Arbeitsblatt mit Lösungen: Berechnungen an Pyramiden

Trainingsprogramm: Berechnungen an Pyramiden
mit Musterlösungen
Aufgabe 1: Berechnungen an quadratischen Pyramiden
a) Berechne die Seitenhöhe hs
Ges.: hs =
b) Berechne die Höhe h
Ges.: h =
c) Berechne den Flächeninhalt der Diagonalschnittfläche
Geg: a = 4 cm ; s = 4,5 cm
Ges.: A =
d) Berechne die Winkel , , und 
 =
 =
 =
Geg: a = 4 cm ; s = 4,5 cm
Aufgabe 2: Berechnungen an regelmäßigen Pyramiden
Für die abgebildeten Pyramiden gilt: a = h = 6 cm.
Berechne für jede Pyramide die Länge der Seitenhöhe hs.
Tipp: Zeichne jeweils das rechtwinklige Dreiecke ein!
Aufgabe 3:
Von einer quadratischen Pyramide sind die Länge der Grundkante
a = 6 cm und die Länge der Seitenkante s = 8,5 cm gegeben.
Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.
hs
Aufgabe 4:
Von einer quadratischen Pyramide sind die Länge der Seitenhöhe hs = 13 cm und die Oberfläche
O = 360 cm² gegeben.
Berechne das Volumen der Pyramide.
Skizze zu Aufgabe 5:
Skizze zu Aufgabe 6:
Skizze zu Aufgabe 7:
a
Aufgabe 5:
Von einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide sind die Länge der Seitenhöhe hs = 8 cm und die
Länge der Seitenkante s = 8,5 cm gegeben.
Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.
Aufgabe 6:
Von einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide sind der Flächeninhalt der Grundfläche A = 6,9 cm²
und die Länge der Seitenhöhen hs = 5,6 cm gegeben.
Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.
Aufgabe 7:
Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind die Länge der Grundkante a= 6 cm und das
Volumen V = 165 cm³ gegeben.
Berechne die Oberfläche der Pyramide.
Aufgabe 8:
Die Schnittfläche einer Sechseckspyramide ist ein gleichseitiges Dreieck mit der
Seitenlänge 2e.
Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass für das Volumen der Pyramide
gilt:
V = 2e³
Lösungen
Aufgabe 1: Geg: a = 4 cm ; s = 4,5 cm
a) Ber. von hs :
a²
hs = s ² 
4
hs = 4,5²  2²
hs  4 cm
d) cos  =
b) Ber. von h :
a²
4
= 4²  2²
 3,5 cm
h
=
h
h
h 2s 
2
3,5
   64° sin  =
   51°
4,5
4,5
c) Ber. von d :
d = 4 2 =5,7 cm
Ber. von A :
1
A=  5,7  3,5
2
A  10 cm²
tan  =
3,5
   60°
2
Aufgabe 2:
Dreieckspyramide
2
hs =
2
1 a

1 6

h²     3  = 6²     3   6,2 cm
3 2

3 2

Quadratische Pyramide
2
hs =
2
a
6
h²    = 6²     6,7 cm
2
2
Fünfeckspyramide
a
2 = 4,1 cm
hg =
tan 36
hs =
h²  h 2g = 6²  4,12  7,3 cm
Sechseckspyramide
2
hs =
2
a

6

h²    3  = 6²    3   7,9 cm
2

2

Aufgabe 3:
Ber. von hs :
a²
hs = s ² 
4
hs = 8,5²  3²
hs  8 cm
Ber. von h :
h
h
h
a²
4
= 8²  3²
 7,4 cm
=
h 2s 
Ber. von V:
Ber. von O:
1
Gh
3
1
V   36  7,4
3
V  88,8 cm³
O = Grundfläche + Mantelfläche
V=
1
 6  8 cm²
2
O  36 cm²
+ 4
O  36 cm²
+ 96 cm²  132 cm²
Aufgabe 4:
Ber. von a :
O = a² + 2ahs
360 = a² + 26a
0 = a² + 26a – 360
a1,2 =  13  169  360  13  23
a= 10 cm
Ber. von h:
Ber. von V:
V=
1
Gh
3
h = 13 2  52
V=
1
 100  12
3
h = 12 cm
V = 400 cm³
a
2
h = h2s   
2
Aufgabe 5:
Ber. von a :
a
= s²  h 2s
2
a
= 8,5²  8²  2,9 cm
2
a  5,8 cm
Ber. von hDreieck :
5,8
3
2
h
=
h
 5 cm
Ber. von O (ohne Formel):
h2s  h2d
82  52
h=
h  6,2 cm
1
Gh
3
1
V   87  6,2
3
V  179,8 cm³
V=
1
1
O  6   5,8  5 + 6   5,8  8
2
2
87 cm² +
h=
Ber. von V(ohne Formel)::
O = Grundfläche + Mantelfläche
O
Ber. von h:
139,2 cm²
O  226,2 cm²
Aufgabe 6:
Ber. von a :
1
A
= ahd
2
1 a
3
6,9
= a
2 2
a²
3
6,9
=
4
6,9  4
= a²
3
a  4 cm
Ber. von h :
h
h
h
=
Ber. von V:
1a

h 
3
3 2

2
2
s
4

5,62  
3
6

 5,5 cm
=
1
Gh
3
1
V  6,9  5,5
3
V  12,65 cm³
V=
2
Ber. von O:
O=G+M
O  6,9 + 3 
1
 4  5,6
2
O  40,5 cm²
Aufgabe 7:
Ber. von hg *:
hg =
a
2  4,1
tan 36
Ber. von h :
1
V = Gh
3
1
165   61,5  h
3
h  8 cm
cm
Ber. von G:
1
G = 5  ah g
2
G  61,5 cm²
Ber. von hs:
Ber. von O:
O=G+M
hs =
h²  h
2
g
2
hs = 8²  4,1
hs  9 cm
O  61,5 + 5 
O  196,5 cm²
*hg:Dreieckshöhe der Grundfläche
Aufgabe 8:
Für die Grundkante a gilt:
e
a
Für die Pyramidenhöhe gilt:
h=
2e
3= e 3
2
Für das Volumen gilt:
V=
a2
3 h
2
eingesetzt
e=
2e
a
3→a=
2
3
1
69
2
 2e 


3

V=
2
V=
2
3 e 3
4e 2
 3e =2e³
6