Mathe Nibis Abitur 2010 Analysis Vertiefungen (berufsbezogen) für

Mathe
Nibis Abitur 2010
 Analysis
Vertiefungen (berufsbezogen) für Fachgymnasien:
FG „Wirtschaft“, FG „Gesundheit und Soziales“:
Scharen von Exponential- und Logarithmusfunktionen
Ortslinien
Angebot und Nachfrage mit Steuern und Subventionen, Kostentheorie.

Stochastik
Bedingte Wahrscheinlichkeiten (Berechnung mithilfe von Baumdiagrammen, Vierfelderdtafeln oder
der Formel von Bayes)
Wahrscheinlichkeitsverteilungen stetiger Zufallsgrößen, speziell Normalverteilung
Vertrauensintervalle für nicht bekannte Wahrscheinlichkeiten.
 Lineare Algebra
„Anwendung von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen (A3)“
Matrizen bei mehrstufigen Prozessen (Materialverflechtung, Übergangsmatrizen bei Käufer-,
Wahlverhalten).
 L.A.
Käufer- und Wahlverhalten
Begriffe:
 Zustandsraum E
 Übergangsmatrizen sind stochastische Werte
◦ Alle Werte in einer Matrix sind 0 >=(größer gleich) p und <=(kleiner gleich) 1
◦ die Summe der Werte einer Zeile ergibt 1
Beispiel:
 33% der Landbevölkerung wollen weiterhin auf den Land leben
 75% der Stadtbevölkerung wollen weiterhin in der Stadt leben
Fragestellung:
1. Welche Bevölkerung ergibt es nach 1,2 und 10 Jahren?
2. Welche Bevölkerungsentwicklung ergibt sich nach 10 Jahren, wenn zu Beginn 40% auf dem Land
und 60% in der Stadt leben?
Zu 1:
Land Stadt (später oder auch Zukunft)
A= Land 0,33
?1
Stadt ?2
0,75
(heute oder jetzt)
?1 = die Summe der Werte einer Zeile ergibt 1 = 1-0,33=0,67
?2 = die Summe der Werte einer Zeile ergibt 1 = 1-0,75= 0,25
→
Land
A= Land 0,33
Stadt 0,25
Stadt
0,67
0,75
Danach wird die Matrize mit der selben Matrize so oft mal genommen bis die Zahl den Zahlenjahr
übereinstimmt. Mathematisch aus gedrückt: 1. Jahr = A1 ; zweites Jahr = A2; zehntes Jahr = A10
Zu 2:
(Ausgangssituation):
Land Stadt
→
V0(null) =Bevölkerung 0,4
0,6
Berechnung:
→
v . A10 = (0,2717 * 0,7283)
Beginn ist nicht so wichtig , da es keine absoluten Werte sind sondern Prozente. Sie bilden eine Bestätigung
der in a ausgerechneten Zahlen
dann 3 Zettel von Lineare Algebra

A.
Ableitung und die Bedeutung


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




die Zahl über den x wird mit der Zahl vor dem x multipliziert
Zahlen ohne einen x fallen bei der Ableitung weg
◦ wird nach einen bestimmten variable z.B. x gesucht und es steht eine zweite variable z.B. y
dann wird die zweite variable y wie eine beliebige Zahl behandelt und fällt ohne ein x weg und
wird sonst mit multipliziert
man leitet immer Einzelt nach einen plus oder minus Zeichen ab, jedoch nicht bei einer mal oder
geteilt Zeichen
bei einer Ableitung mit einem e bleibt bis zum mal oder geteilt Zeichen alles gleich und erst bei einen
plus oder minus Zeichen aufgehört.
Ist jedoch ein Produkt/ Quotient oder eine Kette müssen die folgenden Regeln beachtet werden:
◦ Produktregel
f(x)=u´v+uv´
◦
Quotientenregel
f(x)=(u´v-uv´)-v2
◦ Kettenregel
innere mal äußere Ableitung
f´(x) = Steigung einer Funktion; Ausrechnung der Extrema
f´´(x)= Bestätigung/ Niederlegung der Extrema; Ausrechnung der Wendepunkte
f´´´(x)= Bestätigung/ Niederlegung der Wendepunkte
Angebot und Nachfrage
Berechnung von Konsumenten- und Produzentenrente
Integralrechnung
Flächeninhaltsfunktion F(x) gibt die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse an.
Vorgehensweise:
1. Funktion wird integriert bzw. auf geleitet → F(x)
f(x)

