I-Blatt3_2002 - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
3. Übungsblatt
SS 2002
A.
Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Ein Fabrikant könnte einen 5-Jahres-Vertrag abschließen, der ihm jährlich 25.000 DM
Gewinn einbringt. Um diesen Vertrag erfüllen zu können, müßte er eine zusätzliche Maschine
für 120.000 DM installieren lassen, deren Nutzungsdauer 10 Jahre beträgt. Bei der dann
fälligen Demontage entstehen Kosten in Höhe von 20.000 DM. Der Fabrikant hat die Chance,
den Vertrag zu verlängern. Da er aber sehr pessimistisch eingestellt ist, möchte er sich nicht
darauf verlassen und rechnet für diese restliche Nutzungsdauer nur mit einem Mindestgewinn
von 15.000 DM jährlich.
Soll er die Maschine kaufen und den Auftrag annehmen, wenn er den Kaufpreis stattdessen
mit 10% Verzinsung anderweitig anlegen könnte?
Lösungshinweis: Der Fabrikant soll die Maschine kaufen.
2.
Da Herr Claus Lever arbeitslos wird, möchte er zum 1.1.97 die Auszahlung der ihm zustehenden Leibrente abändern.
Nach den bisherigen Konditionen wird er ab 1.1.2003 zwölf Jahre lang eine jährliche, vorschüssige Rente in Höhe von 3.000 DM erhalten.
Er möchte nun ab 1997 eine jährliche, nachschüssige Rente in Höhe von 2.000 DM erhalten.
a. Wie lang kann die neue Rente in voller Höhe gezahlt werden, wenn eine Zinsrate von 10%
p.a. zugrunde gelegt wird.
b. Wie hoch ist die letzte verminderte Rate und an welchem Termin wird sie gezahlt?
Lösungshinweise: a. 10 Jahre lang
3.
b. 1.150,28 am 31.12.2007
Herr E. Infältig möchte sich am 1.1.1984 ein Auto kaufen. Da ihm für den gewünschten
Wagentyp noch 10.000 DM fehlen, sucht er den Geldverleiher W. Ucher auf, der ihm die
folgenden drei Rückzahlungskonditionen zur Auswahl anbietet.
i. Herr E. Infältig zahlt den Kredit in zwei Raten in Höhe von jeweils 8.000 DM zurück, die
am 31.12.85 und am 31.12.87 fällig sind.
ii. Herr E. Infältig tilgt den Kredit durch jährliche Raten in Höhe von 2.000 DM, beginnend
am 31.12.1984 und endend am 31.12.91.
iii. Herr E. Infältig zahlt ab 31.1.1984 eine monatliche Rate in Höhe von 200 DM, wobei die
letzte Monatsrate am 31.12.1988 fällig wird.
Für welche Alternative soll sich Herr E. Infältig entscheiden?
Lösungshinweis: Herr E. Infältig soll sich für die Alternative iii. entscheiden.
2
4.
5.
Der im Herbst 1997 examinierte Diplom Kaufmann Michael Yuppie, der mit Beginn des Jahres 1998 bei der Unternehmensberatung McKennenwihr arbeitet, sucht ein passendes Auto.
Bei der Firma Glanz & Schrott findet er einen gebrauchten BMW-Roadster Z3 für 35.000
DM, der ihm geeignet erscheint. Da er nur über 5.000 DM in bar verfügt, will er die Rechnung, die am 1.1.1998 zu zahlen ist, über einen Kredit finanzieren.
i. Seine Hausbank, die Deutsche PINATZ, bietet ihm einen Kredit mit 100%iger Auszahlung
und 12% effektiver Jahresverzinsung bei einer Laufzeit von 4 Jahren an.
ii. Der Autohändler macht ihm das Angebot, den Restbetrag durch 45 nachschüssige Monatsraten über 800 DM zurückzuzahlen.
iii. Sein Studienkollege N. Reich empfiehlt ihm, von diesem Kreditangeboten Abstand zu
nehmen, da diese überteuert seien. Er bietet ihm an, den Geldbetrag bei ihm zu leihen und
ab 1.1.1999 durch 4 vorschüssige Jahresraten zu je 9.100 DM zurückzuzahlen.
