kinematik

11PS - KINEMATIK
EINTEILUNG VON BEWEGUNGEN
P. Rendulić 2015
1
KINEMATIK
Die Kinematik (Bewegungslehre) behandelt die Gesetzmäßigkeiten, die den
Bewegungsabläufen zugrunde liegen. Die bei der Bewegung auftretenden Kräfte bleiben
unberücksichtigt.
Die im Bereich der Kinematik auftretenden Größen sind der Weg s, die Geschwindigkeit
v, die Beschleunigung a und die Zeit t. Es handelt sich dabei um vektorielle Größen, sie
werden jedoch nur dann vektoriell geschrieben, wenn ihre Richtung zu beachten ist. In
allen anderen Fällen sind stets nur ihre Beträge gemeint.
1
EINTEILUNG VON BEWEGUNGEN
Die Bewegung eines Körpers erfolgt längs einer Bahn, die man in verschiedenen Fällen
direkt sehen kann, z.B. bei einem Zug (Schienen), bei einem Flugzeug (Kondensstreifen),
bei Spuren im Schnee oder Sand.
1.1
Bahnformen
Bewegungen können nach ihrer Bahnform eingeteilt werden.
Geradlinige Bewegung
Krummlinige Bewegung
Kreisbewegung
Der Körper bewegt sich auf einer
geraden Bahn. Beispiele:
Der Körper bewegt sich auf einer
krummlinigen
Bahn.
Die
Bewegung kann in enzelne
geradlinige
Phasen
unterteilt
werden. Beispiele:
Der Körper bewegt sich auf einer
Kreisbahn. Beispiele:
•
Zug auf gerader Strecke
•
Person auf Rolltreppe
•
Gondel eines Riesenrads
RC-Auto
•
•
Sitz auf einem Karussell
•
Apfel im freien Fall
•
Fußballspieler
•
Reflektor auf Speichenrad
•
Flugzeug in großer Höhe
•
Billiardkugel
•
Zahn eines Zahnrads
•
Hase auf der Flucht
1.2
Bewegungsarten
Bewegungen können auch nach Art der Bewegung längs der Bahn, der Bewegungsart,
eingeteilt werden.
Gleichförmige Bewegung
Ungleichförmige Bewegung
Der Körper bewegt sich mit einer konstanten
Geschwindigkeit, das heißt, Betrag und Richtung
der Geschwindigkeit sind konstant. Beispiele:
Der Körper bewegt sich mit veränderlicher
Geschwindigkeit, das heißt, Betrag oder Richtung
der Geschwindigkeit (oder beide zusammen) sind
nicht konstant. Beispiele:
•
Paket auf einem Förderband
•
Person auf Rolltreppe
•
Flugzeug in großer Höhe
•
Radfahrer auf kurviger Strecke
•
Auto im Berufsverkehr
•
Person auf der Achterbahn
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P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
2
GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
2.1
Experimentelle Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes
2
2.1.1 Versuchsbeschreibung
Auf einer Luftkissenbahn bewegt sich ein Schlitten reibungsfrei auf einer geraden Bahn.
Wirken auf den einmal in Bewegung gesetzten Schlitten keine weiteren Kräfte in
Bewegungsrichtung, so führt er eine geradlinig gleichförmige Bewegung aus.
Zur Bestimmung des Weg-Zeit-Gesetzes s = f (t ) werden die Zeiten t gemessen, die der
Schlitten für verschiedene Wege s benötigt. Um Schwankungen der Messwerte
auszugleichen, wird für jede Wegstrecke s die zugehörige Zeit t mehrmals gemessen und
ein Mittelwert gebildet tm.
Versuchsaufbau
Der Versuchsaufbau erfolgt nach
dem nebenstehenden Foto.
Um die Messwerte bequem und
schnell aufnehmen zu können
benutzen wir zeitgleich mehrere
Lichtschranken und Timer.
Sobald der Schlitten durch die
erste Lichtschranke fährt starten
alle Timer. Die einzelnen Timer
werden zum Zeitpunkt t gestoppt,
wenn der Schlitten die Strecke s
zurückgelegt hat.
