Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Department Mathematik der Universität Hamburg
Prof. Dr. H. J. Oberle
Dr. H. P. Kiani
WiSe 2011/12
Analysis I
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Blatt 1
Aufgabe 1:
a) Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln die Gültigkeit folgender Äquivalenzen:
(i)
((A ∨ B) ∧ ¬(B ∨ C)) ⇐⇒ (A ∧ ¬B ∧ ¬C)
(ii)
((A ∧ (B ∨ C)) ⇐⇒ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
b) Das folgende Schaltbild mehrpoliger Schalter p, q, r und s kann durch die logischen
Verknüpfungen
(p̄ ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (p̄ ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (q ∧ r ∧ s̄) ∨ s
−−
p
q
−−
p
p
r
s
r
q
q
r
s
r
−−
s
s
−−
s = nicht s
dargestellt werden. Hierbei entspricht eine Parallelschaltung von Schaltern (z. B. von
q und r) einer Oder–Verknüpfung von Aussagen (z. B. q ∨ r ). Eine Serienschaltung
entspricht einer Und–Verknüpfung und p̄ entspricht der Negation von p .
Vereinfachen Sie den oben angegebenen logischen Ausdruck und zeichnen Sie das dazugehörige einfachere Schaltbild.
Analysis I, H. J. Oberle/H. P. Kiani, WiSe 2011/2012, Blatt 1
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Aufgabe 2:
a) Sei I ⊂ R ein Intervall und x0 ∈ I . Verneinen Sie die Aussage
A(x0 ) : ⇔ ( ∃ǫ > 0 : ]x0 − ǫ, x0 + ǫ[ ⊂ I ) .
Für welche reellen Intervalle I gilt: ∀x ∈ I : A(x) ?
b) Beweisen Sie folgende Aussagen oder widerlegen Sie die Aussagen mit Hilfe von Gegenbeispielen.
(i) Für alle n ∈ N gilt: Die Zahl m := 3n(n2 + 2) ist durch 9 teilbar.
(ii) Voraussetzung: Für i = 0, 1, 2 seien die Zahlen ai ∈ Z ungerade. Das heißt
∃ ki ∈ Z : ai = 2ki − 1 für i = 0, 1, 2 .
Behauptung: Dann hat das Polynom
p(x) := a2 x2 + a1 x + a0
keine rationale Nullstelle.
Hinweis: die Summe zweier ungerader Zahlen ist eine gerade Zahl.
n
X
5n2 − 7n + 4
(iii) Für alle n ∈ N gilt
k2 =
.
2
k=1
Aufgabe 3:
a) Seien f, g, h : R → R gegebene Funktionen. Verändern folgende Umformungen die
Lösungsmenge der Ungleichung f (x) ≤ g(x) ? Wenn ja, wie?
f (x) + h(x) ≤ g(x) + h(x)
|f (x)| ≤ |g(x)|
f (x)
≤1
g(x)
f (x) · h(x) ≤ g(x) · h(x)
(f (x))2 ≤ (g(x))2
b) Eine reellwertige Funktion heißt gerade, wenn auf ihrem zum Ursprung symmetrischem
Definitionsbereich ( [−a; a] bzw (−a, a) ) f (−x) = f (x) gilt. Sie heißt ungerade, wenn
auf ihrem Definitionsbereich f (−x) = −f (x) gilt.
Welche der folgenden Funktionen sind gerade und welche sind ungerade?
f :R → R
f (x) =
cos(x)
1 + x2
g :R → R
g(x) = x − sin(x)
h :R → R
h(x) = sin(x −
k : [−1; 1] → R
l :R → R
k(x) =
π
)
4
x · g(x)
f (x)
l(x) = g(x) (f (x))3 + x3
Skizzieren Sie den Graphen von g für x ∈ [− π2 , π2 ] .
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Aufgabe 4:
Für welche x ∈ R sind die folgenden reellen Ausdrücke definiert? Welche Werte nimmt y
an?
1
1
y=p
y=
ln(x3 + x2 + x + 1)
(6 + x − x2 )
√
q
√
25 − x2
y = cos x
y = arccos
3
Zusatzaufgabe: Skizzieren Sie für die zugehörigen Funktionen f : D 7→ R, y = f (x), mit
geeignetem Definitionsbereich D die Funktionsgraphen. Benutzen Sie dazu z.B. Matlab.
x=[-4:0.02:4]; % erzeugt x-Vektor (-4, -3.98, -3.96,..., 3.96, 3,98, 4)
y=sqrt((sin(x)).^2+1); %
%
%
%
plot(x,y)
erzeugt zugehörigen y-Vektor. Für jeden x-Wert
wird sin(x) hoch 2 genommen (.^, s. Anleitung),
...
sqrt: zweite Wurzel (square root)
erzeugt:
1.45
1.4
1.35
1.3
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Abgabetermine: 07.11-11.11.11 (zu Beginn der jeweiligen Übung)