Statistik III - Schätzen und Testen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
FAKULTÄT STATISTIK
Dr. Th. Ziebach
B.Sc. L. Holtmann
B.Sc. R. Löser
B.Sc. S. Neumärker
Wintersemester 2013/14
22.10.2013
Blatt 2
Übungen zur Vorlesung
Statistik III - Schätzen und Testen
Aufgabe 4
Seien X1 und X2 unabhängig identisch verteilt mit P X1 =Exp(λ), λ > 0. Desweiteren sei Y eine
zentrale laplaceverteilte Zufallsvariable mit der Dichte gY (y) = λ2 exp(−λ|y|).
(a) Zeigen Sie, dass X1 − X2 die gleiche Verteilung wie Y hat, indem Sie den Transformationssatz
für Dichten anwenden.
(b) Betrachten Sie im Folgenden die Zufallsvariable Z mit Dichte
fZ (z) =
λ
exp(−λ|z − µ|).
2
P Z heisst (nicht-zentrierte) Laplace-Verteilung mit Lageparameter µ. Bestimmen Sie die Varianz von Z.
(c) Zeigen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes für Dichten, dass die Zufallsvariable
U=
(Z − µ)λ
√
2
die Dichte gU besitzt, mit gU (u) =
√1
2
√
exp(− 2|u|).
(d) Zeichnen Sie für eine laplaceverteilte Zufallsvariable und eine normalverteilte Zufallsvariable
(mit Hilfe von R) die Dichten und die Verteilungsfunktionen jeweils zusammen in eine Grafik.
Beide Verteilungen sollen dabei den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 haben. Wie sind µ
und λ daher zu wählen? Interpretieren Sie die Grafik.
Aufgabe 5
Sei (Xn )n∈N eine Folge von stetig gleichverteilten Zufallsvariablen auf dem Intervall [− n1 , n1 ] mit
zugehöriger Verteilungsfunktion Fn . Ferner sei P Z die Einpunktverteilung im Punkt 0, d.h. Z hat
die Dichtefunktion fZ mit
fZ (z) = 1{0} (z)
(a) Konvergiert P Xn schwach gegen P Z ?
(b) Bestimmen Sie P (Xn = 0) für n ∈ N und P (Z = 0). Was fällt Ihnen auf?
Aufgabe 6
Seien Z1 , ...,
PZn unabhängig identisch bernoulliverteilte Zufallsvariablen mit Parameter p, p ∈ (0, 1).
Sei Xn := ni=1 Zi , bestimmen Sie exakt und approximativ (mit 2.11) für alle Kombinationen von
δ = 0.1, n ∈ {10, 50, 100, 200} und p ∈ {0.2, 0.5, 0.7} die Wahrscheinlichkeit
P (Xn ∈ [n(p − δ), n(p + δ)]).
Interpretieren Sie die Ergebnisse.
Abgabe: Bis Montag, 28.10.2013, 10 Uhr, in dem zur Übung gehörenden Briefkasten im MatheFoyer: (Mi. 10.15 Uhr, Briefkasten 136), (Fr. 8.30 Uhr, Briefkasten 137), (Fr. 12.15 Uhr, Briefkasten
138)
Homepage zur Vorlesung: http://www.statistik.tu-dortmund.de/iwus-lehre.html