Grundbegriffe der Mathematik B1 ∪ B2).

Institut für Mathematik
Karl-Franzens-Universität Graz
Clason, Kainrath, Propst, Reinhart, Tomaschek
Blatt 11
UE 621.006
WS 2009/10
Grundbegriffe der Mathematik
Hausaufgaben (Bearbeitung bis 15.1.2010)
H 11.1 Gleichmächtigkeit
Seien A1 , A2 , B1 , B2 Mengen mit A1 ∩ A2 = B1 ∩ B2 = ∅ , und bezeichne ∼ die Gleichmächtigkeit. Zeigen Sie: Gilt A1 ∼ B1 und A2 ∼ B2 , so gilt auch ( A1 ∪ A2 ) ∼ ( B1 ∪ B2 ).
H 11.2 Abzählbarkeit von Teilmengen
Zeigen Sie: Jede unendliche Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar.
Hinweis: Verwenden Sie den Wohlordnungssatz, um die gesuchte Bijektion rekursiv zu konstruieren.
H 11.3 Abzählbarkeit von Mengen von Teilmengen
Die Menge aller Teilmengen von N (also die Potenzmenge P (N) ist bekanntlich überabzählbar. Beschränken wir uns dabei aber nur auf die endlichen Teilmengen, erhalten wir eine
abzählbare Menge.
Beweisen Sie, dass die Menge E (N) aller endlichen Teilmengen von N abzählbar unendlich
ist, indem Sie wie folgt vorgehen:
(a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen 2n Elemente hat.
(b) Folgern Sie daraus, dass die Menge E (N) abzählbar unendlich ist.
S
Hinweis: Zeigen Sie, dass E (N) = n∈N P ({1, . . . , n}) gilt.
H 11.4∗ Eine explizite Abzählung der rationalen Zahlen
Es gibt eine weitere (erst im Jahr 2000 gefundene) Möglichkeit, die positiven rationalen Zahlen anzuordnen, die ohne Wiederholungen auskommt und daher eine explizite Abzählung
ermöglicht. Dazu werden die rationalen Zahlen als binärer Baum dargestellt (siehe Abbildung):
• An der Wurzel steht 11 , und
• jeder Knoten
i
j
hat genau zwei Kinder: als linkes Kind
i
i+ j
und als rechtes Kind
i+ j
j .
1
1
2
1
1
2
1
4
2
3
3
2
1
3
4
3
3
5
5
2
1
5
3
1
5
3
3
4
4
1
Sie sollen nun zeigen, dass dadurch eine Abzählung von Q möglich ist. Gehen Sie dabei wie
folgt vor:
(a) Zeigen Sie, dass alle Brüche in diesem Baum bereits gekürzt sind, das heisst, falls
auftaucht sind r und s teilerfremd.
r
s
(b) Zeigen Sie, dass jeder gekürzte Bruch rs > 0 genau an einem Knoten im Baum auftaucht.
Hinweis: Verwenden Sie Induktion nach r + s.
(c) Zeigen Sie, dass das kte rechte Kind (d.h. das rechte Kind des rechten Kindes . . . ) des
Knotens mit der rationalen Zahl x die Zahl x + k, und das kte linke Kind die Zahl 1+xkx
enthält.
(d) Es sei f : N → Q rekursiv definiert wie folgt:
f (1) = 1,
f ( n + 1) =
1
,
b f (n)c + 1 − { f (n)}
wobei b x c ∈ N0 die größte ganze Zahl kleiner als x und { x } := x − b x c ist. Überlegen
Sie sich, warum dadurch der Baum zeilenweise abgezählt wird.
Hinweis: Für jede rationale Zahl x = f (n) existiert genau ein Knoten y und ein k ∈ N, so dass
f (n) entweder ein (k − 1)tes rechtes Kind vom linken Kind von y und f (n + 1) ein (k − 1)tes
linkes Kind vom rechten Kind von y ist, oder f (n) ein ktes rechtes Kind und f (n + 1) ein (k +
1)tes linkes Kind von y ist.