WdhgAufgabenEFklp - Rivius Gymnasium Attendorn

Selbsteinschätzungsbogen zu Ihren mathematischen Grundfertigkeiten
aus der Mittelstufe
Name: ____________________
Bewerten Sie die folgenden Aspekte mit
1= „beherrsche ich vollständig“
2= „beherrsche ich bis auf wenige Ausnahmen“
3= „ die Grundlagen sind mit bekannt, aber bei etwas höherem Schwierigkeitsgrad habe ich
Probleme“
4= „habe grundlegende Probleme bei diesem Thema, die ich mit viel üben beheben kann“
5= „verstehe diesen Bereich gar nicht und habe auch nicht das Gefühl, dass üben da hilft“
Thema
Ich kann einfache Gleichung lösen, z.B. 3x+5=21
Ich kann komplexere Gleichungen lösen, bei denen auch ausmultipliziert
werden muss, z.B. 4(2x-5)=24(x-2)
Ich kann Terme ausmultiplizieren und zusammenfassen, z.B. (3x+4)(2x-4y)
Ich kann Terme ausklammern z.B. x²+2x = x (x+2) oder 5x+15 = 5 (x+3)
Ich kenne die Binomischen Formeln auswendig.
Ich kann die Binomischen Formeln bei einfachen Aufgaben anwenden
z.B. (x-5)²=….
Ich kann komplexere Binomische Formeln anwenden, z.B (3x-0,8y)²
Ich kann Gleichungen lösen, in denen Binomische Formeln enthalten sind:
z.B. (2x-4)²+(3x+5)²=10
Ich erkenne Binomische Formeln, wenn sie in einer Rechnung auftreten
z.B. x²+6x+9 = (x+3)² (Binomische Formeln rückwärts)
Ich kann einfache quadratische Gleichungen lösen, z.B x²-7x-48=12
Ich kann komplexe Gleichung auf quadratische Gleichungen zurückführen
und lösen, wie die Gleichung zwei Zeilen weiter oben.
Ich erkenne, ob es sich bei einer Gleichung um eine quadratische Gleichung
handelt.
Ich kenne die p/q-Formel auswendig und kann sie auch anwenden.
Ich kann einfache Gleichungssysteme mit dem AdditionsSubtraktionsverfahren lösen. z.B. I. 3x+4y= 2 und II. 6x+10y=-4
Ich kann zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten graphisch lösen mittels
linearer Funktionen.
Ich kann aus zwei Punkten eine lineare Funktion aufstellen.
Ich erkenne, ob sich bei Zuordnungen und proportionale oder
antiproportionale Zuordnungen handelt.
Ich beherrsche die Grundlagen der Prozentrechnung und kann Grundaufgaben
entweder mit den Formeln oder mit dem Dreisatz lösen.
Ich beherrsche die Grundlagen der Zinsrechnung und kann Grundaufgaben
entweder mit den Formeln oder mit dem Dreisatz lösen
Ich kann bei Aufgaben zur Prozentrechnung erkennen, um welchen
Aufgabentyp es sich handelt. z.B. Berechnung des Prozentwerts, Berechnung
eines erhöhten Grundwerts.
Ich kann bei Aufgaben zur Zinsrechung erkennen, um welchen Aufgabentyp