Beispiel: f(x)=2,5x3+4,2x6 → F(x)=2,5/4x4+4,2/7x7
2. F(B)-F(A) (immer der größere Wert wird nach vorne gestellt, da der kleiner Wert vom größeren
Wert abgezogen wird, weil es sonst negativ Werte entstehen und Flächen in der Regel positive
Werte haben) oder in einem Schritt
3.
f(x) dx= F(B)-F(A)

Beispiel: Wenn A=1 und B=2 und f(x)= 5x3 dann:
(Integral oben die zwei unten die eins) f(x) dx = F(2) - F(1)
4. Taschenrechner

Y= Ausgangsfunktion wie f(x)=5x2
 Graph
 2nd trace → 7
 Zahlen eingeben
 2nd Draw → 1 Balken weg
4 Zettel zur Integralrechnung mit Produzenten- und Konsumentenrente
Kostentheorie


Grundgerüst sind die drei Funktionen - Gewinnfunktion, Kostenfunktion und Erlösfunktion
◦ Alles was man aus ihnen „ablesen“ bzw. berechnen kann gehören dazu
◦ Gewinnfunktion= Erlösfunktion – Kostenfunktion
◦ Erlösfunktion= x* p (Preis)
◦ Kostenfunktion= variable Kosten + fixe Kosten
◦ wo sich die Kostenfunktion und Erlösfunktion schneiden, liegen die Nullpunkte oder auch
Gewinnschwelle/ -grenze oder auch der Break-even-point (der linke Nullpunkt)
Berechnung der Schnittpunkte durch:
1. Gleichsetzungsverfahren:
 Dabei muss auf eine Seite der beiden Funktionen nur ein f(x) bzw. ein y stehen. Dann wird
das y/f(x) weggenommen und die Zahlen von den Funktionen mit ein Gleichheitszeichen
verbunden und ausgerechnet. Damit hat man dann den x-Wert.
 Danach wird das Ergebnis in die einfache Funktion eingesetzt und ausgerechnet und damit
hat man dann den y-Wert.
 Beispiel: (1)f(x)=2x+4; (2)f(x)=-1/2x +2
◦ 2x+4=-1/2x+2
◦ 2,5x=-2
◦ x=0,8
◦ (1)f(x)=2*0,8+4= 2,4
◦ x-Wert= 0,8 y-Wert=2,4
 bei den ausrechnen der Schnittpunkte von Erlösfunktion und Kostenfunktion gibt es zwei xWerte. Beide müssen entweder in der Erlösfunktion oder in den Kostenfunktion eingesetzt
und dann erhält man zwei Werte bzw. die Nullpunkte bei der Gewinnfunktion.
2. Additionsverfahren
 Man stellt einer der beiden (je nach bedarf auch beide) Funktion so um, dass eine Zahl mit
variable mit einer Zahl, der anderen Funktionen negativ übereinstimmt. Dabei spielt es keine
Rolle, ob zuerst das x oder y/f(x) verschwindet.
 Danach werden die gegenüberliegenden Zahlen bzw. das f(x)/y zusammengerechnet.
 Der Wert wird dann in die einfache Funktion eingesetzt und ausgerechnet. Dadurch hat man
den zweiten Wert.
 Beispiel: (1)f(x)=2x+4 (2)f(x)=-2x+8
◦ das -2 und +2 sind mit den negativen Wert gleich und können daher „weg addiert“
werden. → (1)f(x)=+4 (2)f(x)=+8
◦ 2f(x)=12 |/2
◦ f(x)=6
◦ 6=2x+4 |-4
◦ 2=2x |/2
◦ 1=x
3. Einsetzungsverfahren:
 Eine Funktion wird so umgestellt, dass entweder das x oder das f(x)/y alleine steht.
 Dann hat man ein Wert/Zahlen für x oder f(x)/y und setzt diesen Wert in der anderen
Funktion ein, wo das x oder f(x)/y steht und rechnet diese aus.
 Danach setzt man das Ergebnis in die einfache Funktion ein.
 Beispiel: (1)f(x)=2x+4; (2)-2f(x)=x-4
◦ -2(2x+4)=x-4 |+4
◦ -4x-4=x
|+4x
◦
◦
◦
◦
4=5x
|/5
4/5=x
2*4/5+4=5,6
x-Wert= 4/5 y/f(x)=5,6
Begriffe mit der Funktion K(x)=0,8ex-x2
fixe Kosten: Kosten die jeden Monat anfallen für ein Stück/Produkt
kf(x)/(x) oder 0,8/x
Erklärung: Fixe Kosten sind immer ohne eine variable also ohne x und ohne x steht nur die Zahl 0,8. Des
wegen nur 0,8 und keine anderen Zahlen. Es muss durch x geteilt werden, da es man bei klein k die fixe
Kosten für ein Produkt will.
Grenzkosten: Bei einer Mehrproduktion können die Kosten (variable sowie fixe Kosten) steigen.
Grenzkosten schneidet die Stückkostenfunktion und die variable Stückkostenfunktion im
Minimum. Berechnet wird sie mit der ersten Ableitung
Berechnung: Die erste Ableitung von der Funktion K(x)=0,8e x-x2
K´(x)=0,8ex-2x
Stückkostenfunktion: k(x)= K(x)/x = 0,8ex-x2/x
Betriebsoptimum: Tiefstelle von k(x)
Langfristige Preisuntergrenze: Die ganzen Kosten werden gedeckt, aber es wird kein Gewinn
gemacht.
Tiefstelle liegt bei 1,65 (BO) und bei 0,87 (LPU)
variable Kosten: kv(x)= k(x) – kf(x) =(0,8ex-x2/x)-(0,8/x)
Kurzfristige Preisuntergrenze: Es werden die variablen Kosten gedeckt.
Betriebsminum: Die Tiefstelle von kv(x)
Tiefstelle liegt bei 1,31 (BM) und bei 0,34 (KPU)
Ortslinien/kurven
Vorgehensweise:
1. Ortslinien wird je nach dem gesuchten von einer Funktion abgeleitet wie erste Ableitung bei
Steigung, zweite Ableitung bei Extrema und die dritte Ableitung bei Wendepunkte
2. Und nach dem Gesuchten (meistens x) gelöst
3. dieser Wert wird nach in die Funktion eingesetzt und gelöst um beide Werte (x und y) zu erhalten
4. Das Ergebnis wird nach der zweiten variable umgestellt
5. diesen Wert wird in der Anfangsfunktion (die auch abgeleitet wurde) eingesetzt
6. Die „Ortsliniefunktion“ entsteht und den Graph davon ist die Ortslinie
Beispiel ft(x)=(x+t)e-0,25x
1. Es wird nach den Extrema gesucht, also brauchen wir die zweite Ableitung
 für die Ableitung brauchen wir zuerst die die Produktregel f´(x)= u´v+uv´
 u=(x+t)*e-0,25x → u´=1

