahr 1/15 der Kinder 15 Jahre alt, und wird als den Zuwachs der Eltern angesehen. Die Zahl der Eltern nimmt durch AltWerden und Sterbefälle Eltern ab. AltWerden ist ein ähnliche Übergangsvorgang (wie ErwachsenWerden), der zwischen der Gruppe der Eltern und der Gruppe der Alten stattfindet. Es wird jährlich ein Elternjahrgang zu der Gruppe der Alten verschoben. AltWerden ist proportional zum Inhalt (Eltern) und umgekehrt proportional zur VERWEILDAUER ELTERN. Eltern haben 30 Altersjahrgänge bzw. Verweidauer, deswegen werden in jedem Jahr 1/30 der Eltern 45 Jahre alt und geht über in die Gruppe der Alten. Die Sterbefälle Eltern ergeben sich aus der Zahl der Eltern multipliziert mit der spezifischen MORTALITÄT ELTERN. 3.2.2 Vom Wortmodell zum Wirkungsgraph Mit diesen oben genannten Systemgrößen und den im Wortmodell festgestellten Wirkungszusammenhängen lässt sich nun der Wirkungsgraph in Abb. 3.4 zeichnen. Eltern-Kasse VERWEILDAUER ELTERN Erwachsen Werden Eltern Abb. 3.4 : Wirkungsgraph der Systemgrößen für － das Teilmodell Eltern- Klasse. Die Minus-Zeichen Alt Werden kennzeichnen gegensinnige Wirkung; alle anderen Wirkungsbeziehungen sind gleichsinnig. Sterbefälle Eltern MORTALITÄT ELTERN 3.2.3 Vom Wirkungsgraph zu mathematischen Ausdrücken Anhand des Wirkungsgraphen ermitteln wir wieder die folgenden Modellgleichungen für das Teilmodell Eltern-Klasse: ErwachsenWerden = Kinder * (1/VERWEILDAUER KINDER) [Mill. Menschen/Jahr] Sterbefälle Eltern = Eltern * MORTALITÄT ELTERN [Mill. Menschen/Jahr] AltWerden = Eltern * (1/VERWEILDAUER ELTERN) [Mill. Menschen/Jahr] Dementsprechend können wir daher die Zustandsgleichung der Eltern-Klasse ermitteln (Mit der Dimension [Mill. Menschen/Jahr]): d(Eltern)/dt = ErwachsenWerden – Sterbefälle Eltern – AltWerden 8 3.3 Teilmodell Alte-Klasse Bisher haben wir zwei Zustandsgrößen Kinder und Eltern betrachtet, in folgenden erläutern wir kurz das dritte auch letzte Teilmodell Alte-Klasse. 3.3 Teilmodell Alte-Klasse 3.3.1 Wortmodell mit Erklärung Die Zahl der Alte ist erhöht sich durch die Zahl der AltWerden pro Jahr. Die Zahl der Alte ist verringert sich nur durch die Zahl der Sterbefälle Alte pro Jahr. Es gibt bei der Gruppe der Alten (über 44 Jahre) keinen weiteren Übergang. Alle Alten werden irgendwann sterben. Die Sterbefälle Alte ergeben sich aus der Zahl der Alte multipliziert mit der spezifischen MORTALITÄT ALTE. 3.3.2 Vom Wortmodell zum Wirkungsgraph Aus dem Wortmodell kann nun den Wirkungsgraph schön in Abb. 3.5 gezeichnet werden. Alte-Kasse Abb. 3.5: Wirkungsgraph der Systemgrößen für das Alt Werden Alte Teilmodell Alte-Klasse. Alle Wirkungsbezieh- ungen sind gleichsinnig. Sterbefälle Alte MORTALITÄT ALTE 3.3.3 Vom Wirkungsgraph zu mathematischen Ausdrücken Die Gleichung der AltWerden (Zunahme für Alte) haben wir in Teilmodell ElternKlasse ermittelt, es bleibt noch die Gleichung der Sterbefälle Alte (Abnahme für Alte) zu ermittlen: Sterbefälle Alte = Alte * MORTALITÄT ALTE [Mill. Menschen/Jahr] Die Zustandsgleichung ist nun leicht herzuleiten: d(Alte)/dt = AltWerden – Sterbefälle Alte [Mill. Menschen/Jahr] Wir