2.1.2
s (m)
Messwertetabelle
0
-
t (s)
-
tm (s)
0
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GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
P. Rendulić 2015
3
2.1.3
Weg-Zeit-Diagramm im s-t Koordinatensystem
Der sich im s-t-Koordinatensystem
ergebende Kurvenzug ist eine Gerade
s
durch den Koordinatenursprung.
Bewegt sich ein Körper geradlinig
gleichförmig, so ist der von ihm
zurückgelegte Weg s der Zeit t, die er
für diesen Weg benötigt proportional:
s ~t ;
damit gilt für das Weg-Zeit-Gesetz
t
O
s = v ⋅t ,
wobei v eine Konstante ist.
2.1.4 Interpretation
Die Steigung v der Geraden s = f (t ) hat die Dimension einer Geschwindigkeit (m/s).
Bewegt sich ein Körper geradlinig gleichförmig, so ist seine Geschwindigkeit v konstant,
der Körper beharrt zu jedem Zeitpunkt in seinem Bewegungszustand
2.1.5
Schlussfolgerung
Das Weg-Zeit-Gesetz für eine geradlinig gleichförmige Bewegung
besagt, dass der vom Körper zurückgelegte Weg proportional zur
dafür benötigten Zeit ist.
2.1.6
Definition der Geschwindigkeit
Unter der konstanten Geschwindigkeit v versteht man das
Verhältnis des zurückgelegten Weges zu der dafür benötigten
Zeit.
v=
s
t
Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist das Meter pro Sekunde (m/s). Als SI-fremde Einheit
wird oft die Einheit Kilometer pro Stunde benutzt (km/h). Dabei gilt:
m
km
= 3,6
s
h
km
m
1
= 0,2778
h
s
1
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GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
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4
2.1.7 Durchschnittsgeschwindigkeit (mittlere Geschwindigkeit)
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich nach der Definition:
Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird bestimmt, indem der
gesamte zurückgelegte Weg durch die dafür benötigte Zeit geteilt
wird.
v =
s
t
oder für ein Intervall der Bewegung
v =
s2 − s1 ∆s
=
t 2 − t1
∆t
2.1.8 Momentangeschwindigkeit (Augenblicksgeschwindigkeit)
Die Momentangeschwindigkeit ergibt sich nach der Definition:
Die Momentangeschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit,
gerechnet in einem sehr kurzen Weg-Zeit-Intervall
v=
ds
.
dt
Anmerkung:
Im
Fall
der
geradlinig
gleichförmigen
Bewegung
Momentangeschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit gleich groß.
2.2
sind
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes
2.2.1 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm im v-t-Koordinatensystem
v
Wenn ein Körper sich mit konstanter
Geschwindigkeit bewegt, misst man
zu jedem Zeitpunkt die gleiche
Geschwindigkeit.
Die sich im v-t-Koordinatensystem
ergebende Kurvenzüge sind parallele
Geraden zur Zeitachse.
O
t
2.2.2 Interpretation
Aus der Tatsache, dass die Geschwindigkeit eines sich geradlinig gleichförmig
bewegenden Körpers konstant ist, folgt, dass ein Körper nur dann seinen
Bewegungszustand ändert, wenn sich seine Geschwindigkeit ändert.
Damit jedoch eine Geschwindigkeitsänderung eintritt, muss eine äußere Kraft auf den
Körper einwirken
11PS - KINEMATIK
2.2.3
P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
5
Schlussfolgerung
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz für eine geradlinig
gleichförmige Bewegung besagt, dass die Geschwindigkeit des
Körpers längs seiner Bahn konstant ist.
2.2.4 Graphische Methode zur Bestimmung der Strecke
Im v-t-Schaubild ist die Strecke durch ein Rechteck der Höhe v und der Länge t
dargestellt. Die zurückgelegte Strecke lässt sich geometrisch als die Fläche
unterhalb der Geschwindigkeitslinie darstellen.
v
s=v•t
t
Dieser Zusammenhang bleibt für jede Art von Bewegungen gültig.
v
s
t
In diesem Beispiel beschleunigt und bremst der Körper ungleichmäßig. Die zurückgelegte
Strecke kann jedoch geometrisch als Fläche zwischen Kurvenzug und Zeitachse bestimmt
werden.
