Ubungen zur Analysis 1, SoSe 2017 Blatt 1

BERGISCHE UNIVERSITÄT
WUPPERTAL
Fakultät 4 - Mathematik
und Naturwissenschaften
Apl. Prof. Dr. G. Herbort
Christian Budde
21.04.17
Übungen zur Analysis 1, SoSe 2017
Blatt 1
Aufgabe 1 (3+7 Punkte)
Sei M eine Menge. Für eine endliche Menge A ⊂ M sei n(A) die Anzahl der Elemente
von A.
a) Zeigen Sie n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) für alle endlichen Teilmengen
A, B ⊂ M .
b) Leiten Sie eine entsprechende Formel für die Anzahl der Elemente in einer Vereinigung dreier endlicher Mengen ab.
Aufgabe 2 (3+7 Punkte)
Sei Ad ⊂ Z für eine ganze Zahl d 6= 0 die Menge aller durch d teilbaren Zahlen.
a) Berechnen Sie dann A3 ∩ A7 . (Antwort beweisen!)
b) Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche nicht?
A2 ∩ A4 = A8 ,
A2 ∪ A4 = A6 ,
Ak ∩ Am ⊃ Akm (k, m ∈ Z, k, m 6= 0)
Aufgabe 3 (3+3+4 Punkte) Seien X und Y zwei nicht leere Mengen.
Zeigen Sie:
a) (A1 ×B1 )∪(A2 ×B2 ) ⊆ (A1 ∪A2 )×(B1 ∪B2 ) für alle A1 , A2 ⊆ X und B1 , B2 ⊆ Y .
Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiel, dass im Allgemeinen keine Gleichheit besteht.
b)Für alle A ⊆ X und alle C, D ⊆ Y gilt A × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (A × D).
c) Für alle A1 , A2 ⊆ X und B1 , B2 ⊆ Y gilt
(A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) = (A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 )
Aufgabe 4 (10 Punkte)
Zeigen Sie:
a) Es gibt keine Quadratzahl k 2 , mit k ∈ N, deren Einerziffer gleich 2 wäre.
b) Für eine Menge M sei P(M ) die Menge der Teilmengen von M , also A ∈ P(M )
genau dann, wenn A ⊂ M .
Für zwei nichtleere Mengen M1 , M2 untersuchen Sie, ob folgende Behauptung immer
richtig ist:
Jede Menge T ∈ P(M1 × M2 ) hat die Form T = A1 × A2 mit geeigneten Ak ∈
P(Mk ), k = 1, 2.
Abgabe bitte bis 28.04.17 bis 10 Uhr in das Postfach Ihres Übungsleiters auf D13
unter Angabe Ihrer Namen (Abgabe in Gruppen von ≤ 3 Mitgliedern) und des
Names Ihres Ü-Leiters . Webseite: www2.math.uni-wuppertal.de/∼herbort