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3.2 Entscheidung bei Risiko
 (subjektive oder objektive) Eintrittswahrscheinlichkeiten für
das Eintreten der möglichen Umweltzustände können vom
Entscheidungsträger zugeordnet werden
Beispiele für Entscheidungssituationen mit objektiven
Anhaltspunkten zur Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeiten:
 Teilnahme an einem Glücksspiel, an einer staatlichen Lotterie
usw.; (kombinatorische Überlegungen)
 Abschluß eines Versicherungsvertrages; (umfangreiches
versicherungsstatistisches Datenmaterials)
 Kauf eines Neu- oder Gebrauchtwagens; (längerfristige KfzStatistiken für Lebensdauer und jährliche Reparaturkosten)
 Dispositionen bzgl. der Lagerhaltung; (Zeitreihen früherer
Perioden).
 Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst,
wenn eine dominante Aktion in A existiert.
25
3.2.1 Erwartungswert-Kriterium zur einmaligen Lösung
des Entscheidungsproblems
"Bilde für jede Handlungsalternative die Summe der mit ihren
Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Ergebnisse und
wähle die Handlungsalternative, die die höchste Summe (d.h.
den maximalen Erwartungswert) aufweist."
m
Ei  i   p jx ij
j1
s1
s2
s3
0,5
0,3
0,2
a1
230
100
-95
a2
190
125
-70
a3
150
160
-10
a4
120
135
0
a5
70
70
70
a6
130
135
-10
 i  E( ai )
Gewinnmatrix und Erwartungswerte
mit w(s1) = 0,5, w(s2) = 0,3, w(s3) = 0,2.
Einmalige Entscheidung
 In der Praxis Orientierung am Erwartungswert ??
 Gründe für andere Entscheidung??
26
3.2.2 Erwartungswert-Kriterium zur mehrmaligen Lösung
des Entscheidungsproblems
Orientierung am Durchschnittserfolg
s1
s2
s3
1  E(a1 )
a1
210
95
-85
116,5
w(si)
0,5
0,3
0,2
Gewinnverteilung der Alternative a1
27
p
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
-85
50
-50
95
150
210 G
Verteilung des „durchschnittlichen Gewinns“ bei 1 Wiederholung
p
0,2
0,1
0,05
-85
-50
50
95
150
210
G
Verteilung des „durchschnittlichen Gewinns“ bei 4
Wiederholungen
p
0,15
0,1
0,05
-85
-50
50
95
150
210
G
Verteilung des „durchschnittlichen Gewinns“ bei 6
Wiederholungen
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 Verteilung der "durchschnittlichen Gewinne" konvergiert
mit wachsender Anzahl der Wiederholungen n gegen
Normalverteilung, die wie alle Durchschnittsgewinne G(n)
den stets gleichen Mittelwert 1  E(a1 ) =116,5 aufweist.
E(G(n)) = E( 1 [G (1)  G (2)    G (n )])
n
=
1 [G (1)  G (2)    G (n )] = 1 [n  ] =  ,
n
n
 Bei häufigen Wiederholungen wird Verteilung durch  und
 adäquat beschrieben.
2
 (G
(n )
) = E (G
(n )
2
n
 )  E (  1 G ( r )  ) 2
r 1
n
n
n
2
1
1
= E ( (  G ( r )  n   ) ) = E (  (G ( r )   ) 2 )
n 2 r 1
n 2 r 1
n 2
1
   = 1 2
=
n
n 2 r 1
 Für n domiert Erwartungswert die Streuung.
 -Regel und --Regel dann rationale Handlungsmaxime
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3.2.3 Erwartungswert-Kriterium zur mehrmaligen Lösung
des Entscheidungsproblems
Orientierung am Gesamterfolg
E([G(1)  G(2)    G(n )]) = G(1)  G(2)    G(n ) = n  
und
n
2
n
 ([G(1)  G(2)    G(n )]) = E (  G (r )  n) =   2 =
2
r 1
r 1
n   2.
 --Regel auch bei Orientierung am Gesamterfolg und bei
Vorliegen der Normalverteilung adäquate Entscheidungsregel.