es sich handelt, z.B. Berechnung von Zinsen, Berechung von Monatszinsen,
Berechnung von Kapital nach n Jahren.
1
2
3
4
5
Zweiter Teil – auszufüllen am Ende der Arbeitsphase
Füllen Sie nun selbstständig diesen Bogen aus, indem Sie die Aspekte eintragen, die sie
bearbeitet haben und schätzen sie durch ankreuzen ein, inwiefern sie sich verbessert haben.
Tragen Sie außerdem ein, zu welchen Themen Sie noch weiterarbeiten wollen und Material
dazu benötigen.
Thema
1
2
3
4
5
STATION 1
Lösen von Gleichungssystemen
Das bei weitem beste Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen ist das AdditionsSubtraktionsverfahren – hier ein Beispiel als Erinnerung
Aufgaben zum Üben
a)
d)
b)
e)
c)
f)
g)
j)
h)
k)
g)
l)
m) Antwortet die Schildkröte auf die Frage der Schlange, wie alt sie sei: „Wäre ich 30
Jahre jünger als ich bin, dann wäre ich achtmal so alt wie Du bist. Wärst Du aber 75
Jahre älter als Du bist, dann wärst Du halb so alt wie ich bin.“ Wie alt sind beide?
n) Sebastian ist vier Jahre älter als seine Schwester Ina. Vor vier Jahren war er gerade
doppelt so alt wie Ina. In wie vielen Jahren wird Sebastian, in wie vielen Ina
volljährig?
Lösungen in beliebiger Reihenfolge:
{(5/7)} { }{(x/y)} {(3/2)}
{(10/6)} {(3/2,5)}
{(–2,5/3)}
{(7/3)} {(/)} {(15/4)}
{(10/3) { } {(3/3) {(190/20)}
{ } = keine Lösung
Station 2
Ausmultiplizieren
Teil 1
Multipliziere aus wie im folgenden Beispiel:
(2x + y) (5x – 3y)
= 2x·5x – 2x·3y + y·5x – y·3y
= 10x2 – 6xy + 5xy – 3y2
= 10x2 – xy – 3y2
a) (3a + 5b) (7a + 8b)
b) (12a – 17b) (8a + 3b)
c) (19a + 4b) (5a – 19b)
d) (15a – 7b) (13a – 8b)
e) (x2 + x + 1) (x – 1)
f) (x3 + x2 + x + 1) (x – 1)
g) (2x2 – 3x + 5) (4 – 8x – x2)
h) (x3 – x2 + x – 1)(x2 – x + 1)
i) x (x + 1) (x + 2)
j) x (2 – x) (7 + x)
– 5)
k) (x + 1) (x – 1) (x + 2)
l) (x – 2) (x – 3) (x – 4) (x
Teil 2
Forme um wie im folgenden Beispiel:
(x – 2) (x + 3) – (x + 4) (x – 1)
= x2 + 3x – 2x – 6 – (x2 – x + 4x – 4)
=
x2 + x – 6
– ( x2 + 3x – 4)
=
x2 + x – 6
– x2 – 3x + 4
= –2x – 2
a) (x+1)(x+2) + (x+3)(x+4)
b) (x–1)(x–2) + (x–3)(x–4)
c) (x+1)(x+2) – (x+3)(x+4)
d) (x–1) (x–2) – (x–3) (x–4)
e) (x2+2x+2) (x–1) + (x2–3x–4) (x+5)
f) (3x2–7x+1) (2x–5) – (4x2+3x–1) (4–3x)
g) x (x+1) (x–2) – (x2+x+1) (x–4)
h) (x–2) (x+3) + (x–4) (x+8) – (x–3) (x–7)
i) (2x–1) (3–4x) – (4x+1) (5–2x) – (x–2) (x–3) j) x (x+8) (2x–12) – x (x–4) (x+9)
Lösungen: Teil 1
a) 21a2 + 59ab + 40b2
b) 96a2 – 100ab – 51b2
c) 95a2 – 341ab – 76b2
