Lineare Algebra I

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Wintersemester 2005/06
Lineare Algebra I
1. Übung zur Vorlesung
1. Aufgabe: Zeigen Sie: Zu jedem n ∈ N gibt es ein x ∈ N so, dass keine der Zahlen
x, x + 1, x + 2, . . . , x + (n − 1) eine Primzahl ist. Mit anderen Worten: Es gibt beliebig
große Primzahllücken!
Lösung: Gilt für x = (n + 1)! + 2.
2. Aufgabe: Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien:
1. ((A ∧ B) ⇒ C) ⇔ A ∧ B ∧ C
2. ((A ⇒ B) ⇒ C) ⇔ (A ⇒ (B ⇒ C))
3. (A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ A)
Lösung: Keine, denn
A
f
B
w
C
f
((A ∧ B) ⇒ C) ⇔ A ∧ B ∧ C
f
((A ⇒ B) ⇒ C) ⇔ (A ⇒ (B ⇒ C))
f
und
A
w
B
f
(A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ A)
f
3. Aufgabe: Beweisen Sie die folgenden Aussagen für Mengen U, V , W :
1. U ∩ W = ((W \ V ) ∩ U) ∪ (U ∩ V ∩ W )
2. (U ∪ V ) ∩ W = (V ∩ W )
⇔
(U ∩ W ) ⊆ V
Lösung:
1. Sei u die Aussage “x ein Element in U”, v die Aussage “x ein Element in V ” und
w die Aussage “x ein Element in W ”. Dann haben wir
u
w
w
w
w
f
f
f
f
v w
w w
w f
f w
f f
w w
w f
f w
f f
u∧w
w
f
w
f
f
f
f
f
((w ∧ v̄) ∧ u) ∨ (u ∧ v ∧ w) (u ∧ w) ⇔ (((w ∧ v̄) ∧ u) ∨ (u ∧ v ∧ w))
w
w
f
w
w
w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
2. Merke (U ∪V )∩W = (U ∩W )∪(V ∩W ). Angenommen, (U ∩W )∪(V ∩W ) = V ∩W ,
denn (U ∩ W ) ⊆ V ∩ W ⊆ V . Und falls U ∩ W ⊆ V , dann (U ∩ W ) ⊆ (V ∩ W ) und
damit (U ∩ W ) ∪ (V ∩ W ) = V ∩ W .
4. Aufgabe: Wir betrachten eine Klasse von 40 Mädchen. Es gibt 18 Mädchen, die gerne
Schach spielen und 23, die Fußball mögen. Es gibt 9 Mädchen, die Fußball und Schach
mögen, 7, die Schach und Radeln bevorzugen, und 12 mögen Fußball und Radeln. Alle
drei Aktivitäten mögen 4 Mädchen, und jedes Mädchen mag mindestens eine der Sachen.
Wie viele Mädchen fahren gerne Rad?
Lösung: Sei
K = {Mädchen in der Klasse}
A = {Mädchen, die gerne Schach spielen}
B = {Mädchen, die Fußball mögen}
C = {Mädchen, die Radeln mögen}
Also,
|K| = 40, |A| = 18, |B| = 23, |A ∩ B| = 9, |A ∩ C| = 7, |B ∩ C| = 12, |A ∩ B ∩ C| = 4.
Dann gilt |C| = 23, denn
|K| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.