haben drei Teilmodelle Kinder, Eltern und Alte für das Modell Bevölkerungsentwicklung sorgfälltig untersucht. Der gesamte Wirkungsgraph der Systemgröße für die Bevölkerungsentwicklung kann nun daraus gezeichnet werden (Siehe Abb. 3.6): Im diesen Bild ist noch zu zeigen, dass Gesamtbevölkerung hängt von der Zahl der Kinder, Eltern und Alte. 9 4. Quantifizierung des Simulationsmodells KINDER PRO BIS ZUM KINDER PRO FRAU ANFANGS JAHR FRAU ENDE AB DEN JAHR Kinder Pro Frau Fertilität － Abb. 3.6: VERWEIDAUER KINDER VERWEILDAUER ELTERN － Geburten pro Jahr Kinder Wirkungsgraph der Systemgrößen für － Erwachsen Werden Alt Werden Eltern die Bevölkerungs- Alte entwicklung . Sterbefälle Eltern Sterbefälle Kinder Sterbefälle Alte Gesamtbevölkerung MORTALITÄT KINDER MORTALITÄT ELTERN MORTALITÄT ALTE 4. Quantifizierung des Simulationsmodells Die Wirkungsbeziehungen zwischen den Elementen wurden (in Kapitel 3) in ihrer funktionalen Abhängigkeit eindeutig spezifiziert. Anfangswerte der Zustandsgrößen, Systemparameter und exogene Einflüsse müssen quantifiziert werden; sie können in späteren Simulationen nach Bedarf geändert werden. Werden im Wirkungsdiagramm die funktionalen Beziehungen und die Parameterwerte und Anfangswerte eingetragen, so erhalten wir das Simulationsdiagramm als Grundlage des Simulationsprogramms. Wir fassen nun die Funktionen bzw. Modellgleichungen (in Tabellen 4.1-4.5) noch einmal zusammen. Wir führen dabei Abkürzungen für jede der Größen ein, notieren die jeweilige Maßeinheit und schreiben die Zahlenwerte von bereits bekannten Parametern auf. [Bossel1994 S. 322] 1) Parameter (Szenarioparameter und Systemparameter) Hier wird oft zwischen Systemparametern und Szenarioparametern unterscheiden. - Szenarioparameter können bei Szenariountersuchungen häufig geändert werden. - Systemparameter bleiben normalerweise konstant. Abkürzung Größe Zahlenwert Dimension k0 KINDER PRO FRAU, ANFANGS =5 [1] t0 BIS ZUM JAHR = 2000 [Jahr] kend KINDER PRO FRAU AM ENDE = 2.3 [1] tend AB DEM JAHR = 2050 [Jahr] m VERWEILDAUER KINDER = 15 [Jahr] n VERWEILDAUER ELTERN = 30 [Jahr] p MORTALITÄT KINDER = 4/1000 [1/Jahr] q MORTALITÄT ELTERN = 5/1000 [1/Jahr] r MORTALITÄT ALTE = 40/1000 [1/Jahr] Tabelle 4.1: Parameter 10 4. Quantifizierung des Similationsmodells 2) Anfangswerte der Zustandsgrößen z Kinder (Anfangswert) = 40 [Mill. Menschen] y Eltern (Anfangswert) = 46 [Mill. Menschen] x Alte (Anfangswert) = 14 [Mill. Menschen] Tabelle 4.2: Anfangswerte der Zustandsgrößen 3) Algebraische Zwischengrößen u Kinder pro Frau = k0+Ramp(e, t0) – Ramp(e, tend) [1] e Steigung = (kend – k0) / (tend – t0) [1/Jahr] f Fertilität = (1/n)*u [1/Jahr] g s_K s_E s_A e_W Geburten pro Jahr Sterbefälle Kinder Sterbefälle Eltern Sterbefälle Alte ErwachsenWerden = f *(1/2)*y = p*z = q*y = r*x = z*(1/m) [Mill. Menschen/Jahr] [Mill. Menschen/Jahr] [Mill. Menschen/Jahr] [Mill. Menschen/Jahr] [Mill. Menschen/Jahr] a_W z_E z_A s AltWerden Zunahme Eltern Zunahme Alte Gesamtbevölkerung = y*(1/n) = e_W = a_W = x+y+z [Mill. Menschen/Jahr] [Mill. Menschen/Jahr] [Mill. Menschen/Jahr] [Mill. Menschen] Tabelle 