M 10 Ganzrationale Funktionen : Monotonie, Extremwerte

M 10
Ganzrationale Funktionen : Monotonie, Extremwerte, Extremwertaufgaben
1.) Bestimme die Hoch, - Tief und Sattelpunkte der Schaubilder von f mit Hilfe der Ableitung
a) f(x) = x2 – 6x + 11
b) f(x) = - 2x2 – 11x + 15
d) f(x) = x3 – 2x -5
e) f(x) = -
x4 - x 3 – x2
c) f(x) = x3 - 2x
f) f(x) = (x2 – 1)2
2.) Gegeben ist die Ableitung f‘ der Funktion f. Bestimme die x – Koordinaten aller Punkte, in denen
das Schaubild von f eine waagrechte Tangente besitzt. Untersuche, ob ein Hoch, -Tief – oder
Sattelpunkt vorliegt.
a) f‘(x) = 3x + 2
b) f‘(x) = x2 + x – 6
c) f‘(x) = x3 – 3x
3.)Skizziere mit den angegebenen Eigenschaften ein mögliches Schaubild von f .
a) Das Schaubild von f hat den Hochpunkt H(-2/3) und den Tiefpunkt T(2/-3)
b) Das Schaubild einer Funktion 4.Grades ist symmetrisch zur y – Achse und hat bei (-2/1) einen
Tiefpunkt.
c) Das Schaubild von f besitzt weder Hoch , - noch Tiefpunkte, aber genau zwei Sattelpunkte
4.) Bestimme mit dem GTR möglichst viele Extremstellen von f
a) f(x) = 0,04x6 – 0,192x5 – 0,18x4+ 0,96x3 – 0,48x2 + 3,84
b) f(x) =
+ x2 + 0,1x4
5.) Aus der Funktion f wird eine neue Funktion g gebildet. Haben f und g dieselben Extremstellen ?
Begründe.
a) g(x) = f(x) + 3
b) g(x) = 2  f(x)
c) g(x) = - 3  f(x)
6.) Geg: Das Rechteck RBPQ besteht aus der festen BP und
dem auf der Kurve beweglichen Punkt Q, durch den auch
der Punkt R bedingt ist.
a) Gib einen Flächeninhalt für das Rechteck an in
Abhängigkeit von des Punktes Q.
b) Für welches u wird der Flächeninhalt des Rechtecks
maximal ?
7.) Die Punkte A(- u/0), B(u/0), C(u/f(u) und D(-u/f(-u) ; (0  u  3) des Schaubilds von f mit f(x) = - x2 + 9
bilden ein Rechteck.
Für welches u wird der Flächeninhalt (der Umfang ) des Rechtecks maximal ?
Wie groß ist der Flächeninhalt (Umfang) ?
Lösungen :
(Ergebnisse mit GTR oder Funktionsplotter nachprüfen)
1.)a) T(3/2)
b) H(-2,75/30,125)
d) T(
/-
2.) a) x = -
- 5)
TP
e) H(0/0)
c)H(
/
/-
d) H(-
/
- 5)
f) T1(-1/0) ; H(0/1) ; T2(1/0)
b) x1 = - 3 HP ; x2 = 2 TP
3.)a)
) T(
c)x1 = -
TP ; x2 = 0 HP ; x3 =
TP
b)
c) 2 Sattelpunkte z.B. an den Stellen – 3 und 2  Ableitungsfunktion hat 2 doppelte Nullstellen
 f‘ kann so aussehen : f‘(x) = (x+3)2(x-2)2
4.) a) T1(-1,84/-0,23) ; H1(0/3,84) ; T2(0,39/3,82) ; H2(1,38/4,11) ; T3(4,07/-21,39)
b) T1(-0,96/2,09) ; T2(0,96/2.09)
5.) a) ja : Kurve einfach um 3 Maßeinheiten nach oben verschoben.
b) ja : Funktionswerte (y – Werte) werden verdoppelt, sonst ändert sich nichts
c) aus Hochpunkten werden Tiefpunkte und umgekehrt und die Funktionswerte werden
verdreifacht
7.) Umfang : U(x) = - 2u2 + 4u +18 ; U‘(x) = - 4u + 4 ; U‘ = 0 für u = 1
 Umfang wird maximal für u = 1 ; Umax = 20FE