2.3
Aufgaben
2.3.1 Wagen auf der Autobahn
Auf der Autobahn rast ein Fahrer: während einer Zeit von 0,5 min legt er eine Strecke von
1,5 km zurück.
m
km
und in
.
s
h
b. Welche Strecke legt er bei dieser Geschwindigkeit in 10 min zurück?
a. Berechne seine Geschwindigkeit in
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GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
6
2.3.2 Mittlere Geschwindigkeit
Ein Lastwagen fährt über einen Bergpass. Er fährt dabei zuerst während einer halben
Stunde mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 km/h bergauf, dann fährt er mit 60
km/h auf einer Strecke von 45 km bergab.
a. Welche Strecke legt der LKW beim bergauf fahren zurück?
b. Wie lange braucht der LKW, um den Berg auf der anderen Seite wieder hinunter zu
fahren?
c. Berechne die mittlere Geschwindigkeit des LKW auf der gesamten Strecke.
2.3.3 Autorennen
Bei einem Autorennen über einen Kurs von 8,5 km Länge erreicht ein Fahrer auf den
ersten 8 Runden eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 192 km/h. Die restlichen 4
Runden muss er wegen eines Schadens langsamer fahren, mit 171 km/h im Durchschnitt.
Hat er den Streckenrekord von 180 km/h für 12 Runden überboten?
2.3.4 s-t-Diagramm
Ein Lieferwagen fährt in 1,5 h 100 km weit. Dann steht er still während 0,5 h. Anschließend
fährt er während 60 min mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 km/h weiter. Er steht
dann wieder während 30 min still. Schließlich fährt er während 1,5 h mit einer
Geschwindigkeit von 80 km/h.
Ein Auto startet 90 Minuten nach der Abfahrt des Lieferwagens am gleichen Ort und
verfolgt diesen auf der gleichen Strecke. Das Auto fährt während 2 Stunden mit einer
mittleren Geschwindigkeit von 87,5 km/h; dann steht es still.
a. Fertige beide s-t-Diagramme auf der gleichen Graphik an.
b. Wo und wann treffen sich der Lieferwagen und das Auto?
2.3.5 Versäumter Start beim Ruderrennen
Bei einem Ruderrennen treten zwei Mannschaften (rot und blau) gegeneinander an. Durch
unglückliche Umstände kann die rote Mannschaft erst 20 Sekunden nach der blauen
starten. Da die rote Mannschaft sich nicht blamieren will rudert sie mit einer
Durchschnittsgeschwindigkeit von 15 km / h, wobei die blaue Mannschaft nur mit 12 km / h
rudert. Wie weit liegt der Treffpunkt der beiden Boote vom Startpunkt aus entfernt?
2.3.6 Karussell
Ein gleichförmig rotierendes Karussell hat einen Durchmesser von 8 Metern und braucht
für eine Umdrehung ¼ Minute.
a. Berechne die Bahngeschwindigkeit des Kindes, wenn as am Rande des Karussells
sitzt!
b. Wie ändert sich die Bahngeschwindigkeit des Kindes, wenn es 2 m vom Rand entfernt
sitzt?
2.3.7 Revolution der Erde um die Sonne
Die Bewegung der Erde um die Sonne kann in guter Näherung einer gleichförmigen
Kreisbewegung gleichgesetzt werden. Der Radius der Kreisbahn beträgt 149,6 Millionen
Kilometer. Bestimme die Geschwindigkeit der Erde!
11PS - KINEMATIK
P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
3
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
3.1
Experimentelle Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes
7
3.1.1 Versuchsbeschreibung
Wirkt längs der Bahn eine konstante Kraft in Bewegungsrichting auf den Schlitten (z.B.
durch Schlitzgewichte, die über eine Schnur und Umlenkrolle am Schlitten ziehen, oder
eine leicht geneigte Bahn), so führt er eine geradlinig gleichmäßig beschleunigte
Bewegung aus.
Zur Bestimmung des Weg-Zeit-Gesetzes s = f (t ) für eine geradlinig gleichförmig
beschleunigte Bewegung werden die Zeiten gemessen, die der Schlitten aus dem
Ruhezustand aus benötigt, um verschiede Wegstrecken s zurückzulegen. Die Zeit t wird
mit einer Lichtschranke und einem Digitalzähler bestimmt. Um kleinere Schwankungen
auszugleichen, wird für jede Wegstrecke s die zugehörige Zeit t mehrmals gemessen und
ein Mittelwert tm gebildet..