4.3: Algebraische Zwischengrößen 4) Zustandsgleichungen d(Kinder)/dt dz/dt = g – s_K – e_W [Mill. Menschen/Jahr] d(Eltern)/dt dy/dt = z_E – s_E – a_W [Mill. Menschen/Jahr] d(Alte)/dt dx/dt = z_A – a_A [Mill. Menschen/Jahr] Tabelle 4.4: Zustandsgleichung 5) Laufzeitparameter Nach der Eingabe und Überprüfung des Strukturdiagramms, aller Modellgleichungen und aller Parameterwerte kann nun simuliert werden. Hierzu müssen zunächst die laufzeitdaten (beginn, Ende, Rechenschrittweite, gegebenenfalls Speicherschrittweite) gestetzt werden. Die Wahl der Rechenschrittweite ist für die Geschwindigkeit und Genauigkeit der Simulation von Bedeutung. Die Speicherschrittweite bestimmt die Menge der anfallenden Ergebnisdaten. Simulationsbeginn = 1990 [Jahr] Simulationsende = 2090 [Jahr] Rechenschrittweite = 0.1 [Jahr] Tabelle 4.5: Laufzeitparameter Die Voreinstellungen der Modell- und Laufzeitparameter entsprechen im Normalfall dem ‚Standardlauf’. 11 5. Simulation der Bevölkerungsentwicklung 6) Wahl des numerischen Integrationsverfahren Es müssen zusätzlich noch das numerische Integrationsverfahren gewählt werden. Die meisten Programmsysteme für die Simulation dynamischer Systeme verfügen über mindestens zwei verschiedene Verfahren für die numerische Integration der Zustandsgleichungen: das Euler-Cauchy-Verfahren und das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung. Empfehlenswert ist hier, das Euler-Cauchy-Verfahren zu verwenden, da wir nicht das tatsächliche kontinuierliche System der Bevölkerung eines Landes betrachten, sondern ihr diskretes statistisches Abbild bei jährlicher Erhebung bzw. Veröffentlichung der Daten. 5. Simulation der Bevölkerungsentwicklung 5.1 Vom Strukturdiagramm zum Simulationsmodell Modellstruktur und Modellgleichungen für die Bevölkerungsentwicklung wurden in Kapital 3 und 4 entwickelt. Diese Informationen werden jetzt in ein graphischinteraktives Programmsystem – Stella – eingesetzt, um ein rechenfähiges Simulationsmodell zu entwickeln. Das Simulationsmodell in Abb. 5.1 zeigt das gesamte System für die Bevölkerungsentwicklung, dass in fünf Container eingeteilt wurde. Dabei enthalten die oberen die Steuergrößen für diese Modellauslegung und die unteren die andere Systemgrößen. Abb. 5.1: Das Gesamtsystem für die Bevölkerungsentwicklung Deutlich erkennbar sind hier die funktionalen Gefüge zwischen den Steuer- und Systemgrößen, wobei auf diese in späteren Abschnitten näher Bezug genommen wird. 12 5.2 Standardlauf Worauf beim Layout des Modells großen Wert gelegt wurde, ist die schematische Beziehung zwischen den Systemgrößen durch offensichtliche Gestaltungsähnlichkeiten zu verdeutlichen. So soll der Betrachter anhand der Symmetrie der Darstellung leicht auf die Wirkungszusammenhänge der Parameter innerhalb und die Verwandtschaft der Betrachtungsklassen untereinander schließen können. Die containerlosen Parameter, hier im speziellen die prozentualen Verteilungen der Mengen auf die Gesamtbevölkerung, sind eine Implementierung, welche die Ausgabe, bzw. die Darstellung der Ausgabe bereichern soll. Diese Parameter sind in der ursprünglichen Modellbeschreibung von Bossel nicht vorhanden. 