Zahlenmengen Bemerkung

Zahlenmengen
N = {0, 1, 2, 3, ...}
natürliche Zahlen,
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
ganze Zahlen,
Q = {p /q : p ∈ Z, q ∈ N \ {0}}
R
rationale Zahlen,
Menge aller Dezimalbrüche : reelle Zahlen,
C = {a + i · b : a, b ∈ R}
mit i
2
= −1
komplexe Zahlen.
Bemerkung
Datenbereiche in Programmiersprachen sind immer endliche
Teilmengen der ganzen oder der rationalen Zahlen.
mengen11b.pdf, Seite 1
Zahlensysteme
Üblicherweise werden natürliche Zahlen x
∈N
als
Dezimalzahlen dargestellt:
x
= an an−1 ...a1 a0 = an · 10n + an−1 · 10n−1 + ... + a1 · 10 + a0
∈ N und den Dezimalziern
a0 , a1 , ..., an ∈ {0, 1, 2, ..., 9}.
mit n
Beispiel
1234
= 1000 + 200 + 30 + 4 = 1 · 103 + 2 · 102 + 3 · 10 + 4,
d. h. hier ist n
= 3,
a0
= 4,
a1
= 3,
a2
=2
und a3
=1
mengen11b.pdf, Seite 2
Andere Zahlensysteme
Statt 10 kann auch jede andere natürliche Zahl b
≥2
als Basis
des Zahlensystems genommen werden.
Eine besondere Rolle in der Computerwelt spielen Zahlen zur
Basis 2, die Dualzahlen:
(an an−1 ...a1 a0 )2 = an · 2n + an−1 · 2n−1 + ... + a1 · 2 + a0
Beispiel:
(10110)2 = 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 = 22
Allgemein mit Basis
(an an−1 ...a1 a0 )b =
Beispiel (mit
25
Pn
b
i =0 ai
· bi = a0 + a1 · b + ... + an · bn
b = 8, b = 16
und
b = 3)
= 3 · 81 + 1 · 1 = (31)8 = 1 · 161 + 9 · 1 = (19)16
= 2 · 32 + 2 · 3 + 1 · 1 = (221)3
mengen11b.pdf, Seite 3
Darstellung gebrochener Zahlen zur Basis
b
I Beliebige reelle Zahlen lassen sich zur Basis b darstellen:
(an ...a0 , a−1 a−2 a−3 )b = an · bn + ...a0 +
zum Beispiel
a−1
b
+
a−2
b2
+
a−3
b3
...,
(10011, 1101)2
1
1
1
1
2
4
8
16
= 1 · 16 + 0 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1 + 1 · + 1 · + 0 · + 1 ·
= 19 13
16 = 19, 8125
I Die Berechnung der Darstellung einer ganzen Zahl zur
Basis b kann mit Hilfe der Divison mit Rest durch b
erfolgen.
Die Nachkommastellen erhält man mit Hilfe wiederholter
Multiplikation mit b und Zerlegung in einen ganzzahligen
und einen gebrochenen Anteil.
mengen11b.pdf, Seite 4
Beispiel: Darstellung von 23, 6 als Dualzahl
Darstellung von 0, 6 zur Basis 2:
Rest 0
· 2 = 1 + 0, 2
0, 2 · 2 = 0 + 0, 4
0, 4 · 2 = 0 + 0, 8
0, 8 · 2 = 1 + 0, 6
0, 6 · 2 = 1 + 0, 2
0, 2 · 2 = 0 + 0, 4
Rest 1
.....