 -Regel allerdings problematisch, da vernachlässigt wird,
daß  mit steigendem n - wenn auch immer kleiner
werdend – wächst.
 ([G(1)  G(2)    G(n )]) =
n 
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 St. Petersburger Spiel/St. Petersburger Paradoxon
Bedingungen:
ideale Münze, Adler und Zahl, wird solange geworfen bis
zum ersten Mal Adler erscheint:
Adler beim n-ten Wurf = Bank zahlt 2n €
Frage: Welchen Betrag ist ein Spieler bereit zu riskieren?
 n n

1
1
1
  = 2   4   8     (2  2 )   1  
2
4
8
n 1
n 1
d.h. nach dem Erwartungswert-Kriterium müßte ein
Spieler bereit sein, extrem hohe Beträge einzusetzen,
aber in der Realität keine größeren Einsätze denkbar
 -Regel
verschiedene Entscheidungsträger beurteilen risikobehaftete
Alternativen i.a. verschieden, deswegen kann der
Erwartungswert der mit den Handlungsalternativen
verknüpften monetären Ergebnisse keine generell
verwendbare Größe darstellen
 für einen RISIKONEUTRALEN ENTSCHEIDER ist der
Erwartungswert jedoch ein rationales und akzeptables
Entscheidungskriterium !!
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3.2.4 DAS BERNOULLI-Prinzip
 Daniel BERNOULLI (1738) - Beurteilung von Glücksspielen
 nicht durch Erwartungswert der möglichen Gewinne,
 sondern durch Erwartungswert des aus den Gewinnen
resultierenden Nutzens
Grundgedanke des BERNOULLI-Prinzips:
 Existenz einer Nutzenfunktion u, die Ergebniswerte
entsprechend der subjektiven Einschätzung eines
Entscheidungsträgers in Nutzenwerte umwandelt:
1. Allen Ergebnissen xij einer Handlungsalternative ai wird
mittels einer Nutzenfunktion u(x) ein Nutzenwert
uij = u(xij) zugeordnet.
2. Der entscheidungsrelevante Präferenzwert (ai) einer
Handlungsalternative ai wird als Erwartungswert dieser
Nutzenwerte ermittelt.
 Maximierung der Nutzenerwartungswerte
 UTILITY-Funktion, BERNOULLI-Nutzen, Risiko-Nutzen,
V. NEUMANN-MORGENSTERN-Nutzen oder Risikopräferenzfunktion
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 Bernoulli:
Die zu einem Entscheidungsträger gehörende Funktion u ist
eine kardinale Nutzenfunktion, die bis auf wachsende
lineare Transformationen eindeutig bestimmt ist.
d.h.
 eine Nutzenfunktion u
und
 eine aus u durch lineare Trasnformation hervorgegangene
Nutzenfunktion û  au  , für a  0,  beliebig,
liefern die gleiche Präferenzordnung der zur Auswahl
stehenden Alternativen.
d.h.
 Für die Nutzentransformation muß das Verhältnis von
Nutzendifferenzen eindeutig fixiert sein.
 Die Nutzenfunktion selbst liegt erst dann numerisch
eindeutig fest, wenn für zwei (verschiedene)
Konsequenzen x und y die Nutzenwerte willkürlich
fixiert werden.
 Bei monetären Auszahlungen i.d.R. Normierung
u(0) = 0
und
u(1) = 1
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 Nutzenfunktionen sind personen- und situationsabhängig.
 BERNOULLI-Prinzip ist nicht auf Risikosituationen mit
monetären Auszahlungen beschränkt.

unterschiedlichste Ergebniswerte lassen sich in
vergleichbare abstrakte Nutzenwerte transformieren und
die Präferenzordnung ist dann einfach berstimmbar.
