§ 2. Endliche Mengen

Chr.Nelius : Kryptographie (SS 2011)
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§ 2. Endliche Mengen
Der Vorgang des Zählens der Elemente von endlichen Mengen ist eng mit bijektiven Abbildungen
verknüpft.
N
(2.1) DEF: a) Eine nichtleere Menge M heißt endlich , wenn es eine natürliche Zahl n ∈
und eine bijektive Abbildung f : M −→ {1, 2, 3, 4, . . . , n} gibt. Die Zahl n wird dann die
Anzahl der Elemente von M genannt. Man schreibt dafür: n =: |M | .
b) Die leere Menge ∅ ist endlich, und es ist |∅| = 0 .
c) Ist eine Menge M nicht endlich, so heißt sie unendlich .
(2.2) SATZ: U sei eine Teilmenge einer endlichen Menge M . Dann gilt:
a) U ist endlich und hat höchstens so viele Elemente wie M (d.h. |U | ≤ |M |)
b) Hat U genausoviele Elemente wie M (d.h. |U | = |M |), so folgt U = M .
Wir betrachten im folgenden nur nichtleere endliche Mengen.
(2.3) SATZ: M und N seien endliche Mengen, und f : M −→ N sei eine Abbildung. Dann
gilt:
a) Ist f : M −→ N injektiv, so folgt |M | ≤ |N |
b) Ist f : M −→ N surjektiv, so folgt |M | ≥ |N |
c) Ist f : M −→ N bijektiv, so folgt |M | = |N | .
(2.4) SATZ: M und N seien endliche Mengen mit |M | = |N | , und f : M −→ N sei
eine Abbildung. Dann gilt:
a) Ist f : M −→ N injektiv, so folgt, daß f bijektiv ist
b) Ist f : M −→ N surjektiv, so folgt, daß f bijektiv ist.
(2.5) SATZ: M und N seien endliche Mengen. Dann ist die Anzahl aller Abbildungen von M
nach N gleich
|N ||M| .
(2.6) SATZ: M und N seien endliche Mengen mit |M | = |N | . Dann ist die Anzahl aller
bijektiven Abbildungen von M nach N gleich
|M | ! (|M |–Fakultät) .
BEM: Für eine natürliche Zahl n ∈
natürlichen Zahlen von 1 bis n , d.h.
N ist n ! (lies: n–Fakultät) definiert als das Produkt der
n ! := 1 · 2 · 3 · . . . · n .