Darstellung
von
23
zur
Basis 2:
: 2 = 11
:2= 5
5 : 2 = 2
2 : 2 = 1
1 : 2 = 0
23
Rest 1
11
Rest 1
Rest 1
0, 6
Ergebinis 23
= (10111)2
Ergebinis 0, 6
(Reste
unten
= (0, 1001)2
von
nach
oben gelesen)
= (0, 100110...)2
(Ganzzahlige Anteile von oben
nach unten gelesen)
Beide Teile zusammengesetzt ergibt
(23, 6)10 = (10111, 1001)2 .
mengen11b.pdf, Seite 5
Bemerkungen
I Ist die Basis b
> 10,
so werden die Ziern für 10, 11,
12, ... in der Regel durch Buchstaben A, B, C, ...
dargestellt.
I Bei der Umrechnung zwischen den Basen 2 und 8 bzw. 16
kann ausgenutzt werden, dass eine Zier zur Basis 8 drei
Ziern zur Basis 2 bzw. eine Zier zur Basis 16 vier
Ziern zur Basis 2 entspricht.
Beispiele
I
I
I
I
(A5)16 = (10100101)2
(345, 67)8 = (11100101, 110111)2
(111001, 010111)2 = (39, 5C )16
(23, 5)8 = (10011, 101)2 = (13, A)16
mengen11b.pdf, Seite 6
Mächtigkeit von Mengen
Zwei Mengen haben die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine
1-1-Zuordnung zwischen ihren Elementen gibt.
Bei endlichen Mengen bedeutet dies, dass die Zahl ihrer
Elemente gleich ist.
Abzählbarkeit
Eine Menge heiÿt abzählbar, wenn sie die gleiche Mächtigkeit
hat wie
N.
(mit einer unendlichen for-Schleife durchlaufen werden kann).
Z
ist abzählbar:
Die Schleife 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ...
durchläuft alle ganzen Zahlen.
mengen11b.pdf, Seite 7
Q
ist abzählbar:
0
↓
... −1/2 ← −1
&
... −2/2
−2
&
... −3/2
−3
.
.
.
1
→
.
2/3
→
.
...
3/2
3/3
...
.
.
.
..
1/2
1/3
%
2/2
2
%
3
1/4
.
.
4
.
Bemerkung
Die reellen Zahlen
R
sind nicht abzählbar.
mengen11b.pdf, Seite 8
Prinzip der vollständigen Induktion
(1) Gilt eine Aussage A(n ) für ein n0
∈ N,
und gilt:
(2) Die Gültigkeit von A(n ) impliziert die Gütigkeit von A(n
so gilt die Aussage für alle n
+ 1),
≥ n0 .
Interpretation
Dominoprinzip (Teschl/Teschl): Mit jedem Domino fällt der
nächste. Fällt der erste Domino, so fallen alle.
Vorgehen beim Induktionsbeweis
(1) Induktionsanfang: Zeige die Gültigkeit der Aussage A(n0 )
für ein geeignetes n
= n0 .
(2) Induktionsschritt: Aus der Gültigkeit der Aussage A(n ) ist
die Gültigkeit der Aussage A(n
+ 1)
zu folgern.
Dabei wird die Induktionsannahme A(n ) benutzt.
mengen11b.pdf, Seite 9
Beispiel
(1) Die heutige Vorlesung ndet an einem Montag statt.
(2) Jede Vorlesung ndet 7 Tage nach der vorhergehenden statt.
Es folgt, dass alle Vorlesungen Montags stattnden.
Anwendung: Arithmetische Summe
Rechnung von Carl Friedrich Gauÿ (mit ca. 10 Jahren):
1
+ 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 =
P100
k =1 k
= (1 + 100) + (2 + 99) + ...(50 + 51)
= 101 + 101 + .... + 101
= 50 · 101
= 5050
:-)
mengen11b.pdf, Seite 10
Verallgemeinerung
+ 2 + ... + 100 = 5050 = 12 · 100 · 101,
1
1 + 2 + ... + 100 + 101 =
2 · 100 · 101 + 101
1
1
= 2 · 100 + 1 · 101 = 2 · 102 · 101 = 21 · 101 · 102,
1
1 + 2 + ... + 101 + 102 =
2 · 101 · 102 + 102
1
1
= 2 · 101 + 1 · 102 = 2 · 103 · 102 = 21 · 102 · 103,
1
1 + 2 + ... + 102 + 103 = ... =
2 · 103 · 104,
...