d) 195a2 – 211ab + 56b2
e) x3 – 1
f) x4 – 1
g) –2x4 – 13x3 + 27x2 – 52x + 20
j) –x3 – 5x2 + 14x
2
a) 2x + 10x + 14
h) x5 – 2x4 + 3x3 – 3x2 + 2x – 1
k) x3 + 2x2 – x – 2
b) 2x – 10x + 14
2
i) x3 + 3x2 + 2x
l) x4 – 14x3 + 71x2 – 154x + 120
Teil 2
c) –4x – 10
d) 4x – 10
e) 2x3 + 3x2 – 19x – 22
f) 18x3 – 36x2 + 22x – 1 g) 2x2 + x + 4 h) x2 + 15x – 59 i) –x2 – 3x – 14 j) x3 – x2 – 60x
Station 3
Umgang mit Binomische Formeln
Als Erinnerung:
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
(a+b)(a-b)=a²-b²
1. Wende die Binomische Formeln an:
a) (2a + b)2
b) (a – 3b)2
c) (3a + 4b)2
d) (7a – 9b)2
e) (x + 1)2
f) (x – 2)2
g) (3x – 5)2
h) (13x + 15)2
i) (x – 1) (x + 1)
j) (3x + 2) (3x – 2)
k) (25x–17) (25x+17)
l) (4x – 21y)2
m)
n)
o)
2. Vereinfache so weit wie möglich (vgl. dazu das Beispiel zu I. 3!):
a) (a + b)2 + (a – b)2
b)(a + b)2 – (a – b)2 c)(a + b)2 + (a + b) (a – b)
3. Binomische Formel rückwärts: Faktorisiere mit Hilfe der binomischen Formeln:
a) x2 + 2xy + y2
b) x2 – 4x + 4
e) 81x2 + 126x + 49
f) 100x2 + 280xy + 196y2 g) x2 – y
i) 25x2 – 1
j) x2 – 0,04
Lösungen:
1) a) 4a2 + 4ab + b2
i) x2 – 1
g) h)
c) 9a2 + 24ab + 16b2
g) 9x2 – 30x + 25
k) 625x2 – 289
d) x2 – 24x + 144
h) 16x2 – 9y2
l)
d) 49a2 – 126ab + 81b2
h) 169x2 + 390x + 225
l) 16x2 – 168xy + 441y2
i)
2) a) 2a2 + 2b2
3) a) (x + y)2
b) a2 – 6ab + 9b2
j) 9x2 – 4
x 2  19
k)
f) x2 – 4x + 4
e) x2 + 2x + 1
c) 9x2 – 30x + 25
b) 4ab
c) 2a2 + 2ab
b) (x – 2)2
c) (3x – 5)2
e) (9x + 7)2
f) (10x + 14y)2
g) (x – y) (x + y)
i) (5x – 1) (5x + 1) j) (x – 0,2) (x + 0,2)
k)
l)
d) (x – 12)2
h) (4x – 3y) (4x + 3y)
Station 4
Gleichungen mit Binomischen Formeln
(keine quadratischen Gleichungen)
Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen (Sie können die meisten Ergebnisse
selbst überprüfen, wenn Sie eine Probe machen!):
a) (x – 2)2 – x2 + 2 = 3
= 0
b) (x + 4)2 – (x – 3)2 = 0
c) (x – 5) (x + 5) – x2 – 5
d) x (2x+4) – 2 (x–8)2 = – 4
= 2
e)
f) (2x + 6) (2x – 6) – 4x2
g)
h)
i) (x – 3)2 = x2 – 3·(x + 1)
2)2
j) x2 – (x + 2) (x – 2) = 4
l) (x – 1,2)2 – (x – 2,3)2 = 2,75
k) (x + 2)2 = 48 + (x –
m)
n) (5x – 7) (3x + 4) = (3x – 2)2 + x (11 + 6x) o)
p) (2x – 3)2 – 1 = (x – 2) (x + 2) + 3x2
Lösungen:
a) IL =
f) IL = {}
l) IL = {3}
b) IL =
c) IL = {}
d) IL =
g) IL = {0}
h) IL =
i) IL = {4}
m) IL = {–3}
n) IL = {}
e) IL =
j) IL = Q
o) IL =
k) IL = {6}
p) IL = {1}
Station 5
Quadratische Gleichungen
Die Normalform quadratischer Gleichungen ist x²+px+q=0
p
p²

