Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und 1. Ableitung

Zusammenhang zwischen
Tangentensteigung und 1. Ableitung
veranschaulicht mit Geogebra
HLW Spittal
Zernattostr.2
9800 Spittal
Mag. Dr. Andrea Birgmayer
Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und 1. Ableitung
Die 1. Ableitung an der Stelle 𝑥0 liefert die Tangentensteigung im Punkt 𝑃(𝑥0 |𝑓(𝑥0 ).
Die folgende Schulstunde soll den Zusammenhang zwischen der Tangentensteigung und der 1.
Ableitung verdeutlichen. Im Anschluss an diese Unterrichtseinheit sollte jede Schülerin und jeder
Schüler in der Lage sein, näherungsweise die 1. Ableitung einzuzeichnen, wenn der Graph der
Funktion (ohne Angabe der Funktionsgleichung) gegeben ist.
1.
Wir zeichnen die Funktion 𝑦 = 𝑥³ − 5𝑥² + 6𝑥 und färben sie rot
2.
Dann zeichnen wir die 1.Ableitung ein und färben sie blau
3.
Wir wählen auf der x-Achse einen beliebigen Punkt A und legen eine Normale auf die x-Achse
durch diesen Punkt
4.
Die Normale schneiden wir nun mit der Funktion und erhalten den Punkt B
5.
Anschließend schneiden wir die Normale mit der Ableitungsfunktion und erhalten den Punkt C
6.
Wir verbinden jetzt B und C mit einer Strecke und färben diese Strecke lila. Damit können wir
den Zusammenhang zwischen C und der Tangente in B besser verfolgen
Außerdem blenden wir die Normale durch den Punkt A aus.
7.
Jetzt legen wir im Punkt B eine Tangente an die Funktion
8.
Die y-Koordinate des Punktes C ist mit der Steigung der Tangente in B ident
9.
Wenn wir den Punkt A auf der x-Achse entlang schieben, sehen wir, dass sich die y-Koordinate
von C immer mit der Tangentensteigung in B gleichermaßen ändert
10. Ist die Steigung der Tangente positiv, ist auch die y-Koordinate von C positiv, d.h. die 1.
Ableitung befindet sich oberhalb der x-Achse im positiven Bereich.
Ist die Steigung der Tangente negativ, ist auch die y-Koordinate von C negativ, d.h. die
1.Ableitung befindet sich unterhalb der x-Achse im negativen Bereich
11. Ist die Steigung der Tangente gleich Null, befinden wir uns in den Extrempunkten der
Funktion, ist auch die y-Koordinate von C gleich Null und C liegt auf der x-Achse. Wir
haben die Nullstellen der 1. Ableitung gefunden.
Das erklärt auch, warum wir bei der Kurvendiskussion die Extremstellen über 𝑓 ′ (𝑥) = 0
finden.
Mag. Dr. Andrea Birgmayer
12. Somit ist bewiesen, dass die 1.Ableitung an der Stelle 𝑥0 gleich der Tangentensteigung der
Funktion an der Stelle 𝑥0 ist
13. Jetzt können wir eine beliebige Funktion zeichnen und ihre 1. Ableitung näherungsweise
bestimmen.
14. Im Anschluss erhalten die Schülerinnen die Abbildung eines Graphen dritter Ordnung (ohne
Funktionsgleichung) und sie müssen näherungsweise die 1. Ableitung und die 2. Ableitung (als 1.
Ableitung der 1. Ableitung) einzeichnen und ihre Vorgehensweise begründen.
Mag. Dr. Andrea Birgmayer
Anmerkungen
Schulsituation: die Schülerinnen und Schüler der 4. Klasse kennen Geogebra, das Programm kommt
im Unterricht, wann immer möglich, zum Einsatz.
In dieser Stunde sind alle mit Tablets ausgerüstet (teilweise Schuleigentum, teilweise
Privateigentum) und arbeiten selbst zum ersten Mal mit diesem Programm.
Die Schülerinnen und Schüler haben keine Schwierigkeiten den Anweisungen zu folgen und die
Graphen in Geogebra zu zeichnen. Das Programm ist leicht handelbar, alle Schritte werden langsam
vorgezeigt.
Schüler und Schülerinnen, die mit den Schultablets arbeiten haben Schwierigkeiten bei der Eingabe,
weil die Tablets zu klein sind.
Sollte Geogebra im Unterricht eingesetzt werden, muss unbedingt ein Computersaal zur Verfügung
stehen, oder die Schülerinnen und Schüler müssen ihre eigenen (größeren)Tablets oder ihre
Laptops mitnehmen.
Die Übung im Anschluss, das Einzeichnen der 1. Ableitung bei einem gegebenen Graphen hat gut
funktioniert.
Die Veranschaulichung des Zusammenhangs zwischen Tangentensteigung und 1. Ableitung hat gut
funktioniert.
Mag. Dr. Andrea Birgmayer