für das v brauchen wir die Kettenregel
◦
v= inner Ableitung= -0,25; äußer Ableitung= e()
▪ v=-0,25e-0,25x
▪ bei e ist es immer so das die Zahlen, die in der Klammer (oben) sind vor dem e gesetzt
werden und dann das „ganze“ e mit seinen „Anhängseln“ nochmals aufgeschrieben wird
 dann wird nach der Produktregel eingesetzt → 1*e-0,25x *(x+t)*(-0,25e-0,25x)
2. Nun wird nach x aufgelöst, oftmals gibt es mehrere Lösungswege
 dafür wird die Funktion 0(null) gesetzt
◦ 0=1*e-0,25x *(x+t)*(-0,25e-0,25x)
 zuerst wird das e-0,25x ausgeklammert
◦ e-0,25x *(1+(x+t)*(-0,25))
 danach sagt man dass beim eine mal Klammer mit mindestens einen x (gesuchter Wert) (e-0,25x)
*(1+(x+t)*(-0,25)) null „raus kommen soll“, weil wir die Funktion 0(null) gesetzt haben.
◦
(e-0,25x) → geht nicht 0 (null), da e immer größer als 0(null) ist
◦
(1+(x+t)*(-0,25))=0 die innere Klammer wird aufgelöst → 0=1-0,25x-0,25x
◦
0,25t-1t=0,25x
◦
(0,25t-1)/-0,25=x
3. der soll nun in der Funktion eingesetzt werden da er aber komplex bzw. kompliziert ist wird er
vereinfacht → 4-t
 0,25 kürzt sich weg und dann wird 1 durch -0,25 geteilt was 4 ist

f(x)=(4-t+t)e-0,25(4-t)

f(x)=4e(-1+0,25t)
4. Extremwert (4-t/4e(-1+0,25t)) Der x-Wert wird nach der zweiten variablen t umgestellt
 x=4-t → t=4-x
5. für t wird nun die 4-x eingesetzt, da t gleich 4-x ist
 ft(x)=4e-1+0,25(4-x)
6. Dies ist Funktion und im Taschenrechner sieht man dann die Ortslinien/kurve