¨Ubungen zur Theoretischen Informatik Blatt 9 1) a) Was bedeuten

Übungen zur Theoretischen Informatik
Blatt 9
1)
a) Was bedeuten die Notationen f = O(g), f = o(g), f = Ω(g), f = ω(g), f = Θ(g) für
Funktionen f, g definiert auf den natürlichen Zahlen?
(n)
b) Zeigen Sie, dass f = O(g) gilt, wenn der Grenzwert limn→∞ fg(n)
existiert.
c) Zeigen Sie, dass aus f = o(g) auch folgt, dass f = O(g).
2)
a) Für ein Polynom p(n) vom Grad k ist nk = O(p(n)) und auch p(n) = O(nk ).
√
b) Zeigen Sie, daß log(n) = O(n), n√= O(n).
Gilt hier auch n = O(log(n)), n = O( n)?
c) Zeigen Sie, daß 2n = O(n!). Gilt sogar 2n = o(n!)?
3) Wachsen die folgenden Sequenzen f (n) natürlicher Zahlen polynomiell oder exponentiell?
a) n − 1, n3 + 2n + 1, 0.99n , 1.01n , 2n−1 ,
√
b) n · log(n), n2 · n, n!,
4) Ist das Wachstumsverhalten der Fibonacci-Zahlen Fn – definiert durch F1 = F2 = 1
und Fn = Fn−1 + Fn−2 – polynomiell oder exponentiell?
P.S. Der Logarithmus log(n) sei hier der natürliche Logarithmus, also zur Basis e. Die
Aussagen ändern sich aber nicht, wenn der Logarithmus zu einer anderen Basis b > 1
gewählt wird, gelten also auch für den binären oder dekadischen Logarithmus.