I 1
I
I
I
I
Allgemeine Summenformel
Für alle n
∈N
n
X
k =1
mit n
k
≥1
gilt
= 1 + 2 + ... + n =
1
2
· n · (n + 1).
mengen11b.pdf, Seite 11
Einschub: Summenzeichen
P
Pn
k =m ak bedeutet, dass k alle ganzen Zahlen von m bis n
durchläuft und die Werte ak aufaddiert werden:
s = 0;
for (k=m; k<=n; k++) s = s
Dann ist s
=
+ ak ;
Pn
k =m ak .
Dazu müssen m , n
∈Z
sein mit m
≤ n.
ak steht dabei für einen Ausdruck, der für jedes k zwischen m
und n eine reelle Zahl ergibt.
Beispiele
I
P5
I
P3
k =2 k
= 2 + 3 + 4 + 5 = 14
k =−1 2
k
=
1
2
(hier war ak
+ 1 + 2 + 4 + 8 = 15, 5
= k ),
(mit ak
= 2k )
mengen11b.pdf, Seite 12
Beweis der allgemeinen Summenformel mit
vollständiger Induktion
(1) Prüfe zunächst nach, dass die Formel für n
=1
gilt
(Induktionsanfang):
P1
k =1 k
=1=
1
2
·1·2
ist oensichtlich richtig.
(2) Unterstelle, dass die Summenformel für ein festes aber
(≥ 1) gilt und zeige davon ausgehend, dass
für (n + 1) gültig ist (Induktionsschritt):
beliebiges n
dann auch
Pn+1
k =1 k
=
=
=
=
1
1
2
1
2
1
2
sie
+ 2 + ... + n + (n + 1)
· n · (n + 1) + (n + 1)
(nach Annahme)
· [n · (n + 1) + 2 · (n + 1)]
· (n + 2) · (n + 1) = 12 · (n + 1) · (n + 2)
Also gilt die Formel auch für n
folgt, dass sie für alle n
≥1
+ 1.
Mit dem Dominoprinzip
gültig ist.
mengen11b.pdf, Seite 13
Weiteres Beispiel
Zu zeigen ist A(n ): 2
n
≥ n2
für alle n
≥ 4.
= 4. Eigesetzt ergibt sich
2
A(4): 2 = 16 ≥ 4 = 16, was oenbar richtig ist.
Zum Beweis von A(n + 1) kann benutzt werden, dass gilt
n
2
2 ≥ n (Induktionsannahme). Zu beweisen ist damit
n+1 ≥ (n + 1)2 . Eine Rechung ergibt
A(n + 1): 2
n+1 = 2 · 2n ≥ 2 · n2 ≥ 25 · n2 ≥ n+1 2 · n2 = (n + 1)2 ,
2
16
n
womit A(n + 1) gezeigt ist.
(1) Zu wählen ist n0
4
(2)
mengen11b.pdf, Seite 14
Anwendung: Mächtigkeit der Potenzmenge
Die Potenzmenge der nelementigen Menge
n
2 Elemente.
{1, ..., n}
hat hat
Beweis
(1) n0
= 1: P({1}) = ∅, {1}
(2) Teile Teilmengen von
(a) solche, die n
+1
hat 2
= 21
{1, ..., n + 1}
nicht enthalten
Elemente.
in zwei Gruppen ein:
−→
2
n Stück
nach Induktionsannahme (Teilmengen von
(b) solche, die n
+1
n
−→ 2n Stück
mit {n + 1}).
enthalten
(Mengen aus (a) vereinigt
Insgesamt: 2
{1, ..., n}),
+ 2n = 2n +1
Teilmengen.
mengen11b.pdf, Seite 15