 Grund für hohe Verbreitung des Konzepts in der Literatur
 Problem in der Praxis liegt in der Bestimmung der
Nutzenfunktion durch den Entscheider
34
3.2.5 Empirische Ermittlung des BERNOULLI-Nutzens
Grundidee nach RAMSEY [1931]
 Vorlage von relativ einfach strukturierten, hypothetischen
Indifferenzsituationen
1
a1
a2
x
p
c
1-p
d
mit c  x  d
 Die Wahrscheinlichkeit p wird solange variiert, bis der
Entscheidungsträger zwischen a1 und a2 indifferent wird,
d.h. beide Alternativen stiften den gleichen Nutzen
"x
ist
das
Sicherheitsäquivalent
zufallsabhängigen Auszahlung a2 "
(SÄ)
der
 Über Wiederholungen und aus dem registrierten Verhalten
des Entscheidungsträgers läßt sich die Nutzenfunktion u
berechnen:
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Konkrete Vorgehensweise
1. Normierung der Nutzenfunktion
u(xmin) = 0
und
u(xmax) = 1
2. hypothetische Indifferenzsituation
 sichere Alternative a1 = SÄ:
Auswahl eines weiteren, vorliegenden Ergebnisses
 zufallsabhängige Alternative a2
mit p für besten Wert und (1-p) für schlechtesten Wert
de r Ergebnismatrix
1
a1
a2
x
p
xmin
1-p
xmax
 Entscheider muß nun nach subjektivem Ermessen die
Wahrscheinlichkeit p(xmax) so benennen, daß er
indifferent zwischen beiden Alternativen ist.
Orientierungshilfe: prinzipielle Risikoeinstellung
risikoneutraler ET  Indifferenz bei SÄ = EW
risikofreudiger ET 
SÄ > EW
risikoscheuer ET 
SÄ < EW
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 Für diese p(xmax) stimmen Nutzenerwartungswerte von
a1 und a2 überein!!
u(x) = u(xmax)  p + u(xmin)  (1-p)
= 1  p + 0 (1-p)
u(x) = p
d.h.
der Nutzenwert des Sicherheitsäquivalents entspricht der
subjektiven Indifferenzwahrscheinlichkeit !!
3. Für übrige Werte der Ergebnismatrix analog hypothetische
Indifferenzsituation und Bestimmung der Nutzenwerte
 Möglichkeit der Bestimmung der Nutzenfunktion
durch (beliebige) Variation der Ergebniswerte
u(x) = p(x)
4. Bestimmung des Erwartungsnutzens der Handlungsalternativen
 Maximierung des Nutzenerwartungswertes!
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Beispiel – Empirische Bestimmung der Nutzenwerte
Entscheidungssituation bei Risiko
0,5
s1
0,3
s2
0,2
s3
a1
25.000
25.000
40.000
a2
80.000 -60.000
40.000
E(a)
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3.2.6 Begründung des Bernoulli-Prinzips
BERNOULLI:
"Der Entscheidungsträger besitzt eine Nutzenfunktion u, so
daß er in allen Risikosituationen seine Aktionen anhand des
zugehörigen Nutzenerwartungswertes beurteilt."
 empirische Bestätigung??!!
 Axiomatische Begründung des Bernoulli-Prinzips:
 Formulierung einfacher Forderungen, die ein Entscheidungsprinzip erfüllen muß, um als rationale
Handlungsempfehlung akzeptiert werden
 Akzeptanz der Plausibilität der Axiome begründet dann
Rationalität des Bernoulli-Kriteriums!

Axiomensystem von V. NEUMANN/MORGENSTERN [1944]
 Axiomensystem von
LUCE/RAIFFA [1957]
 Axiomensystem von
SCHNEEWEIß [1967]
1. Ordinales Prinzip
2. Stetigkeitsaxiom
3. Substitutionsaxiom
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1. Ordinales Prinzip
Die Präferenzrelation  ist transitiv und vollständig, d. h.
a) Für je drei Zufallsvariablen X, Y, V gilt:
XY
und Y  V  X  V Transitivität
b) Für je zwei Zufallsvariablen X und Y gilt:
XY
oder Y  X
Vollständigkeit
 widerspruchsfreie und vollständige Präferenzen
2. Stetigkeitsaxiom
Drei Auszahlungen x, y und v :
yxv,
 es existiert ein p]0, 1[, so daß die feste Auszahlung x der
Zweipunktverteilung y p v gleichwertig wird:
x~ypv
 bei Gültigkeit des BERNOULLI-Prinzips folgt aus der
Indifferenz x ~ y p v die Gleichung
u(x) = p u(y) + (1 - p) u(v).
