LERNZIELE:

MENGENLEHRE (Prof. Dr. Wagner – FB AI)
LERNZIELE:
Über die Kenntnis und das Verständnis der gegebenen Definitionen hinaus verfolgt dieser
Teil der Lehrveranstaltung die folgenden Lernziele:
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Den Umgang mit Quantoren und deren Negation beherrschen.
Sich die Bedeutung einer einfachen, formalen (insbesondere im Fall von Mengen auch
induktiven) Definition selbständig erarbeiten können.
Die verschiedenen Arten der Definition einer Menge kennen, lesen und selbst
verwenden können.
Die Bedeutung hinreichender und bzw. oder notwendiger Bedingungen kennen.
Die Teilmengen-/Element-Beziehung korrekt verwenden können.
Die Gleichheit von Mengen nach dem Extensionalitätsprinzip beweisen können.
Aussagen über die Mächtigkeit konstruierter Mengen (Potenzmenge,
Vereinigungsmenge) treffen können.
Die Gleichheit mengenalgebraischer Ausdrücke mit Hilfe von Venn-Diagrammen
überprüfen können.
Den Beweis der Ungültigkeit einer Aussage durch Angabe eines Gegenbeispiels
beherrschen.
Direkte Beweise von indirekten Beweisen unterscheiden können, d.h. insbesondere
einfache Widerspruchsbeweise führen können.
Mengenalgebraische Ausdrücke mit Hilfe gültiger Gesetze in äquivalente Ausdrücke
überführen können.
Def. (Menge)
Unter einer Menge versteht man eine ungeordnete Zusammenfassung bestimmter
wohlunterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen die Elemente der
Menge. Um die Zügehörigkeit eines Elementes a zu einer Menge M zu bezeichnen, schreiben
wir a ∈ M.
Def. Mächtigkeit einer Menge
Die Mächtigkeit einer Menge M, geschrieben |M|, gibt an wieviele Elemente die Menge M
besitzt. Ist diese Anzahl ungebrenzt, sprechen wir von einer unendlichen Menge, ansonsten
bezeichnen wir die Menge als endlich.
Def. (Potenzmenge)
Sei M eine Menge. Dann bezeichnet man die Menge aller Teilmengen von M als Potenzmenge der
Menge M, d.h. P(M) = {x | x ⊆ M}.
Satz (Potenzmenge einer Vereinigungsmenge)
Seien A und B endliche Mengen. Dann gilt: P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B), aber P(A) ∪ P(B) ≠ P(A ∪ B).
Satz (Mächtigkeit der Potenzmenge)
Sei M eine endliche Menge. Dann gilt |P(M)| = 2|M|.
Def. (Gleichheit von Mengen)
Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Man
bezeichnet dies auch als Extensionalitätsprinzip.</<p>
Formal:
A = B ↔ ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)
Def. (Teilmenge)
Eine Menge T heißt Teilmenge einer Menge M, geschrieben T ⊆ M, genau dann wenn alle
Elemente von T auch Elemente von M sind. M heißt dann auch Obermenge von T.
Formal:
T ⊆ M ↔ ∀ x (x ∈ T → x ∈ M).
Gilt dabei T ≠ M, so sprechen wir von einer echten Teilmenge und schreiben auch T ⊂ M.
Peano Axiome
Die Peano Axiome begründen die Menge N der natürlichen Zahlen.
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Startelement: 0 ist eine (natürliche) Zahl.
Bildungsgesetz: Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
Sonderrolle des Startelements: 0 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
Eindeutigkeit der Nachfolge: Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m'
folgt n = m.
Vollständigkeit der Nachfolge: Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 0 enthält
und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.
Satz (Mächtigkeit der Vereinigungsmenge)
Seien A und B endliche Mengen. Dann gilt: |A ∪ B| ≤ |A| + |B|.
Def. (Mengenalgebraische Operationen)
Seien A und B beliebige Mengen.
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Dann ist der Durchschnitt (oder auch die Schnittmenge) der Mengen A und B,
geschrieben A ∩ B (gesprochen "A geschnitten B"), wie folgt definiert:
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Dann ist die Vereinigung(-smenge) der Mengen A und B, geschrieben A ∪ B
(gesprochen "A vereinigt B"), wie folgt definiert:
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Dann ist die Differenz der Mengen A und B, geschrieben A \ B (gesprochen "A ohne
B"), wie folgt definiert:
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
Theorem (Gesetze der Mengenalgebra)
Die folgenden Gesetze der Mengenalgebra lassen sich durch Rückführung auf die Gültigkeit
der entsprechenden Gesetze in der Aussagenlogik beweisen:
Name
Gesetz
Neutralität von ∅
A∪∅=A
Übergewicht von ∅
A∩∅=∅
Idempotenzgesetze
A∪A=A
A∩A=A
Kommutativgesetze
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
Assoziativgesetze
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C) = A ∩ (B ∩ C)
Absorbtionsgesetze
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
Distributivgesetze
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)