5.2 Standardlauf Die von [Bossel1994] angegebenen Modell- und Laufzeitparameter (Vgl. Tabellen 4.1,4.2 und 4.5) entsprechen im Normalfall dem „Standardlauf“. Wir untersuchen zunächst das Modellverhalten mit diesen Parameterwerten. Die zeitliche Darstellung der Ergebnisse (Zeit als horizontale Achse; Kinder, Eltern und Alte vertikal) sind in Abb. 5.2 gezeigt. Abb.5.2: Zeitdiagramm für den Standardlauf Beginn aller Niveaus sind die jeweiligen Initialisierungswerte, welche in der Tabelle 4.1 aufgelistet sind. Bis zum Einsatzpunkt der Ramp-Funktion verläuft die Größe Kinder pro Frau also auf dem Level 5. Das bedeutet einen gleichmäßigen Anstieg der Menge der Kinder. Ab dem Einsatzpunkt der Ramp-Funktion sinkt der Wert Kinder pro Frau auf das Niveau 2.3, was ein Abflachen des Anstiegs der Verlaufskurve der Systemgröße Kinder zur Folge hat. Dieses Abflachen wirkt sich nach der Verweildauer der Kinder-Klasse, also nach dem Übergang der Kinder in die Klasse der Eltern auch auf diese Menge und somit auf den Zeitverlauf aus. Gleiches ist nach erreichen der Altergrenze der Alte-Klasse zu beobachten. Die Minderung der Anzahl der Eltern hat aber eine direkte Minderung der Klasse der Kinder zur Folge. Daraus resultiert ein leichtes Einknicken der Kurve bevor sie einen relativ geglätteten, hier mit diesen Werten nicht konstanten Verlauf erreicht. 13 5.3 Parametermanipulation 5.3 Parametermanipulation Wie oben ermittelt werden konnte, ist es sinnvoll den Steuerparameter Kinder pro Frau zu manipulieren um eine veränderte Systemausgabe herbei zu führen. Genau hier setzen wir wieder bei Abbildung 3.3 an und wollen anhand der Stellgrößen eine Typisierung, bzw. Klassifizierung der Auswirkungen vornehmen. Im speziellen wollen wir auf den eigentlich wichtigsten Stellparameter eingehen. Dieser zeigt den Sinn dieses Modells, eine zeitpunktbezogene Geburtenkontrolle zu realisieren, in der Dimension der Anzahl der Kinder. D.h. wir werden den Parameter kend manipulieren. Hier lassen sich zwei Typen, bzw. Wirkungen feststellen. Eine Möglichkeit ist den Wert kend größer als 2.44 zu setzen. Dabei kann beobachtet werden, dass eine stetige Zunahme der Kinder-Klasse und damit zeitverzögert aller Klassen erfolgt. Dies lässt sich auch mathematisch durch die Tatsache erklären, dass in diesem Zustand die Differenz aus Zunahme und Abnahme größer Null ist und somit die Zunahme größer als die Abnahme. Gegensätzliches bewirkt die Veränderung des Wertes kend kleiner als 2.44. Hierbei lässt sich eine stetige Abnahme der Niveaus innerhalb des Systemgrößenvektors beobachten. Diese Entwicklung würde zwangsläufig zum Aussterben der betrachteten Population führen. Auch hier lässt sich die mathematische Situation durch einen größeren Abnahmewert, als jener der Zunahme erklären. Schließlich kann man also drei Wirkungstypen für die Werte von kend festhalten. Bevölkerungszunahme Gleichgewicht Bevölkerungsabnahme, bzw. Aussterben Die Intensität dieser Wirkungen wird sicherlich auch durch den Abstand zum Wert Kinder pro