Welches Angebot soll M. Yuppie annehmen, wenn seine Entscheidung sich nur nach der
geringsten effektiven Jahresverzinsung richtet?
i
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
(1  i) 4  1
i(1  i)4
3,3872
3,3121
3,2397
3,1619
3,1024
3,0373
i
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,010
(1  i ) 45  1
i(1  i ) 45
40,2072
39,3341
38,4871
37,6655
36,8682
36,0945
Herr A. Uto kauft am 1.1.1982 einen gebrauchten Personenkraftwagen. Da Herr Uto nur über
5.000 DM in bar verfügt, der Wagen aber teurer ist, bietet ihm der Autohändler die folgenden
drei Zahlungsmöglichkeiten an:
i. Herr Uto zahlt 5.000 DM sofort und jeweils 2.000 DM am Ende dieses und der nächsten
beiden Jahre.
ii. Herr Uto zahlt sofort 2.000 DM und am Anfang der Jahre 1983 bis 1989 jeweils 1.500
DM.
iii. Herr Uto zahlt in den Jahren 1982 bis 1988 jeweils am 30. Juni 1.000 DM und am 31.
Dezember 1.050 DM.
Für welche Zahlungsmodalität soll sich Herr Uto entscheiden, wenn mit einer Verzinsung von
10% p.a. gerechnet werden muß?
Lösungshinweis: Herr A. Uto soll sich für Zahlungsmodalität ii. entscheiden.
6.
Welche der nachfolgenden Pfeildiagramme stellen eine Abbildung fi von Ai in Bi bzw. gj von
Cj in Dj dar und welche nicht?
Sind die einzelnen Abbildungen injektiv bzw. surjektiv?
Liegt keine Abbildung vor bzw. weist eine Abbildung eine der vorstehenden Eigenschaften
nicht auf, so begründen Sie dies.
Für welche dieser Abbildungen ist eine Verkettung gj  fi möglich? Geben Sie die entsprechenden Einzelzuordnungen gj  fi: Ai  Dj an. Welche Eigenschaften haben die
zusammengesetzten Funktionen gj  fi ?
3
A1
f1
a
B1
A2
1
a
2
3
b
A3
a
f3
b
c
d
A5
f5
a
c
A4
1
2
5
3
4
a
C2
1
6
2
4
5
g2
f4
B4
1
2
b
c
e
B5
1
3
d
C1
g1
1
2
5
3
d
1
2
4
6
d
B3
b
c
e
B2
b
4
c
f2
2
4
4
3
D2
C3
11
1
12
13
14
5
g3
2
3
4
5
D1
11
12
13
14
D3
11
12
13 15
14
7.
Bilden Sie durch Aufzählung aller Elemente die Produktmengen
a. A1 = {(x, y)  {2, 4, 6}  {1, 2, 3, 4, 5, 6} | x < y}
b. A2 = {(x, y)  {-1, 2, 3}  R | 2x = y}
c. A3 = {(x, y)  {2, 3}  [1, 10] | x ist Teiler von y }
und veranschaulichen Sie jeweils diese Beziehungen zwischen den Komponenten der geordneten Paare durch ein Pfeildiagramm.
8.
a. Ist die Funktion f: A = [1, 5]  B = ]0, 6]
x  y = f(x) =
5
x
injektiv bzw. surjektiv? (Begründung!)
b. Geben Sie eine bijektive Funktion g: C = [1, 6]  D = [-2, 3]
y  z = g(y) = by + c an.
(Begründen Sie Ihre Wahl!)
c. Ist die Verkettung g  f: A  D möglich? (Begründung!) Wenn ja, geben Sie die Funktionsgleichung z = h(x) = g  f(x) an.