3.1.2
Messwertetabelle
s (m)
0
-
t (s)
-
tm (s)
tm2 (s)2
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3.1.3
P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
8
Weg-Zeit-Diagramm im s-t-Koordinatensystem
s
t
O
3.1.4
Weg-Zeit-Diagramm im s-t2-Koordinatensystem
s
t2
O
3.1.5 Ergebnis
Der sich im s-t2-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist eine Gerade durch den
Koordinatenursprung: Führt ein Körper eine geradlinig gleichmäßig beschleunigte
Bewegung aus, so ist der von ihm in der Zeit t zurückgelegte Weg s dem Quadrat der Zeit
t2 proportional:
s ~ t2 ;
somit gilt für das Weg-Zeit-Gesetz
s = k ⋅t2 ,
wobei k eine Konstante ist.
Der sich im s-t-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist also eine Parabel.
11PS - KINEMATIK
3.1.6
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
P. Rendulić 2015
9
Interpretation
Die Steigung k der Geraden s = f (t 2 ) hat die Dimension einer Beschleunigung (m/s2); sie
ist jedoch nicht dem Betrag a der Beschleunigung gleichzusetzen, vielmehr gilt
k=
1
a,
2
womit für das Weg-Zeit-Gesetz
s=
1
⋅a ⋅t2
2
folgt.
Anmerkung: Der Faktor ½ lässt sich jedoch aus den vorliegenden Messungen nicht
ermitteln; er wird später rechtfertigt werden.
3.1.7
Schlussfolgerung
Das Weg-Zeit-Gesetz für eine geradlinige Bewegung mit
konstanter Beschleunigung ist eine Parabel im Weg-ZeitKoordinatensystem.
3.2
Experimentelle Herleitung des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes und des
Beschleunigung-Zeit-Gesetzes
3.2.1 Versuchbeschreibung
Ein auf einer Luftkissenbahn aufgesetzter Schlitten bewegt sich geradlinig gleichförmig
beschleunigt.
Um die Geschwindigkeit v eines Körpers zu ermitteln, misst man für ein kleines
Wegintervall ∆s das zugehörige Zeitintervall ∆t und bildet den Quotienten. ∆s / ∆t. Die so
gemessene Geschwindigkeit entspricht der Momentangeschwindigkeit am Bahnpunkt in
der Mitte des Wegintervalls ∆s .
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P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
10
Die
Änderung
der
Geschwindigkeit
∆v
im
Zeitintervall
∆t
ist
die
Durchschnittsbeschleunigung a. Ist die Durchschnittsbeschleunigung von der Größe des
Zeitintervalls ∆t und dem Zeitpunkt t, in dem sie bestimmt wird, unabhängig, ist die
Durchschnittsbeschleunigung gleich der Momentanbeschleunigung a. Die Beschleunigung
a bestimmt sich dann als Quotient v / t.
Zur Bestimmung des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes misst man außer dem Zeitintervall
∆t die Zeit t, die der Schlitten benötigt, um den Bahnpunkt s zu erreichen.
3.2.2
Messwertetabelle
Blendenlänge ∆s = ............. m
s (m)
0
-
t (s)
-
tm (s)
0
-
∆t (s)
-
∆tm (s)
-
v=
∆s  m 
 
∆t m  s 
0
a=
v
tm
m
 2
s 
-
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3.2.3
P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
11
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm im v-t-Koordinatensystem
v
t
O
3.2.4
Beschleunigung-Zeit-Diagramm im a-t-Koordinatensystem
a
t
O
3.2.5 Ergebnis
• Der sich im v-t-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist eine Gerade durch den
Koordinatenursprung: Die Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t des gleichförmig
beschleunigten Körpers ist der Zeit t proportional:
v ~t.
•
Der sich im a-t-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist eine Parallele zur
Zeitachse. Die Beschleunigung a bleibt längs der Bahn konstant. Bewegt sich ein
Körper geradlinig gleichförmig beschleunigt, so bewegt er sich mit konstanter
Beschleunigung.
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GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
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12
3.2.6 Interpretation
Aus der Proportionalität zwischen v und t folgt für das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v = a⋅t ,
wobei die Konstante a die Steigung der Geraden ist; sie hat die Dimension einer
Beschleunigung und ist aufgrund der Definition der Beschleunigung dieser gleichzusetzen.