Frau (2.44) und dem Einsetzen des Wirkungszeitpunktes tend bestimmt. So kann man sagen, dass ein frühes oder spätes Einsetzen der Wirkung von kend eine Verschiebung des Peak mit sich bringt. Wir wollen nun auf die Veränderlichkeit des Wertes k0 eingehen. Dazu nehmen wir an, dass kend den Wert 2.44 hat. Wird jetzt k0 < kend gesetzt ergibt sich ein anfänglich fallender Kurvenverlauf für die Kinder-klasse, da der Wert kleiner 2.44 ist und somit eine Abnahme begründet. Setzt nun die Wirkung der Ramp-Funktion ein, wird der Pegel auf kend gebracht und damit der Verlauf der Kurve stabilisiert. Die Auswirkungen auf die beiden nachfolgenden Klassen sind hier nicht so stark, da nach Bossel Standardparametern die Wirkung der Ramp-Funktion erst ab dem Jahr 2000 startet und da aber schon nahezu eine Generation in die nächste Klasse übergegangen ist und damit den Effekt aufhebt. Setzt man also den Wert k0 nun größer kend steigt der Verlauf der Kurve bis zur Wirkung der Ramp-Funktion. Zu erklären ist dies durch eine höhere Zunahmerate als die der Abnahme. Eine Manipulation an den zeitbezogenen Variablen t0 und tend kann eine Verschiebung des Peak zur Folge haben, wenn der Abstand gleich bleibt. Wird der Abstand zwischen den Zeitpunkten verändert, nimmt der Einfluss auf die Wirkung und Wirkungsdauer der Größe Kinder pro Frau. Sowohl vor als auch während der Ramp-Funktion. Der schematische Kurvenverlauf bleibt zwar erhalten, aber die Skalierung verändert sich. 14 5.4 Gleichgewichtspunkt 5.4 Gleichgewichtspunkt In diesem Modell ist der Gleichgewichtspunkt, oder auch stationärer Punkt, ein Vektor in den die Werte aller 3 Systemgrößen einfließen. Kann ein Gleichgewicht zwischen Zunahme und Abnahme dieser erreicht werden, stagnieren die zeitabhängigen Werte der Verläufe auf einem festen Niveau. Das bedeutet ebenfalls die Summe von Zunahme und Abnahme muss den Wert 0 annehmen. Wird nun diese Gleichung auf jede einzelne aller Systemgrößen angewandt, lässt sich das formal wie folgt darstellen: dx/dt = 1/30*y – 0.04*x = 0 (Alte) dy/dt = 1/15*z – 1/30*y – 0.005*y = 0 (Eltern) dz/dt= Fertilität * 1/2*y – 1/15*z – 0.004 *z = 0 (Kinder) Wobei hier zu sagen ist, das der grundlegenden Systemeigenschaft entsprechend, die Quelle, also die Zunahmerate der Kinder-Klasse, der Ansatzpunkt für eine Suche nach den Gleichgewichtspunkt bestimmenden Variablen sein muss. Stellt man also diese Gleichung um und löst sie nach Kinder pro Frau auf, erhält man hierfür den Wert 2.44. Diese Zahl ist natürlich auf den Parametern aus dem Bossel ermittelt. Würde man obige Gleichungen verändern, z.B. die Mortalitätsrate der Kinder-Klasse (0.004), würde sich auch der Wert 2.44 verändern. Um die Grenzbereiche ausloten zu können nehmen wir also auch hier die BosselReferenzparameter und den daraus ermittelten Gleichgewichtspunktvektor als Ausgangs- und Richtwert zur Beschreibung der Veränderungen an. 6. Erweiterbarkeit Im Folgenden soll auf die Systemschwächen eingegangen werde, wobei sich hier grundsätzlich auf die Implementierung der Bossel-Vorgaben bezogen wird. Da dieses Modell eine sehr einfache Abstraktion der Wirklichkeit darstellt, ist genau hier auch der Ansatz der Schwächenanalyse zu setzen. 