2.4 Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten

2.4 Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten
Zur Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten (WÜK) wurde ein Programm basierend
auf der Methode der Finiten Differenzen entwickelt [5]. Das Programm erlaubt die
Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten für idealisierte Probengeometrien wie Kugel,
Zylinder und Platte. Ausgehend von experimentell in der Abschreckanlage ermittelten
Temperatur-Zeit Kurven im randnahen Bereich wird zunächst iterativ das Temperaturfeld bis
zum Kern über die Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit der Methode der Finiten
Differenzen (FD) ermittelt (Bild 3). Die Fourier’sche Differentialgleichung für die
Wärmeleitung unter Annahme eines einachsigen Wärmestroms am Beispiel der Platte lautet
  c p ( y, t ) 
T ( y )  
T  l  ( y, t ) T ( y )

   ( y, t ) 

t
y 
y 
T
t
(1)
wobei  die Dichte, cp die spezifische Wärmekapazität,  die Wärmeleitfähigkeit, T die
Temperatur, t die Zeit sind. l  ( y, t ) ist die aktuell auftretende latente Wärme und wird
gemäß
l 
T


A
n,m

  nA,m 1  L 
(2)
Tn,m  Tn ,m 1
berechnet. Darin ist L  die latente Wärme bei vollständiger Umwandlung von Austenit in
Perlit Bainit oder Martensit und  n,m der Austenitanteil im Ortdiskretisierungspuntkt n zum
Zeitpunkt m.
Um den Temperaturgradienten an der Oberfläche zu bestimmen, wird das Temperaturfeld bis
zum Rand extrapoliert. Somit kann der Wärmeübergangskoeffizient  aus den folgenden
Gleichungen für die Wärmestromdichte q an der Oberfläche bestimmt werden. Diese ist
gemäß
q    (TR  TUmgebung (t ))
(3)
proportional zur Differenz der Oberflächentemperatur TR und der Abschreckmediumtemperatur TUmgebung und kann nach dem Newton’schen Ansatz zu
q     grad (T )  
T
y
(4)
yR
angegeben werden. Der Temperaturgradient an der Oberfläche berechnet sich dabei gemäß
T
y

yR
TR  TR 1
y R  y R 1
(5)
wobei R für den Rand und R-1 für das dem Rand nächste Element steht. Aus (3) und (4) folgt
zur Berechnung des WÜK

   grad (T )
(TR  TUmgebung (t ))
(6)
2.5 Simulation der Härtevorgänge
Die 3-dimensionalen Berechnungen wurden mit der Finite-Element-Software DEFORM-HT
[6] durchgeführt. Diese erlaubt die Berechnung der Temperaturen, Deformationen,
Spannungen und Gefüge während der Aufheizung und Abschreckung unter Berücksichtigung
der in Bild 4 angegeben Wechselwirkungen.
Das transiente Temperaturfeld im wärmebehandelten Bauteil wird über die allgemeine
parabolische Differentialgleichung berechnet. Diese ergibt sich aus dem Fourier’schen
Wärmeleitungsansatz und der Energiebilanz in gegenüber Gleichung (1) an die 3DWärmeleitung und die Verformungseffekte angepasster Form zu
.
  cp T 
.

T
P
( 
)   LIJ  J  ij ij
xi
xi
(7)
Dabei ist T das Temperaturfeld, LIJ die Umwandlungswärme beider Umwandlung von Phase
.
I zu Phase J,  J ist die Rate der Phasenumwandlung in Phase J und  ij ij die
P
Verformungsenergieleistung.
Die Kinetik der als diffusionsgesteuert behandelten Austenit-, Ferrit-, Perlit- bzw. Bainit- und
der diffusionslosen Martensitbildung sind voneinander zu unterscheiden. Bei der
diffusionsgesteuerten Phasenumwandlung wird der gebildete Phasenanteil über die AvramiGleichung
  1  exp( b  t n )
(8)
bestimmt. Dabei sind t die Zeit und b und n Materialparameter.
Der Martensitanteil bei der Abschreckung wird über die Magee-Gleichung
 M  1  exp( 1  T   4 )
(9)
berechnet. Dabei ist T die Temperatur und  1 und  4 werden aus den Temperaturen für
Martensitstart TMS und für 50% Martensit TM50 bei  M  0 und  M  0,5 ermittelt.
Die totale Dehnung wird mittels
 tot   el   pl   th   tr   tp
(10)
berechnet, wobei el die elastische Dehnung, pl die plastische Dehnung, th die thermische
Dehnung, tr Dehnung aufgrund der Volumenänderung bei der Phasenumwandlung und tp
die Dehnung aufgrund der Umwandlungsplastizität ist.
Für das plastische Materialverhalten wurde ein isotropes Verfestigungsmodell gemäß
  y  Y  ( P ) m
(11)
v
implementiert, wobei  y die Anfangsfließspannung,  vP die plastische Vergleichspannung
und Y sowie m Verfestigungsparameter sind.
Im Programm ist die Umwandlungsplastizität über den Transformationsplastizitätstensor
. TP
3
2
.
 ij   K IJ  2  (1   J )   J  sij
(12)
mit der Umwandlungsplastizitätskonstante KIJ von Phase I zu J, der Änderung des Volumen.
anteils der Phase J  J und dem Spannungsdeviator sij definiert.
Die in der Simulation verwendeten Materialdaten wurden aus den Arbeiten [8,9] entnommen.
Abweichend davon wurden die Ausdehnungskoeffizienten und umwandlungsbedingten
Dehnungen aus Dilatometerversuchen an der verwendeten Werkstoffcharge entnommen.