3.2.7
Schlussfolgerungen
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz für eine geradlinige Bewegung
mit konstanter Beschleunigung besagt, dass die
Geschwindigkeit eines Körpers der Zeit proportional ist.
Das Beschleunigung-Zeit-Gesetz für eine geradlinige Bewegung
mit gleichförmiger Beschleunigung ist eine horizontale Gerade;
die Beschleunigung ist konstant.
3.3
Definition der Beschleunigung
Unter
konstanter
Beschleunigung
a
versteht
Geschwindigkeitsänderung zu der dafür benötigten Zeit.
a=
man
das
Verhältnis
der
∆v v 2 − v 1
=
∆t
t 2 − t1
Die SI-Einheit der Beschleunigung ist das Meter pro Sekunde im Quadrat. In der Tat:
[a] = [∆v ] =
[∆t ]
3.4
v
m
s =m
s s2
Rechtfertigung des Faktors ½
B
a
v=
t
Wir wissen, dass der zurückgelegte Weg
s sich geometrisch als die Fläche
unterhalb der Geschwindigkeitslinie im vt-Diagramm darstellen lässt.
Die
Fläche
unterhalb
der
Geschwindigkeitslinie ist das Dreieck
OAB. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks
ist:
s = ½ a t2
t
O
t
s=
A
1
1
1
1
⋅ OA ⋅ AB = ⋅ t ⋅ v = ⋅ t ⋅ a ⋅ t = ⋅ a ⋅ t 2
2
2
2
2
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GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
13
Diese Betrachtung rechtfertigt den Faktor ½ welcher im Weg-Zeit-Gesetz der geradlinig
gleichmäßig beschleunigten Bewegung auftaucht.
Anmerkung: das Weg-Zeit-Diagramm kann theoretisch aus dem Geschwindigkeit-ZeitDiagramm hergeleitet werden.
3.5
Geradlinig
gleichmäßig
beschleunigte
Bewegung
mit
Anfangsgeschwindigkeit
In den vorherigen Punkten wurde die geradlinig beschleunigte Bewegung ohne
Anfangsgeschwindigkeit v0 beschrieben. Das heißt, dass der beobachtete Körper aus dem
Stand beschleunigt.
Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit v0, wenn die gleichförmige
Beschleunigung einsetzt, dann ändert sich das dazugehörige Geschwindigkeit-ZeitDiagramm folgendermaßen:
v
at
½at
v0
2
v0t
t
O
Daraus ergibt sich das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz für die geradlinig gleichmäßig
beschleunigte Bewegung:
v = v 0 + at
und das Weg-Zeit-Gesetz:
s = v 0t +
1 2
at
2
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GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
14
3.6
Geradlinig gleichmäßig verzögerte Bewegung
Ein gleichmäßiger Verzögerungsvorgang ist ein Sonderfall der gleichmäßig
beschleunigten Bewegung. Bei einer Verzögerung haben Geschwindigkeit und
Beschleunigung entgegengesetztes Vorzeichen (sie wirken in entgegengesetzte
Richtungen), sodass sich der Betrag der Geschwindigkeit verringert, bis die
Anfangsgeschwindigkeit v0 aufgezehrt ist.
a=
∆v v 2 − v 1
=
< 0 weil v1 > v 2
∆t
t 2 − t1
Die Endgeschwindigkeit v2 des Körpers ist also kleiner als seine Anfangsgeschwindigkeit
v1.
Die Verzögerung unterscheidet sich von der Beschleunigung nur durch das negative
Vorzeichen des Zahlenwertes.
Beispiel:
Beschleunigung:
a>0
Verzögerung:
a<0
a = -5 m/s2 heißt, dass die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um 5 m/s
abnimmt.
