1 Zur Vorbereitung

Labor Physik und Photonik
Labor zur Vorlesung Physik
Versuch 1: Fallbeschleunigung
1. Zur Vorbereitung
Die folgenden Begriffe sollten Sie kennen und erklären können:
Beschleunigung, Geschwindigkeit, geradlinige gleichförmig beschleunigte Bewegung, mathematisches
Pendel, Fadenpendel, physikalisches Pendel, Reversionspendel, Schwingungsdauer, Auslenkung,
Massenpunkt, starrer Körper, Massenträgheitsmoment, Schwingungsmittelpunkt, reduzierte
Pendellänge
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Versuch 1: Fallbeschleunigung
2. Gerätebeschreibung
2.1 Das Fadenpendel
Bild 1: Das Fadenpendel
Das Fadenpendel besteht aus einer Kugel, die an einem dünnen Faden aufgehängt ist.
In erster Näherung kann man das Fadenpendel als ein mathematisches Pendel interpretieren.
Ein mathematisches Pendel besteht aus einer punktförmigen Masse, die an einem unelastischen,
masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist. In unserem Fall ist die punktförmige Masse eine Kugel,
deren Masse man sich im Schwerpunkt vereinigt denken kann. Der Faden ist nahezu masselos.
Wir können folgende Differentialgleichung aufstellen:
 + g sin  = 0
(1) 
l
Für kleine Auslenkungen gilt: sin    ; daraus folgt:
 +
g
 = 0
l
Nach der allgemeinen Darstellung der Dif.gl. für ungedämpfte Schwingungen gilt:
 +  02  = 0
Daraus folgt für die Frequenz der Grundschwingung 0
(4)  0 =
g
l
oder für die Schwingungsdauer T0
(5) T0  2 
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l
g
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2.2 Das physikalische Pendel
Das Reversionspendel stellt ein physikalisches Pendel dar.
Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels der Masse m beträgt
(6) T A = 2
JA
m g sA
, dabei gilt:
JA Massenträgheitsmoment , m Masse, g Fallbeschleunigung, sA Abstand AufhängepunktSchwerpunkt
Nach dem Steinerschen Satz gilt für das Massenträgheitsmoment JA
(7) JA = JS + m sA2
JS ist das Massenträgheitsmoment um die durch den Schwerpunkt gehende Achse. Die zur Drehachse
gehörige reduzierte Pendellänge lA des physikalischen Pendels wird so definiert, daß ein
mathematisches Pendel der Länge lA gerade dieselbe Schwingungsdauer besitzt, wie das
entsprechende physikalische Pendel.
Interpretiert man das mathematische Pendel als ein physikalisches Pendel und benutzt die Gleichung 7,
so ergibt sich für das Massenträgheitsmoment einer Punktmasse im Abstand l zur Drehachse
(8) J A  ml 2
Wenn wir sA = l setzen, ergibt sich aus Gleichung 6
(9) T A = 2
l
JA
 2
m g sA
g
Daraus folgt für l = lA:
(10)
lA = JA / m sA
Zieht man vom Drehpunkt A ausgehend eine gerade Linie über den Schwerpunkt hinaus mit dem
Abstand lA, so kommt man zu einem neuen Punkt MA, der auch der zur Drehachse A gehörige
Schwingungsmittelpunkt genannt wird (Siehe Abbildung ). In ihm könnte man die gesamte Masse des
physikalischen Pendels
konzentrieren, ohne die Schwingungsdauer zu verändern
Bild 2: Lage des Schwingungsmittelpunkts
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Wird in der Gleichung 10 das Trägheitsmoment JA durch die Gleichung 7 ersetzt, so ergibt sich
(11)
lA = JS / m sA + sA
Jetzt wird der Schwingungsmittelpunkt MA als Aufhängepunkt betrachtet. Seine reduzierte Pendellänge
lM ergibt sich nach Gleichung 11 zu:
(12)
lM =
JS
+ lA - SA
m  l A - s A
In diesem Ausdruck wird in der Gleichung 11 sA durch die Gruppe lA - sA ersetzt.
Durch mathematische Umformungen läßt sich zeigen: lM = lA
Wird also ein physikalisches Pendel statt in seinem Aufhängepunkt im zugeordneten
Schwingungsmittelpunkt aufgehängt, so bleibt die Schwingungsdauer unverändert.
Von diesem Ergebnis wird beim Reversionspendel Gebrauch gemacht.