6.1 Vereinfachungen Diese Analyse soll keinem Anspruch nach Vollständigkeit gerecht werden, sie orientiert sich hauptsächlich an den durch Anpassung veränderbaren Schwachpunkten des erstellten Modells. Was bedeutet, dass diese Punkte am vorhandenen Modell zu ändern wären, ohne dieses von Grund auf neu zu strukturieren und aufzubauen. Als erstes Beispiel wäre hier die Menge des Übergangs von einer in die nächste Altersklasse zu nennen. Hier von der Kinder-Klasse in die Eltern-Klasse. Die Zunahme ist laut Bossel, definiert durch Anzahl Kinder / Verweildauer Kinder. Was in 15 6.2 Erweiterungsmöglichkeiten diesem Quotienten nicht berücksichtigt wird ist die Mortalitätsrate der Kinder, diese hat nur Auswirkung auf die Abnahme der Kinder-Klasse. Ein Lösungsvorschlag besteht also darin eine Größe, welche die Sterbefälle pro Jahr im Durchschnitt ermittelt (Mortalität Kinder / Verweildauer Kinder) und diese dann in die Zunahme der ElternKlasse einfließe zu lassen. Ein weiterer Schwachpunkt ist die Verteilung der Geschlechter im Verhältnis 1:1. Diese Annahme verfälscht die Anzahl der Frauen und damit die der Neugeborenen. Abhilfe könnte hier ein Parameter schaffen, der eine Prognose über die Verteilung enthält. Wobei diese Prognose sicherlich von manigfaltigen Umständen beeinflusst wird und damit auch leicht selbst zum Schwachpunkt werden kann. Ein artverwandtes Problem ist die Verwendung statischer betrachtungsklassenspezifischer Mortalitätsparameter. Auch hier könnte auf Basis der obigen Lösung eine Korrektur vorgenommen werden, sicherlich aber auch mit den oben aufgezählten möglichen Folgeproblemen. Ein besonders schwieriger Punkt ist hier die Mortalitätsrate der Alte-Klasse, da hier alle Sterbefälle eingerechnet werden. Sowohl die Menschen die ein durchschnittliches Höchstalter erreichen und auch jene die schon vorher versterben. 6.2 Erweiterungsmöglichkeiten Abschließend möchten wir noch auf ein paar Möglichkeiten eingehen, das System auszubauen bzw. zu erweitern. 6.2.1 Einflussgrößen Als erster Punkt sind die Einflussgrößen zu nennen. Hier kann man ähnlich dem Steuermodul der Anzahl Kinder pro Frau auch andere zeitpunktbezogene Maßnahmen einfließen lassen, welche sich auch auf die Bevölkerungsentwicklung auswirken. Beispiele hierfür wären politische Maßnahmen und im speziellen Kindergeld, Kosten für Kindertagesstätten oder auch Ausbildungskosten. 6.2.2 Strukturelle Verfeinerung Eine Ausprägung dieser Maßnahme, wäre die Aufgliederung der Betrachtungsklassen nach Altersklassen. Im speziellen die Variante mit 4 Altersklassen, diese findet der Leser im Anhang als BE4.STM. Hier wird die Aufteilung in die Klassen anders vorgenommen. Es wird ein Teil der Eltern-Klasse und ein Teil der Alte-Klasse zu einem Container zusammengefasst, der als Älteren-Klasse benannt wird. Diese Klasse unterscheidet sich von der übrigen Eltern-Klasse lediglich durch den Umstand, dass die hier erfassten Menschen schon Nachwuchs bekommen haben und damit aus dieser