Lösungshinweise:
a. injektiv, nicht surjektiv;
b. z = y - 3 bzw. z = -y + 4;
5
5
c. z = h(x) =
- 3 bzw. z = h(x) =  + 4.
x
x
B.
Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten
Bearbeitung
9.
Eine mit 5% zu verzinsende Schuld von DM 100.000,-- soll vom Ende des ersten Jahres an
durch jährliche Zahlungen in Höhe von DM 6.000,-- getilgt werden.
a. Nach wieviel Jahren wird die Schuld getilgt sein?
4
b. Wie hoch ist die Restschuld nach 15 Jahren und auf welchen Betrag ist die Annuität dann
festzusetzen, um die Restlaufzeit um 5 Jahre zu verringern?
Lösungshinweise:
10.
b. K15 = 78.421, r = 6.955.
Herr Sparstrumpf eröffnet am 1.1.1970 ein Konto bei der Frankfurter Sparkasse. Er zahlt
sofort DM 10.000,-- ein und verpflichtet sich, am Ende dieses und der nächsten 11 Jahre
jeweils weitere DM 2.000,-- auf das Konto einzuzahlen. Die Sparkasse verzinst die auf dem
Konto stehenden Beträge mit 10%.
a. Wie hoch ist der Kontostand am 31.12.1986?
b. Wieviel DM mehr hätte Herr Sparstrumpf am 1.1.1970 einzahlen müssen, um ohne die
weiteren jährlichen Zahlungen denselben Kontostand am 31.12.1986 zu erreichen?
c. Ab dem 1.1.1987 möchte Herr Sparstrumpf 12 Jahre lang eine gleichbleibende vorschüssige Rente beziehen. Wie hoch muß diese Rente sein, wenn das Konto nach der letzten
Rentenzahlung leer ist? (Die Sparkasse verzinst die auf dem Konto stehenden Beträge
weiter mit einem Zinsfuß von 10%).
Lösungshinweise:
11.
a. n* = 37;
a. S31.12.86 = 119.424;
b. K* = 13.627;
c. r = 15.934.
Aus gegebenem Anlaß verspricht Dipl.-Kfm. R. Iver, seiner Ehefrau einen Brillantring zu
schenken. Zu diesem Zweck zahlt er ab dem 31.12.87 jährlich 5.000 DM auf ein Sparkonto
ein (jeweils am 31.12.). Der versprochene Ring (1 Karat, River, vvsi) kostet 50.000 DM am
1.1.1987 und steigt jährlich (jeweils am 1.1.) um 2% im Preis. Das Geld auf dem Sparkonto
verzinst sich mit 2% jährlich.
a. Nach wieviel Jahren kann Iver sein Versprechen einlösen (d.h. den Ring kaufen)?
b. Wieviel DM hat Iver noch auf dem Sparkonto, wenn er am 31.12. des unter a. errechneten
Jahres das letzte Mal 5.000 DM einzahlt, und dann die gesamte Kaufsumme abhebt?
c. Nach wieviel Jahren kann Iver sein Versprechen einlösen, wenn sich der Preis des Ringes
nicht erhöht?
Lösungshinweise: a. 12 Jahre;
12.
b. 3.648 DM;
c. nach 10 Jahren
Nominalwert einer Anleihe
Kn
Nominalzinsfuß
p = 7 [%]
Tatsächlicher (effektiver) Zinsfuß
pr = 9 [%]
0
= 25.000 DM
Gegeben:
Die Tilgung erfolgt durch Rückzahlung des Nominalwertes nach 15 Jahren.
Gesucht: Ausgabekurs
Lösungshinweis: Der Ausgabekurs beträgt 83,9%.
13.
Zeichnen Sie jeweils in eine cartesische Koordinatenebene die Produktmenge
a. M1 = {2, 3, 5, 6, 7}  {-1, 2, 3}
b. M2 = [-1, 4]  [-1, 2]
c. M3 = [1, 3]  R
d. M4 = R  {1, 3}