Man verändert das Massenträgheitsmoment solange, bis die Schwingungsdauern um zwei vorgegebene
Aufhängepunkte identisch werden. Für diesen Sonderfall ist der eine Aufhängepunkt zu dem anderen
der zugehörige Schwingungsmittelpunkt und umgekehrt.Dann ist die reduzierte Pendellänge dieses
Pendels gleich dem Abstand der Aufhängepunkte.
3. Versuchsdurchführung
3.1 Kugelfallversuch
Eine kleine Eisenkugel mit einem Elektromagneten befestigt läßt man eine definierte Strecke fallen und
mißt die Fallzeit mit einer elektronischen Stoppuhr.
Da es sich um eine gleichfömig beschleunigte Bewegung handelt, können wir folgende Gleichung
aufstellen:
(13)
s = s0 + v0 t + (g/2) t2
s0 Anfangsweg
v0 Anfangsgeschwindigkeit
s Fallstrecke
t Fallzeit nach Start
g die zu messende Fallbeschleunigung
Da der Anfangsweg und die Anfangsgeschwindigkeit nach den gegebenen Randbedingungen 0 gesetzt
werden kann, vereinfacht sich die Gleichung 13.
Daraus folgt nach Auflösung auf g:
(14)
g = 2s/t2
Der Startzeitpunkt erfolgt über eine Lichtschranke, die mit einer Mikrometerschraube vertikal verschiebbar
montiert ist. Vor jeder Messung muß die Startlichtschranke genau positioniert werden; das Startsignal darf
erst gegeben werden, wenn die Kugel zu fallen beginnt; der Elektromagnet hat nur die Aufgabe die Kugel
zu fixieren und soll während der Messung maximal mit 1,5V betrieben werden; der Stoppimpuls wird von
einer zweiten Lichtschranke ausgelöst, die am Ende der Fallstrecke montiert ist.
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3.1.1 Justage vor Beginn der Messung:
Bevor man die Kugel auslöst, werden die beiden Lichtschranken mit einer Libelle waagrecht justiert.
Danach wird die Startlichtschranke etwas unterhalb der Kugel an der Trägerstange festmontiert.
Die elektronische Stoppuhr wird mit dem Function-Button auf „Time single seq“ gestellt und die obere
Lichtschranke mit Anschluß 2, die untere Lichtschranke mit Anschluß 3 verbunden. Beide Anschlüsse
werden auf eine positive Flanke getriggert (Einstellung an den Knöpfen oberhalb der Anschlußbuchsen).
Die manuellen Start- bzw. Stopptasten werden bei einmaligem Drücken deaktiviert. Nun wird mit dem
Mode-Button die Empfindlichkeit der Messsung auf 1/1000-Millisekunden eingestellt.
Die Stoppuhr wird auf RUN gestellt und die Startlichtschranke mit der Mikrometerschraube solange nach
oben bewegt, bis eine Messung ausgelöst wird.
Nach manuellem Stop wird mit der Mikrometerschraube die Lichtschranke wieder ganz langsam nach
unten bewegt, bis die Anzeige der Stoppuhr umschaltet. Jetzt kann die eigentliche Messung beginnen.
3.1.2 Versuchsverlauf:
Die elektronische Stoppuhr wird wieder auf RUN gestellt und die Kugel durch Ausschalten des
Magnetfeldes gestartet. Wenn die Kugel beginnt, sich zu bewegen wird durch die 1. Lichtschranke die
Messung ausgelöst. Beim Unterbrechen der 2. Lichtschranke erfolgt der Stoppimpuls und das
Stoppuhrdisplay zeigt die Fallzeit t an. Nun wird mit Hilfe eines Meterstabes der Abstand s der beiden
Lichtschranken gemessen.
Aus den beiden Daten t und s läßt sich nach Gleichung 8 die Fallbeschleunigung bestimmen.
3.2 Das Fadenpendel
Nach der Gleichung 4 :  0 =
g
l
(15)
können wir schreiben, bezogen auf T0 und aufgelöst auf g:
g = 42
l
2
T0
Um die Fallbeschleunigung g zu bestimmen, muß man lediglich die Länge l des Fadens
(Abstand Aufhängepunkt - Mittelpunkt der Kugel) mit einem Maßstab und einem Meßschieber und die
Schwingungsdauer T0 mit einer Gabellichtschranke und einer elektronische Stoppuhr messen.
Die elektronische Stoppuhr wird mit dem Function-Button auf „Frequency Repetition“ eingestellt und die
Lichtschranke mit der Buchse 1 verbunden. Nach Abschluß einer Messung wird im Repetition-Mode sofort
mit der nächsten Messung begonnen.