 q und ist nur anwendbar, wenn a=1 ist! Falls dies
2
2
4
also nicht der Fall ist, muss a ausgeklammert werden. Vergleichen Sie beim Bestimmen der
p
Nullstellen den Ausdruck  mal mit ihren errechneten Scheitelpunkten.
2
Die p/q-Formel lautet: x 1  
Bringen Sie, falls notwendig, die folgenden Gleichungen erst in Normalform und lösen Sie
anschließend mit der Formel:
Hier sollten Sie ausmultiplizieren können.
a ) x ²  6 x  9
b) 2 x( x  3)  0
c) 5 x ²  15 x  3  0
d ) 12 x ²  108  0
e)( x  2)²  3( x  2)  10
f )( x  5)( x  7)  45
g )( 2 x  2)( x  2)  ( x  1)( x  1)  5
16
8
h)

 48
x  3 1  3x
Lösungen in beliebiger Reihenfolge:
IL = (10 / 8)
(2,78 / 0,22)


L =  11
IL = 3
IL = (0 / 7)
IL = (4 / 2)
IL = 1
IL =
IL = (0 / 3)
Station 6
Quer durch den Garten der
Zinsrechnung
1. Herr Weiser hat einen Kredit von 25400 € zu
einem Zinssatz von 12% aufgenommen. Wie
viel Zinsen muss er nach einem Jahr bezahlen?
2. Für eine Spareinlage von 1680 € werden Frau
Trimmel nach einem Jahr 50,40 € Zinsen gut
geschrieben. Welcher Zinssatz wurde vereinbart?
3. Nach einem Jahr erhält Familie Stulle 210 € Zinsen für einen Geldbetrag, den sie zu
einem Zinssatz von 6% angelegt hat. Was hatte sie angelegt?
4. Herr Wuchtig legt ein Kapital von 8400 € zu einem Zinssatz von 6% an. Wie hoch
sind die Zinsen nach 9 Monaten?
5. Frau Knolle legt 1680 € zu einem Zinssatz von 3% an. Nach 26 Tagen hebt sie den
Betrag wieder ab. Wie viel Zinsen werden vergütet?
6. Herr Zottig zahlt am 16. Juli einen Betrag auf sein Sparbuch, den er am 18.12. wieder
abhebt. Wie viele Zinstage werden berücksichtigt?
7. 13500 € wurden zu einem Zinssatz von 8%
ausgeliehen. Bei der Rückzahlung waren 810 €
Zinsen fällig. Wie viele Monate war das
Darlehen ausgeliehen?
8. Eine Spareinlage von 4400 € zu einem
Zinssatz von 3% wurde abgehoben. Es wurden
Zinsen von 121 € vergütet. Wie viele Tage war
die Spareinlage verzinst?
9. Frau Knusper legt 8000 € zu einem Zinssatz
von 5% an. Auf welchen Betrag ist das
Anfangskapital nach 4 Jahren gewachsen?
Station 7
Quer durch den Garten der
Prozentrechnung
1) Die Sösetalsperre fasst 25,5 Millionen m3
Wasser. Nach einer langen Trockenperiode ist
sie nur noch zu 45% gefüllt. Berechne den
Wasserinhalt nach dieser Trockenperiode.
2) Zuckerrüben enthalten im Mittel 16% Zucker.
Wie viel Tonnen Rüben müssen geerntet
werden, um daraus 2,8 Millionen Tonnen
Zucker (ungefährer Jahresverbrauch in
Deutschland) zu gewinnen?
3) Auf einer kleinen Kirmes gibt es zwei Losbuden. Bei der ersten Bude gibt es 175
Gewinne unter 500 Losen, bei der zweiten Bude gewinnt jedes dritte Los. Wo ist die
Gewinnchance größer?
4) Bei Aral werden die Benzinpreise mal wieder erhöht, dieses Mal um 3,5%. Wie viel
kosten Benzin und Super nach der Preissteigerung (gerundet auf Cent), wenn sie
vorher 1,079€ bzw. 1,099€ gekostet haben?
5) Nach einer Preissteigerung von 4% kostet eine Stereoanlage 2730€. Wie teuer war
diese Anlage vor der Preiserhöhung?
6) In einem Sportverein gibt es 84 Mitglieder. Davon sind 38 unter 18 Jahren. Diese 38
teilen sich wiederum wie folgt auf: 12 Kinder unter 10 Jahren, 7 Kinder zwischen 10
und unter 14 Jahren und die restlichen zwischen 14 und 18 Jahren. Stelle die
Mitgliedersituation des Vereins in einem Kreisdiagramm dar und gib dabei an, wie
viel Prozent der Mitglieder jeweils den verschiedenen Altergruppen angehören.
7) Franz kauft für 150€ einen DVD-Player. Dies entspricht einem um 25% reduziertem
Preis. Berechne, wie teuer der Fernseher vorher und wie hoch der Preisnachlass war.
Station 9
Umgang mit Potenzen
Als Erinnerung: Die Potenzrechenregeln
Aufgaben
Aufgabe 1:
Schreibe zunächst als Potenz mit einem Exponenten – berechne anschließend wenn möglich:
a ) 33  3 4 
b) 5 2  8 2 
c) 12 8 : 12 5 
d ) 20 5 : 10 5 
3
e) x  x 
6
f ) 27
3
h) 
5
g )3 5 x  3 25 x ² 

5
3
2
: 27

5
 
3
4
3

5

Aufgabe 2:
Schreibe als Wurzel und berechne:
1
2
1
4
a) 225 
b) 0,0016 
2
6
3
7
c) 64 
d ) 312 
Aufgabe 3:
Vereinfache die Terme:
a) 5 u 14  5 u 6 
b)7 k 8  7 k 3  7 k 9 
Aufgabe 4:
Vermischte Aufgaben: Vereinfache soweit wie möglich!
3
a ) 
4
3