 Begründung für stetige Nutzenfunktion!!!
Bildungsgesetz für Nutzenfunktion basiert auf Indifferenz
zwischen Sicherheitsäquivalent und Lotterie
 p  Nutzenfunktion bei entsprechender Normierung
 stetige Entwicklung der Minder- oder Mehrschätzung
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3. Substitutionsaxiom
Ist V eine beliebige zufallsabhängige Auszahlung und
p  [0, 1] eine beliebige Wahrscheinlichkeit, so gilt
XY  XpVYpV.
 die geforderte Äquivalenz besagt für die Nutzenerwartungswerte:
E[u(X)]  E[u(Y)]
p E[u(X)] + (1 - p) E[u(V)] 
p E[u(Y)] + (1 - p) E[u(V)]
Die Bezeichnung „Substitutionsaxiom“ rührt daher, daß es
gestattet, von einer zusammengesetzten zufallsabhängigen
Auszahlung Y p V zu einer gleichwertigen oder präferierten
zufallsabhängigen Auszahlung X p V zu gelangen, indem man
Y durch das gleichwertige oder präferierte X substituiert.
 Fortsetzbarkeit der Erwartungswertbildung
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3.2.7 Diskussion ausgewählter Nutzenfunktionen
 Lineare Nutzenfunktionen
 Konvexe Nutzenfunktionen
 Konkave Nutzenfunktionen
 Nutzenfunktionen mit konvexen und konkaven Stücken
Annahme:
 monetäre Auszahlungen
 Normierung der Nutzenfunktion gemäß u(0) = 0 und
u(1) = 1
Punkte (0, 0) und (1, 1).
 monoton steigende Nutzenfunktion
 Weitere Eigenschaften
Vorstellungen des ET ab.
hängen
von
den
speziellen
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Lineare Nutzenfunktion
u(x) = x
 Entscheider orientiert sich nur am Erwartungswert
 Erwartungswert der Auszahlg. = Nutzenerwartungswert
 SÄ = EW
u(x)
x
 Entscheider ist risikoneutral
Bsp.: Er wird Versicherungsabschlüssen gegenüber indifferent sein, wenn Prämie = Schadenserwartungswert;
er ignoriert die Streuung
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Konvexe Nutzenfunktion
 Grenzrisikonutzen steigt mit steigender Auszahlung
 SÄ > EW
 Entscheider ist risikofreudig
Bsp.: Spekulation an der Börse, Glücksspieler, Arbeiten auf
Provisionsbasis, Selbständigkeit,
Versicherungsabschlüsse werden nur getätigt,
wenn Prämie < Schadenserwartungswert
u(x)
x
44
Konkave Nutzenfunktion
 Grenznutzen fällt mit steigendem e
 SÄ < EW
 Entscheider ist risikoscheu
Bsp.:
konservative Investitionspolitik, Abschlüsse am
Waren- oder Devisenterminmarkt, Absatzsicherung
durch Steigerung der Abonnementen
u(x)
x
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Risikonutzenfunktion mit konvexen und konkaven Stücken
 in Realität sind Entscheider je nach Situation oft
risikofreudig und -scheu
 daher Nutzenfunktion mit konkaven und konvexen
Teilstücken
 von Friedman und Savage vorgeschlagene und empirisch
überprüfte Risikonutzenfunktion:
1.
konkaves
Teilstück
erklärt
Abschluß
von
Versicherungsverträgen
2.
konvexes Teilstück erklärt Teilnahme an Lotterie oder
Glücksspielen
3.
konkaves Teilstück erklärt, warum eine Lotterie durch
Einführung eines riesigen, aber entsprechend
unwahrscheinlichen Gewinns nicht beliebig attraktiv
gestaltet werden kann
u(x)
x
46