Da die Lichtschranke immer an der Ruhelage des Pendels unterbrochen wird, zeigt die elektronische
Stoppuhr die doppelte Frequenz an.
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3.3 Das Reversionspendel:
3.3.1 Gerätebeschreibung
Das Reversionspendel ist ein physikalisches Pendel. Das Gerät besteht aus einer Pendelstange und
einem etwa 2m hohen, stabilen Metallstativ. An seinem oberen Ende befindet sich ein Lager, in das die
Schneiden des Reversionspendels gelegt werden können. Die Pendelstange von ca. 1.65 m Länge trägt
im Abstand von 99.4 cm zwei einander zugewendete Schneiden.
Zwei Metallscheiben lassen sich auf der Pendelstange verschieben, um die Massenverteilung und damit
das Massenträgheitsmoment des Pendels zu verändern.
Die eine Metallscheibe, zwischen den beiden Schneiden angebracht, hat eine Masse von 1.4 kg, während
die andere, außerhalb der Schneiden angebracht, eine Masse von 1.0 kg besitzt.
3.3.2 Versuchsablauf
Bild 3: Graphische Auswertung
Zu Beginn werden die beiden verschiebbaren Massen an die Markierungen bei der Schneide zwischen
den Gewichten gebracht. Das Pendel wird dann zunächst an dieser und anschließend an der anderen
Schneide aufgehängt. Die beiden zugehörigen Schwingungsdauern werden mit einer Lichtschranke
analog 3.2 ermittelt.
Die elektronische Stoppuhr wird mit dem Function-Button auf „Frequency Repetition“ eingestellt und die
Lichtschranke mit der Buchse 1 verbunden. Nach Abschluß einer Messung wird im Repetition-Mode sofort
mit der nächsten Messung begonnen. Da die Lichtschranke immer an der Ruhelage des Pendels
unterbrochen wird, zeigt die elektronische Stoppuhr die doppelte Frequenz an. Um die Schwingungsdauer
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zu berechnen, muß man lediglich den Kehrwert bilden.
Der Versuch wird zunächst einmal wiederholt, wobei das zwischen den beiden Schneiden befindliche
Laufgewicht von dem anderen Gewicht um weitere ca. 5 cm entfernt wird.
Bildet man die Differenz der beiden Schwingungsdauern, so kann man entscheiden, ob die Werte bei
weiterer Verschiebung des Laufgewichtes divergieren oder konvergieren.
Bei Divergenz muß die Versuchsreihe mit einer anderen Stellung des außerhalb der beiden Schneiden
befindlichen Gewichtes wiederholt werden. Es ist zweckmäßig, diese weiteren Versuchsreihen für
Stellungen des 1000-g-Gewichtes durchzuführen, die jeweils weitere 5 cm Abstand von der Schneide
entfernt sind.
Bei Konvergenz wird das Verfahren solange fortgesetzt, bis bei der Differenz ein Vorzeichenwechsel
stattfindet. Dies bedeutet, daß man den Schnittpunkt gerade überschritten hat. Zur Erhöhung der
Genauigkeit werden in der Nähe des Schnittpunktes weitere Meßpunkte in kürzeren Abständen
gemessen. Danach stellt man das Ergebnis graphisch dar. Als x-Achse wählt man die Lage des 1400-gGewichtes und als y-Achse trägt man die beiden Schwingungsdauern auf (siehe Bild 3).
Der y-Wert liefert dann die zum Schneidenabstand als reduzierte Pendellänge gehörige Schwingungsdauer. Durch die folgende Bestimmungsgleichung läßt sich aus dem ermittelten Wert für die
Schwingungsdauer TA die Fallbeschleunigung bestimmen.
(16)
g = 4 2
lA
2
TA
wobei lA = 0.994m der Abstand der beiden Schneiden bzw. die reduzierte Pendellänge darstellt.
4. Arbeitsprogramm
Finden Sie in der Excel-Datei g-Bestimmung.xls
5 Literatur
1. Hering,Martin,Stohrer; Physik für Ingenieure; VDI-Verlag
2. Bergmann,Schäfer; Band 1, Mechanik, Akustik, Wärme; Walter de Gruyter-Verlag
3. Falk,Ruppel; Mechanik, Relativität, Gravitation; Springer-Verlag
4. Hauger, Schnell, Gross; Technische Mechanik 3; Springer Verlag
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