19 3.9 Freier Fall Der freie Fall ist ein Sonderfall der geradlinig

11PS - KINEMATIK
P. Rendulić 2011
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
19
3.9
Freier Fall
Der freie Fall ist ein Sonderfall der geradlinig gleichmäßig beschleunigten Bewegung, bei
dem sich ein Körper nur unter dem Einfluss der Schwerkraft (Gravitation) bewegt.
Insbesondere die Luftreibung spielt beim freien Fall keine Rolle (daher die Bezeichnung
„frei“), sie wird also vernachlässigt. Beim freien Fall beginnt diese Bewegung aus einer
Ruhelage aus, also ohne Anfangsgeschwindigkeit; andernfalls handelt es sich um einen
Wurf.
Der freie Fall kann in vertikalen luftleeren Wegstrecken realisiert werden (z. B. in
Fallröhren oder Falltürmen).
Beim freien Fall ist die Beschleunigung a gleich der Fallbeschleunigung g (auch
Schwerebeschleunigung oder Erdbeschleunigung genannt). Auf der Erde beträgt sie im
Mittel g = 9,81 m/s2 (der Wert wird gleich verifiziert).
3.9.1 Experimentelle Bestimmung der Erdbeschleunigung
Um die Fallbeschleunigung der Erde zu bestimmen wird die Falldauer einer Stahlkugel für
verschiedene Fallhöhen bestimmt.
Versuchsaufbau und Durchführung
O
0.000
START
STOP
h
s
Die Kugel hängt zunächst an einer Halterung. Zum Starten der Fallbewegung wird die
Startvorrichtung der Halterung betätigt um die Kugel loszulassen; dabei wird gleichzeitig
der Digitalzähler Z gestartet. Nach dem Durchfallen der Stecke s (entsprechend der
Fallhöhe h) trifft die Kugel auf einen Fangbecher, der einen Kontakt betätigt und den
Zähler Z stoppt. Der Zähler Z misst also die Falldauer t. Die Messung wird durch
Verschieben der Startvorrichtung für verschiedene Fallhöhen durchgeführt.
Für jede Fallhöhe h wird fünfmal die Zeit t gemessen und der Mittelwert tm errechnet. Der
Graph für das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls, das Weg-Zeit-Diagramm, wird in einem st- und in einem s-t2-Koordinatensystem gezeichnet.
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3.9.2
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20
Messwertetabelle (mit Beispielwerten)
s (m)
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
-
0,1427
0,2015
0,2470
0,2850
0,3191
0,3501
-
0,1428
0,2016
0,2469
0,2852
0,3191
0,3490
-
0,1430
0,2020
0,2471
0,2858
0,3195
0,3491
-
0,1426
0,2021
0,2465
0,2857
0,3196
0,3495
-
0,1428
0,2020
0,2475
0,2856
0,3192
0,3498
tm (s)
0
0,1428
0,2018
0,2470
0,2855
0,3193
0,3495
tm2 (s2)
0
0,0204
0,0407
0,0610
0,0815
0,1020
0,1222
t (s)
3.9.3
Graphiken
s-t2-Diagramm
s-t-Diagramm
s (m)
0,6
s (m)
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
2
s = 4,9095 t
0,1
t (s)
0
t2 (s2)
0
0
0,1
0,2
0,3
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
3.9.4 Ergebnis
Der sich im s-t2-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist eine Gerade durch den
Koordinatenursprung: Es handelt sich also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung
mit Beschleunigung a. Die Steigung der Regressionsgeraden entspricht also
k=
1
a
2
und
a = g = 2k .
Die Bestimmung der Steigung ergibt k = 4,9095 m/s2, womit sich folgender Wert für die
Erdbeschleunigung ergibt:
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g = 9,81
21
m
s2
Des weiteren entspricht der sich im s-t-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug einer
Parabel. Dies erlaubt uns, die bereits bekannten Gesetze der geradlinig gleichmäßig
beschleunigten Bewegung im Fall des freien Falls anzuwenden.
3.9.5 Fallgesetze (nach Galileo Galilei)
Die Fallgesetze werden gefunden, indem man die bekannten Gesetzte der geradlinig
gleichmäßig beschleunigten Bewegung für die Fallbeschleunigung anwendet.
•
Die Fallgeschwindigkeit v wächst proportional mit der Fallzeit t:
v = g ⋅t
•
Die durchfallene Strecke h, der Fallweg, wächst proportional zu t2:
h=
•
1
⋅ g ⋅t2
2
Durch Kombination beider vorherigen Gleichungen lässt sich die Fallgeschwindigkeit v
bei der Fallhöhe h bestimmen:
2
⎛v ⎞
v
1
1 v2
v = g ⋅ t ⇔ t = ⇒ h = ⋅ g ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ h = ⋅
⇔ v = 2⋅g ⋅h
2
2 g
g
⎝g⎠
v = 2⋅g ⋅h
• Die zentrale Aussage der Fallgesetze lässt sich wie folgt zusammenfassen:
Weder Fallweg noch Fallgeschwindigkeit hängen von der Masse oder der Form des
fallenden Körpers ab.
Ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich.
Diese Feststellung wird später anhand des 2. Gesetzes nach Newton hergeleitet werden.
3.9.6
Fallbeschleunigungen
Fallbeschleunigung g in m/s2 bei Himmelskörpern
(bezogen auf die Oberfläche)
Merkur
3,82
Saturn
10,4
Venus
8,83
Uranus
9,42
Erde
9,81
Neptun
11,3
Mars
3,73
Sonne
274
Jupiter
24,6
Mond
1,63
Die angegebenen Werte gelten nur in Nähe der Oberfläche der angegebenen
Himmelskörper. Die Fallbeschleunigung nimmt mit zunehmender Höhe ab. Ist die Fallhöhe
zu groß, so ist die Fallbeschleunigung während des Falls nicht konstant.
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3.10
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22
Aufgaben
3.10.1 Freier Fall
a. Ein Körper wird in einer gewissen Höhe losgelassen. Nach 5 Sekunden trifft er auf dem
Boden auf. Wie groß ist die Fallhöhe?
b. Mit welcher Geschwindigkeit trifft ein Springer vom 10-Meter-Turm auf der
Wasseroberfläche auf?
3.10.2 Fallschirmsprung
a. Angenommen ein Fallschirmspringer fällt ohne Luftwiderstand nach unten. Welche
Geschwindigkeit hätte er dann nach 2 000 m Fall erreicht?
b. Welche Geschwindigkeit erreicht er tatsächlich?
c. Wie kann ein Fallschirmspringer vor dem Öffnen des Schirms seine
Sinkgeschwindigkeit erhöhen bzw. verringern?
d. Skizziere das v-t-Diagramm und das s-t-Diagramm für einen vollständigen
Fallschirmsprung (unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes).
3.10.3 Tiefe eines Schachtes
Um die Tiefe eines Schachtes zu bestimmen, lässt man einen Stein fallen. Nach einer Zeit
von 4,6 Sekunden nach dem Loslassen hört man seinen Aufschlag.
a. Wie tief ist der Schacht unter Vernachlässigung der Laufzeit des Schalls?
b. Wie groß ist die Schachttiefe unter Berücksichtigung einer Schallgeschwindigkeit von
340 m/s?
3.10.4 Fliegende Melone
Eine Melone wird aus einem Hubschrauber aus einer Höhe von 150 m fallen gelassen.
a. Nach welcher Zeit wird sie am Boden auftreffen?
b. Wie groß ist dann die Aufschlaggeschwindigkeit?