Proseminar Diskrete Mathematik, SS 2011 LVA 702206

Proseminar
Diskrete Mathematik, SS 2011
Ausgewählte Musterlösungen, 6. Blatt
28) Lösung. Betrachte die folgende Funktion
Universität Innsbruck
f : Z × ( N \ {0}) → Q :
(a, b) 7→
Oensichtlich ist
f
das Bild von
a
b
N \ {0}
Z × ( N \ {0}) abzählbar
f , also Q , abzählbar ist.
x=
X
bi ·
i>0
x=
Z
abzählbar und
abzählbar ist. Somit folgt mit Satz
ist. Schlieÿlich folgt aus Satz 3.10(2), dass
29) Lösung. Wir betrachten die folgende Funktion
wobei es sich bei
.
surjektiv. Nach Beispiel 3.6 (im Skriptum) ist
mit Hilfe von Satz 3.10(1) folgt, dass
3.10(4), dass
LVA 702206
1
2i+1
f : [0, 1) → B N :
→ (b0 , b1 , b2 , . . . ) ,
1
i>0 bi · 2i+1 um die normierte Binärdarstellung von
P
(siehe Einführung in die Mathematik 2). Die Abbildung
entspricht der Binärfolge
f
x handelt
ist nicht surjektiv, etwa
b
(1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, . . . )
die normierte Binärdarstellung
X
i>0
bi ·
1
2i+1
=
c = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, . . . ).
Denn
X
1 1
1
1
1
+ +
+ (1 +
bi+7 · n+1 )
2 8 16 64
2
i>0
1 1
1
1
= + +
+
·2
2 8 16 64
1 1
1
1
= + +
+
2 8 16 32
X
1
=
ci · i+1 .
2
i>0
Em := {b ∈ B N S
| ∀i > m bi = 1} für alle
m > 0. Nach Satz 3.10(3) ist ihre Vereinigung E := m>0 Em abzählbar. Nun
nehmen wir an, die reellen Zahlen wären abzählbar. Dann wäre ihr Bild f ([0, 1)) =
B N \ E ebenfalls abzählbar (Anwendung der Sätze 3.10(1) und 3.10(2)) und mit
N = (B N \ E) ∪ E
einer weiteren Anwendung von Satz 3.10(3) würde folgen, dass B
N
abzählbar ist. Widerspruch zur Überabzählbarkeit von B , siehe Beispiel 3.8.
Wir betrachten die endlichen Mengen
1
30) Lösung.
F (x) =
X
f (n)xn = 1 +
n>0
X
(2f (n − 1) + n)xn
n>1
= 1 + 2x
X
f (n − 1)xn−1 + x
n>1
X
nxn−1
n>1
x
= 1 + 2xF (x) +
(1 − x)2
Hier verwenden wir die Reihenentwicklung der geometrischen Reihe
1
1−x , aus der durch beidseitiges Dierenzieren folgt:
P
n>1
nxn−1
=
n
n>0 x
P
=
1
.
(1−x)2
In Summe erhalten wir:
F (x) =
1
x
+
2
1 − 2x (1 − x) (1 − 2x)
,
und mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung (siehe Einführung in die Mathematik
2) für den Bruch
x
können wir diese Gleichung wie folgt umschreiben:
(1−x)2 (1−2x)
F (x) =
1
1
3
−
−
2
1 − 2x (1 − x)
1−x
.
Einsetzen der geometrischen Reihe liefert:
F (x) =
X
3 · 2n xn −
n>0
X
n>0
(n + 1)xn −
X
xn
.
n>0
D.h. mit Hilfe eines abschlieÿenden Koezientenvergleichs erhalten wir die folgende
explizite Form für
f:
f (n) = 3 · 2n − (n + 1) − 1 = 3 · 2n − n − 2
Somit ist das asymptotische Wachstum von
2
f : f ∈ Θ(2n ).
n>0.