11PS - KINEMATIK
3.7
P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
15
Zusammenfassung
Geradlinig gleichförmige Bewegung
Weg-Zeit-Gesetz
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v
s
t
t
s = v ⋅t
v = konstant
Geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit
Weg-Zeit-Gesetz
s
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Beschleunigung-Zeit-Gesetz
v
a
t
t
s=
1
⋅a ⋅t2
2
t
v = a⋅t
a = konstant
Geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit
Weg-Zeit-Gesetz
s
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Beschleunigung-Zeit-Gesetz
v
a
t
s=
t
1
⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t
2
v = a ⋅ t + v0
t
a = konstant
Geradlinig gleichmäßig verzögerte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit
Weg-Zeit-Gesetz
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
s
v
t
t
s=
Beschleunigung-Zeit-Gesetz
1
⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t (a < 0)
2
t
v = a ⋅ t + v 0 (a < 0)
a = konstant (a < 0)
11PS - KINEMATIK
3.8
P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
16
Aufgaben
3.8.1 Beschleunigender Körper
Ein Körper hat aus der Ruhe nach der 1. Sekunde eine Geschwindigkeit von v1 = 0,5 m/s,
nach der 2. Sekunde von v2 = 1,0 m/s, nach der 3. Sekunde von v3 = 1,5 m/s erreicht.
a.
b.
c.
d.
Zeichne das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm.
Trage die Geschwindigkeitsänderung je Sekunde in das Diagramm ein.
Warum haben die Geschwindigkeit und die Beschleunigung verschiedene Einheiten?
Berechne die Fläche unter der v-Linie. Was stellt sie dar?
3.8.2 Zwei Radfahrer
Zwei Radfahrer A und B bewegen sich aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt. Fahrer A
erreicht nach tA = 7 s eine Fahrgeschwindigkeit vA = 7,2 km/h, Fahrer B nach tB = 15 s eine
Geschwindigkeit vB = 10,8 km/h.
a. Welcher Fahrer hat die größere Anfahrbeschleunigung?
b. Welche Wege haben die Radfahrer dabei zurückgelegt?
3.8.3 Beschleunigendes Auto
Ein Auto erhält aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt eine solche Beschleunigung, dass
es nach t = 16 s einen Weg s = 200 m zurücklegt.
a. Wie groß ist die Beschleunigung?
b. Welche Endgeschwindigkeit (in km/h) ist dabei erreicht?
3.8.4 Auf der Autobahn beschleunigendes Fahrzeug 1
Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird bei einer Beschleunigung von a = 2,5 m/s2 von
v1 = 180 km/h auf v2 = 216 km/h gleichmäßig beschleunigt gesteigert.
a. Wie groß ist die dabei zurückgelegte Wegstrecke?
b. Zeichne das zugehörige v-t-Diagramm.
3.8.5 Auf der Autobahn beschleunigendes Fahrzeug 2
Ein PKW wird in 15 s von der Geschwindigkeit 90 km/h auf 126 km/h gleichmäßig
beschleunigt.
a. Wie groß ist die Beschleunigung? (a = 0,667 m/s2)
b. Welcher Gesamtweg wird während der Beschleunigung zurückgelegt? (s = 450 m)
c. Wie
ändern
sich
Beschleunigung
und
Gesamtweg,
wenn
die
Geschwindigkeitsänderung in 10 s erreicht werden soll? (a’ = 1,00 m/s2; s = 300 m)
11PS - KINEMATIK
3.8.6
P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
17
Verzögerung
Ein Autofahrer muss bei plötzlicher
Gefahr sein Fahrzeug abbremsen. Bis
zur Betätigung der Bremsen vergeht eine
Reaktionszeit von 1 s. Ermittle mit den
Werten aus dem v-t-Diagramm:
a.
b.
c.
d.
e.
die Fahrgeschwindigkeit,
die Wegstrecke s1, die er in der Reaktionszeit durchfährt,
die Bremsverzögerung a und den Bremsweg s2,
den Anhalteweg,
Wie groß wäre die Wegstrecke s1 + s2 bei gleicher Verzögerung, jedoch zweifacher
Fahrgeschwindigkeit?
3.8.7 Richtgeschwindigkeit auf der Autobahn
Dargestellt ist ein Beispiel des Deutschen
Verkehrssicherheitsrates
zur
Richtgeschwindigkeit 130 km/h. Auf der
Autobahn wird in 150 m Entfernung ein
Hindernis entdeckt. Begründe, dass bei
einer Reaktionszeit von 1 s und einer
Bremsverzögerung von -6 m/s2:
a. bei Tempo 130 km/h der Anhalteweg ausreicht,
b. es bei Tempo 150 km/h zu einem Aufprall kommt mit einer Auftreffgeschwindigkeit von
circa 75 km/h.
