Wiederholung Schulstoff

Tutorium zu Grundlagen der Mathematik
Sommersemester 2017
Prof. Dr. Thomas Thierauf
Fak. Elektronik und Informatik
Wiederholung Schulstoff
http://image.informatik.htw-aalen.de/∼thierauf/
1. Die ganzen Zahlen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } kann man addieren und multiplizieren.
Beide Operationen erfüllen verschiedene Rechengesetze. Zum Beispiel gilt für die Addition das
Kommutativgesetz :
(KG) für alle a, b ∈ Z gilt a + b = b + a.
Geben Sie das Kommutativgesetz für die Multiplikation an, die Assoziativgesetze (AG) für
die Addition und die Multiplikation, und das Distributivgesetz (DG).
a
2. Die rationalen Zahlen Q bestehen aus allen Brüchen, Q = { | a, b ∈ Z und b =
6 0 }.
b
Rationale Zahlen kann man addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Seien ab
und dc zwei rationale Zahlen. Geben Sie einen Bruch an für
2
b) ab − dc
c) ab · dc
d) ab / dc
a) ab + dc
e) ab
3. Für die rationalen Zahlen gelten ebenfalls die Rechengesetze aus Aufgabe 1. Schreiben Sie
folgenden Ausdruck in einen Bruch um, so dass in Zähler und Nenner jeweils eine ganze Zahl
steht.
2
n−1
1
+
1
2 (n+1)(n+2)
n
4. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
a) (x + y + 1)2 − (x + y − 1)2
c) (x2 − 2x + 1)
√
√
b) ( x + y 2 )3 − ( x − y 2 )3
d)
x2 + x
(1 − x2 )2
x + y (x + y)2
− 2
x−y
x − y2
5. Seien a, b ∈ Q rational und n, m ∈ N = {0, 1, 2, . . . } natürliche Zahlen. Geben Sie die
Rechenregeln für Exponentiation und Logarithmen an:
a) an · am =
e) an · bn =
i) log an =
b) an /am =
f) a0 =
j) logb ba =
c) a−n =
g) log a + log b =
k) log 1 =
d) (an )m =
h) log a − log b =
l) log a1 =
6. Wie oft muss man eine Zahl n > 0 halbieren, bis das Ergebnis ≤ 1 ist?
7. Zeigen Sie (log n)log n > n, für genügend großes n.
8. Geben Sie den Lösungsbereich der folgenden Ungleichungen über den reellen Zahlen R an.
a) |x − 4| < 3
b) |x + 5| ≥
1
2
c) |x − 2| < |x + 4|
d) x/2 < |x − 4|
9. Zeigen Sie die Dreiecks-Ungleichung: für x, y ∈ R gilt |x + y| ≤ |x| + |y|.
10. An einer Klausur nehmen n Studenten teil. Sie erreichen die Punkte p1 , p2 , . . . , pn . Der
Durchschnitt der Punkte ist also d = (p1 + p2 + · · · + pn )/n.
Zeigen Sie, dass es einen Studenten gibt, der mindestens so gut ist wie der Durchschnitt.
D.h. es gibt ein i, so dass pi ≥ d.