Fakultät für Mathematik und Informatik MI I

EINGANGSSTEMPEL
FERNUNIVERSITÄT
Bitte hier unbedingt
Matrikelnummer und
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sonst keine Bearbeitung
möglich.
Postanschrift: FernUniversität D–58084 Hagen
M
Name, Vorname
Straße, Nr.
Bitte zurück an:
FernUniversität in Hagen
D–58084 Hagen
PLZ, Wohnort
Fakultät für Mathematik und Informatik
Kurs
Mathematik für Ingenieure I Kurs-Nr. 1191
Kurseinheit 03:
Einsendeaufgaben
A. Hinweise zur Bearbeitung
0. Benutzen Sie bitte für Ihre Lösungen Papier im Format DIN A4.
1. Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt Ihren Namen mit Matrikelnummer.
2. Schreiben Sie bitte deutlich, lassen Sie einen breiten Rand (ca. 4–5cm) und
nummerieren Sie zum Schluss Ihre Lösungsblätter durch.
3. Schicken Sie Ihre Lösungsblätter sowie das (grüne) Deckblatt komplett und
zusammengeklammert zurück.
4. Kreuzen Sie bitte in der Zeile bearbeitet“ die von Ihnen bearbeiteten Aufgaben an.
”
B. Hinweise zur Bewertung
1. Bei jeder Aufgabe bzw. Teilaufgabe ist die erreichbare Punktzahl vermerkt, sofern
Punktwertung vorgenommen wird.
2. Insgesamt sind max.
60
3. Die Einsendearbeit umfaßt
Letzter Einsendetag:
Aufgabe
Punkte erreichbar.
5
Aufgaben.
13.11.2006
1
(Datum des Poststempels)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Summe
bearbeitet
erreichte Punktzahl
Datum:
Korrektur:
c 2006 FernUniversität in Hagen
Alle Rechte vorbehalten
MI I
Einsendeaufgaben
MI I
E 3/1
Einsendetermin:
13.11.2006
Aufgabe 1:
8 Punkte
a) Gegeben seien die folgenden Mengen ganzer Zahlen:
M1 := {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ,
M2 := {z ∈ Z | z ist ungerade} ,
M3 := {z ∈ Z | z + 3 ∈ M2 } ,
M4 := {z ∈ Z | (z + 4)2 ∈ M1 } .
Beschreiben Sie die folgenden Mengen, indem Sie ihre Elemente aufführen:
M 1 ∩ M 2 , M 1 ∩ M 3 , M 1 ∩ M4 , M 2 ∩ M4 , M 1 ∩ M 2 ∩ M 3 ,
(M1 − M2 ) ∪ (M4 − M2 ) , M1 − (M2 − M3 ) , (M1 − M2 ) − M3 .
2+2+2+2
Punkte
b) Zeigen Sie, dass für Mengen A , B , C die folgenden Beziehungen gelten:
(i) A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C) ,
(ii) A − (A − B) = B − (B − A) ,
(iii) (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C) ,
(iv) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B) .
10 Punkte
Aufgabe 2:
Gegeben seien die Mengen
M := {(x, y) ∈ R |x + 1| + |y − 2| ≤ 2} ,
N := {(x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 4} .
2
Skizzieren Sie die Mengen
M ∪ N , M ∩ N , M − N und N − M .
Einsendeaufgaben
MI I
E 3/2
Aufgabe 3:
4 Punkte
a) Gegeben seien die Polynome P1 , P2 durch
P1 (x) = 2x4 + 2x3 − 22x2 − 18x + 36 ,
x ∈ C,
P2 (x) = 3x4 + ix3 − 10x2 − 2x + 1 + i ,
x ∈ C.
Berechnen Sie die Funktionswerte an den Stellen x0 = 2 und x0 = −2 .
6 Punkte
b) Bestimmen Sie ein Polynom P vom Grad 2 , so dass gilt
P (−2) = 3 , P (1) = 0 und P (3) = 2 .
Aufgabe 4:
12 Punkte
a) Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Berechnen Sie, falls eine von diesen Funktionen bijektiv ist, die
dazugehörige Umkehrfunktion:
(i)
f : R → R , f (x) := x2 − 2x + 1 ,
(ii) f : [−1, 1] → [1, 2] , f (x) := |x| + 1 ,
(iii) f : R → R , f (x) := x3 − 2 ,
(iv) f : R \ {0} → R \ {0} , f (x) :=
1
,
x
(v) f : [0, 1] → [2, 4] , f (x) := x + 2 .
4 Punkte
b) Gegeben seien die Funktionen
f : [0, 1] → [1, 4] , f (x) := (x + 1)2
für x ∈ [0, 1]
und
g : [1, 4] → [0, 1] , g(x) :=
1
x+2
für x ∈ [1, 4] .
Prüfen Sie, ob f ◦ g und g ◦ f gebildet werden können, und berechnen Sie
gegebenenfalls diese Funktionen.
Einsendeaufgaben
8 Punkte
MI I
E 3/3
Aufgabe 5:
Gegeben sei das Schaltwerk:
p1
p3 0
p2
p1 0
p3
p2 0
Stellen Sie die zugehörige Wertetabelle auf, und geben Sie die disjunktive und konjunktive Normalform an. Vereinfachen Sie die disjunktive Normalform und zeichnen
Sie das zugehörige Schaltbild.