4
c) x 5  ( x 6  x 8 ) 
4 a 
 
b)

b


d ) 3  3 a 6  (a ²  b ³) 
e) ( y ²) 5 m  y 3m 
2
2
 45   15 
f )  :   
 9   72 
STATION 10 Verständnis für Füllvorgänge
Aufgabe 1 Auf den Bildern sind verschieden geformte Gefäße zu sehen. Sie werden mit
gleichmäßig zulaufendem Wasser gefüllt. Jedes Gefäß ist 20 cm hoch und nach einer Minute
gefüllt. Zeichne für das Gefäß einen Graphen, der zeigt, wie die Wasserhöhe in dem Gefäß in
Abhängigkeit von der Zeit steigt.
Aufgabe 2
Das Füllen von Gefäßen mit Wasser lässt sich durch Funktionen, die die Füllhöhen in
Abhängigkeit von den Füllzeiten angeben, beschreiben. Die zugehörigen Funktionsgraphen
werden im Folgenden mit „Füllgraphen“ bezeichnet. Es ist stets davon auszugehen, dass die
Wasserzufuhr gleichmäßig erfolgt (in gleichen Zeitspannen werden gleiche Wassermengen
zugeführt).
a) Die folgende Abbildung zeigt Querschnitte von Gefäßen (A bis J) und Füllgraphen (1 bis
10). Suchen Sie zu jedem Gefäß den zugehörigen Füllgraphen. Begründen Sie ihre
Zuordnung geeignet.
b) Zeichnen Sie den Füllgraphen des unten
stehenden skizzierten Schwimmbeckens, und
erläutern Sie Ihre Darstellung.
Nichtschwimmer
Schwimmer
Lösungen Aufgabe 2a):
A7; B4; C9; D2; E10; F3; G8; H1; I5; J6
Wiederholungen und Erweiterungen zum
Rechnen mit Brüchen und
Dezimalzahlen
Regeln für die Bruchrechnung
1. Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert
werden. Der Wert des Bruches bleibt beim Erweitern unverändert.
 Beispiel:
2. Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert werden.
Der Wert des Bruches bleibt beim Kürzen unverändert.
 Beispiel:
3. Gleichnamige Brüche (das sind Brüche mit gleichen Nennern) werden addiert bzw.
subtrahiert, indem bei unverändertem Nenner ihre Zähler addiert bzw. subtrahiert werden.
 Beispiel:
Man kann die Regel auch als allgemeine Gleichung darstellen, wenn man die Zahlen des
Beispiels durch Buchstaben ersetzt. Man nennt solche Buchstaben, die stellvertretend für
Zahlen benutzt werden, Platzhalter oder Variable:
4. Ungleichnamige Brüche werden vor dem Addieren bzw. Subtrahieren gleichnamig
gemacht (das heißt: sie werden so erweitert, dass sie gleiche Nenner besitzen). Als
gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) benutzt man das kleinste gemeinsame Vielfache
(kgV) der einzelnen Nenner.
 Beispiele:
a)
b)
5. Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem sein Zähler mit der Zahl multipliziert
(und sein Nenner beibehalten) wird.
Ein Faktor vor oder hinter dem Bruchstrich darf also auf den Bruchstrich gesetzt
werden. Vor dem Ausrechnen ist, falls möglich, zu kürzen!
Liest man die Gleichungen von rechts nach links, dann sieht man, dass auch die
Umkehrung gilt: Ein Faktor auf dem Bruchstrich darf auch vor oder hinter den Bruch
gesetzt werden.
 Beispiel:

2
Benutze zum Kürzen stets einen3 Bleistift, weil man sonst nicht erkennen kann, was
gekürzt bzw. als ungültig erklärt wurde. Was hier zum Kürzen gesagt wurde, gilt
auch für die nun folgenden Regeln!
6. Ein Bruch wird durch eine Zahl dividiert, indem entweder der Zähler durch die Zahl
dividiert (und der Nenner beibehalten) wird oder der Nenner mit der Zahl multipliziert
(und der Zähler beibehalten) wird.
 Beispiel:
4
3
7. Brüche werden miteinander multipliziert,
indem ihre Zähler und ihre Nenner multipliziert
werden.
 Beispiel:
8. Durch einen Bruch wird dividiert, indem mit seinem Kehrbruch multipliziert wird.
Eine andere Form der Darstellung für Divisionen durch Brüche sind Doppelbrüche.
Doppelpunkt und Bruchstrich sind also gleichwertige Operationseichen.
 Beispiele:
a)
Die Beispiele zeigen, dass es wichtig ist, den
Hauptbruchstrich nicht mit anderen Bruchstrichen zu
verwechseln. Der Hauptbruchstrich muss deshalb
immer
etwas
länger
sein
und
mit
den
Gleichheitszeichen auf gleicher Höhe stehen!
c)
b)
Station 11
Umgang mit Brüchen
Aufgabe 1) (Addition und Subtraktion)