Ubungen zur Analysis 1, SoSe 2017 Blatt 0

BERGISCHE UNIVERSITÄT
WUPPERTAL
Fakultät 4 - Mathematik
und Naturwissenschaften
Apl. Prof. Dr. G. Herbort
Christian Budde
19.04.17
Übungen zur Analysis 1, SoSe 2017
Blatt 0
Aufgabe 1
Sei M eine Menge. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen über eine Menge A ⊂ M paarweise
äquivalent sind:
(a) Für jede Menge B ⊂ M ist A \ B = A ∩ B.
(b) Es existiert eine Menge B ⊂ M mit A \ B = A ∩ B.
(c) A = ∅
(d) Für jede Menge C ⊂ M ist C \ A = A ∪ C.
(e) Es existiert eine Menge C ⊂ M mit C \ A = A ∪ C.
Aufgabe 2
Ist M eine Menge und A, B zwei Teilmengen von M . Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen
äquivalent sind:
(a) A ∩ B = A ∪ B
(b) A = B
Aufgabe 3
Sei M eine Menge und seien X, Y Teilmengen von M . Die symmetrische Differenz von X und
Y ist definiert als
X∆Y := (X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y ) = (X \ Y ) ∪ (Y \ X).
(a) Sei X ⊂ Y . Was sind dann X∆Y , X∆∅, ∅∆∅ und X∆X c ?
(b) Zeigen Sie: X∆Y = X genau dann, wenn Y = ∅.
(c) Für welches Y ⊂ M gilt X∆Y = ∅ ?
Hinweis: Man kann ferner zeigen, dass X∆(Y ∆Z) = (X∆Y )∆Z für X, Y, Z ⊂ M ist. Somit
ist die Potenzmenge von M zusammen mit der Verknüpfung ∆ eine Gruppe.
Aufgabe 4
Seien a, b natürliche Zahlen. Zeigen Sie:
(a) Ist a gerade, so ist ak gerade für alle k ∈ N.
(b) Ist b ungerade, so ist bk ungerade für alle k ∈ N0 .