Menge heraus treten. Ein Sinn besteht darin alle arbeitsfähigen Menschen zu erfassen, sowohl jene die noch Kinder bekommen wollen, als auch die, die schon Kinder bekommen haben. Vorteile einer solchen Aufspaltung sind auf der einen Seite die Fähigkeit dieses Syste16 6.2.2 Strukturelle Verfeinerung ms, z.B. Vorruhestandsregelungen, oder das Renteneintrittsalter auswerten zu lassen. Oder aber eine genauere Steuerung von sozialen Maßnahmen, bishin zu einer Erfassung der Möglichen Staatseinnahmen. Wobei hier sicherlich noch eine Aufteilung in steuerrechtlich abgegrenzte Gruppen vorgenommen werden müsste. Diese Verfeinerung kann dann beliebig ausgebaut werden, beispielsweise pro Jahr eine separate Betrachtungsklasse. Eine zweite Ausprägung findet sich in der Aufteilung der Lebensbeziehungen. Lebt ein Mensch allein oder gründet er eine Familie, bleibt diese Familie zusammen? All diese Klassen würden wieder Möglichkeiten und Ansatzpunkte für neue Einflussgrößenmessungen bieten. Woraus sich auch ein sehr passender Abschlusssatz formulieren lässt. Diese Modellierung besitzt noch offenes Potential und dadurch einen hohen Nutzwert für vielerlei praktische Einsatzzwecke. 17 Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis [Bossel1994] Hartmut Bossel: Modellbildung und Simulation: Konzepte, Verfahren und Modelle zum Verhalten dynamischer Systeme; ein Lehr- und Arbeitsbuch 2., veränd. Aufl. mit verbesserter Simulationssoftware; Braunschweig [u.a.] : Vieweg, 1994 [Bossel2004] Hartmut Bossel: Systeme, Dynamik, Simulation: Modellbildung, Analyse und Simulation komplexer Systeme; Norderstedt : Books on Demand, 2004 [Bossel2004S] Hartmut Bossel: Systemzoo 3, Wirtschaft, Gesellschaft und Entwicklung; Norderstedt : Books on Demand, 2004 [Jischa1993] Michael F. Jischa: Herausforderung Zukunft: technischer Fortschritt und ökologische Perspektiven; Spektrum Akad. Verl. Heiderberg 1993 (S.46) [Kaiser1981] Kaiser, Reinhard [Hrsg.]: Global 2000 : der Bericht an den Präsidenten / Aus dem Amerikanischen von Thomas Berendt; 16. Aufl. Frankfurt a.M.: Zweitausendeins, 1981 (S. 39, S.143) [Meadows1992] Meadows, Donella H. ; Meadows, Dennis L. ; Randers, Jørgen: Die neuen Grenzen des Wachstums: die Lage der Menschheit: Bedrohung und Zukunftschancen; Stuttgart : Dt. Verl.-Anst., 1992 (S. 35) [Kohorst1996] Helmut Kohorst, Philipp Portscheller, Peter Goldkuhle: Modellierung und Simulation dynamischer Systeme; http://www.learn-line.nrw.de/angebote/modell/modlist.htm [Hupfeld2002] Walter Hupfeld: Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme; http://zope.schulnetz.hamm.de:9673/modsim/index_html 18 Anhang Anhang Vortrag - Bevoelkerungsentwicklung_Vortrag_Teil_1.pdf - Bevoelkerungsentwicklung_Vortrag_Teil_2.pdf Ausarbeitung - Bevoelkerungsentwicklung_Ausarbeitung.pdf Stellamodelle - BE1.STM (Modell nach Bossel) - BE2.STM (Verbesserte Version von BE1.STM) - BE4.STM (Erweiterung des Modells BE2.STM um eine zusätzliche Altersklasse) Die hier aufgelisteten Dateien befinden sich auf der beigelegten CD und sind ebenfalls unter nachfolgender URL als Download verfügbar. 19
