AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE von Prof. Dr. H.

AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE
von
Prof. Dr. H.-W. Burmann
1. Logarithmus.
Es bezeichne Log den Hauptzweig des Logarithmus.
a) Finde ein Beispiel, welches zeigt, daß die Gleichung Log (z·w) = Log z + Log w nicht
für beliebige komplexe Zahlen z, w 6= 0 richtig ist.
b) Für welche z ∈ C ist die Gleichung Log (ez ) = z wahr?
2. Komplexe Differenzierbarkeit.
√
a) Zeige, daß die Funktion f 1 : C −→ C mit f 1 (x + iy) := 3 xy für alle x, y ∈ R im
Nullpunkt den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen genügt, aber dennoch
in keinem z ∈ C komplex differenzierbar ist.
p
b) Verifiziere, daß die Funktion f 2 : C −→ C mit f 2 (x + iy) := 3 x2 y2 für alle x, y ∈ R
im Nullpunkt komplex differenzierbar ist, jedoch in keinem weiteren Punkt.
Hinweis: Die dritte Wurzel aus einer reellen Zahl wird hier als reellwertig verstanden.
3. Holomorphe Funktionen.
Untersuche, ob die folgende komplexe Fassung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gültig ist.
Ist f eine auf ganz C holomorphe Funktion und sind z1 , z2 ∈ C komplexe Zahlen mit
f (z2 )
z1 6= z2 , so existiert eine komplexe Zahl ez derart, daß f (zz11)−
= f 0 (ez) gilt.
−z2
4. Holomorphie einer Reihensumme.
Zeige, daß die Funktionenreihe
∞
1
∑ nz
n=1
in der Halbebene {z ∈ C | Re z > 1} eine holomorphe Funktion ζ definiert. Zeige
ferner, daß die Ableitung durch gliedweise Differentiation der Reihe gefunden werden
kann.
5. Harmonische Funktionen.
Es sei u : B −→ R eine harmonische Funktion auf der offenen Einheitskreisscheibe
B := {z = x + iy ∈ C | |z| < 1}; das heißt u sei zweimal stetig differenzierbar und es
2
2
gelte ∂∂ xu2 (x0 , y0 ) + ∂∂ yu2 (x0 , y0 ) = 0 für alle (x0 , y0 ) ∈ B.
Zeige, daß es dann eine stetige Funktion v : B −→ R derart gibt, daß u + iv holomorph
auf B ist.
Hinweis: Betrachte v mit
Zx0
Zy0
0
0
∂u
(x, 0) dx +
v(x0 , y0 ) := −
∂y
Fünftes Blatt, Ausgabe am 18. Mai 2001
∂u
(x0 , y) dy.
∂x