4.4 Mächtigkeit
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25 Abschnitt 4.4 Mächtigkeit Qn i D1 Mi als n-Tupel .f .1/; f .2/; : : : ; f .n// schreibt und umgekehrt ein n-Tupel .m1 ; m2 ; : : : ; mn / als Funktion f .i / D mi auffasst. Diese Identifikation lässt sich auf abzählbar unendliche Indexmengen übertragen. Beispiel 4.3.39. Die Menge R N aller Abbildungen von N nach R kann als Menge aller reellen Zahlenfolgen .x0 ; x1 ; x2 ; : : :/ mit xi 2 R für i 2 N aufgefasst werden. M Die kleinste unendliche Menge ist so groß wie N. Wir begründen das ( heuristisch ) für Teilmengen T von N: Ist T unendlich, so kann man zu jedem Element t 2 T das nächstgrößere Element t 0 2 T finden. Auf diese Weise kann man Elemente durchnummerieren und eine Bijektion von T auf N konstruieren. Definition. Für die Mächtigkeit von N schreiben wir j N j D @0 (=Aleph null; Aleph ist hebräischer Buchstabe). 4.4 Mächtigkeit Jede Menge M mit jM j D @0 heißt abzählbar Proposition. Es ist N N abzählbar. Im Folgenden (teilweise heuristische) Betrachtungen über Größe von Mengen. Definition. Für eine endliche Menge M ist die Mächtigkeit jM j von M gleich der Anzahl ihrer Elemente. Andere Notation: card.M /. Für N; Q; R ist Mächtigkeit nicht so leicht zu definieren. „Gleichmächtigkeit“ ist einfacher. Beweis. Cantor, kurz vor 1900, mittels Diagonalverfahren: .0; 0/ .0; 1/ .0; 2/ Definition 4.4.1 (Gleichmächtigkeit). Zwei Mengen A; B heißen gleichmächtig, wenn es bijektive Abbildung ( Bijektion ) von A nach B gibt. Man spricht dann von gleicher Kardinalität von A und B und schreibt card.A/ D card.B/ oder jAj D jB j. Beachte: card bzw. j j ist bislang nur für endliche Mengen definiert. Eine Menge kann gleichmächtig zu einer echten Teilmenge sein. Beispiel 4.4.2 (Gleichmächtigkeit von N und Ng ). Betrachte N und die Menge der geraden natürlichen Zahlen Ng . Es ist Ng ¨ N, aber die Abbildung f W N ! Ng ; n ֏ 2n ist eine Bijektion. M Tatsächlich haben nur endliche Mengen die Eigenschaft, eine größere Mächtigkeit als jede ihrer Teilmengen zu haben: Proposition 4.4.3 (Charakterisierung unendl. Mengen). Eine Menge ist unendlich ( d. h., nicht endlich ) gdw. sie eine gleichmächtige echte Teilmenge besitzt. Beweis. Entfällt. Manchmal schreibt man für unendliche Mengen M abkürzend „jM j D 1“. Es ist aber 1 keine Kardinalzahl, und es gibt Größenunterschiede bei unendlichen Mengen. .1; 0/ .2; 0/ .3; 0/ .1; 1/ .2; 1/ .3; 1/ .1; 2/ .2; 2/ .3; 2/ .... ........................................... ............... ............... .......... .. ............ ....... .... .......... ........... ............ ...... ....... .......... ............ ....... ....... ....... .......... ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... ...... ...... ....................... .......... .......... ........ ........ .. .......... ............ ............ ................................... .......... .. .......... .......... . . . . . . . . .... .......... ....... ....... .......... ....... ....... ......... ....... ....... .......... ....... ....... ................... . . . . . . . . . . . . .... .... .... ............ ........................ .......... ..... ....... ....... ...... . . ....... . . . . . ....... . .... ............ ............. .. ....... .0; 3/ Die gepunktete Linie deutet an, dass der Äbzahlvorgang analog fortzusetzen ist. Eine Formel für die Zuordnung ist (ohne Beweis): 1 f .i; j / D 2 .i C j /.i C j C 1/ C j: Die positiven und auch die negativen rationalen Zahlen können jeweils als Teilmengen von N N aufgefasst werden (beachte q D ˙ m n für zwei teilerfremde natürliche Zahlen m; n mit n ¤ 0). Damit: Proposition. Es ist Q abzählbär. Bemerkung. (a) Für unendlichen Mengen gibt es verschiedene Mächtigkeiten. So ist etwa die Potenzmenge PM einer Menge M immer mächtiger als M selbst (das gilt für jede Menge, egal ob endlich oder unendlich). Der Beweis entfällt. (b) Es gilt j PM j D jf 0; 1 gM j: () Um dies einzusehen, stellt man zunächst, dass per Definition f 0; 1 gM D f f W M ! f 0; 1 g g bedeutet. Es