3.8.8 Verzögerung
Bei einer Geschwindigkeit von 108 km/h erblickt ein Autofahrer in 70 m Entfernung ein
Hindernis. Nach einer Schrecksekunde führt er eine Vollbremsung aus und erreicht dabei
eine Verzögerung von a = -4 m/s2.
a. Mit welcher Geschwindigkeit prallt der Wagen noch auf das Hindernis?
b. Welche Verzögerung wäre notwendig gewesen, um den Wagen dicht vor dem
Hindernis zum Stillstand zu bekommen?
3.8.9 An der Ampel 1
Neben einer Ampel sitzt ein Polizist auf seinem Motorrad. In dem Moment, wo ein Auto mit
der konstanten Geschwindigkeit von 72 km/h durch Rot fährt startet der Polizist und nimmt
die Verfolgung des Wagens auf. Die Bewegung des Motorrads erfolgt bei konstanter
Beschleunigung (4,5 m/s2).
a. Wann holt der Polizist das Auto ein?
b. Wie weit liegt der Einholpunkt von der Ampel entfernt?
c. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Motorrads am Einholpunkt?
11PS - KINEMATIK
P. Rendulić 2015
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
18
3.8.10 An der Ampel 2
Neben einer Ampel sitzt ein Polizist auf seinem Motorrad. Zwei Sekunden, nachdem ein
Auto mit der konstanten Geschwindigkeit von 72 km/h durch Rot gefahren ist, startet der
Polizist und nimmt die Verfolgung des Wagens auf. Die Bewegung des Motorrads erfolgt
bei konstanter Beschleunigung (4,5 m/s2).
a. Wann holt der Polizist das Auto ein?
b. Wie weit liegt der Einholpunkt von der Ampel entfernt?
c. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Motorrads am Einholpunkt?
3.8.11 Im Nebel auf der Autobahn *
Auf der Autobahn fährt ein Lastwagen mit einer konstanten Geschwindigkeit von 54 km/h.
Ein Autofahrer fährt trotz der eingeschränkten Sicht viel zu schnell (126 km/h) hinter dem
Lastwagen. Erst in dem Moment wo der Abstand zwischen dem Wagen und dem
Lastwagen 30 m beträgt kann der Autofahrer eine Vollbremsung einleiten. Die
Verzögerung des Wagens beträgt dabei –6 m/s2.
a. Zeige, dass ein Auffahrunfall stattfindet!
b. Wie groß dürfte die Geschwindigkeit des Autos maximal sein, damit kein Unfall
stattfindet?
3.8.12 Auf der schmalen Landstraße *
Auf einer einspurigen Landstraße fährt ein Wagen mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h.
Ihm kommt ein 2. Wagen mit einer Geschwindigkeit von 110 km/h entgegen. Beide Fahrer
können sich noch nicht sehen, weil einer der Wagen sich noch in einer Kurve befindet. In
dem Moment, wo die Fahrer sich gegenseitig erblicken, leiten beide eine Vollbremsung
ein. In diesem Augenblick beträgt die Entfernung zwischen den Fahrzeugen 120 m. Die
Verzögerung des 1. Wagens beträgt –6 m/ s2, die des 2., wegen schlechterer Reifen –5
m/s2. Berechne, ob ein Unfall stattfinden wird!
11PS - KINEMATIK
4
Freier Fall
P. Rendulić 2015
19
FREIER FALL
Der freie Fall ist ein Sonderfall der geradlinig gleichmäßig beschleunigten Bewegung, bei
dem sich ein Körper nur unter dem Einfluss der Schwerkraft (Gravitation) bewegt.
Insbesondere die Luftreibung spielt beim freien Fall keine Rolle (daher die Bezeichnung
„frei“), sie wird also vernachlässigt. Beim freien Fall beginnt diese Bewegung aus einer
Ruhelage aus, also ohne Anfangsgeschwindigkeit; andernfalls handelt es sich um einen
Wurf.
Der freie Fall kann in vertikalen luftleeren Wegstrecken realisiert werden (z. B. in
Fallröhren oder Falltürmen).
Beim freien Fall ist die Beschleunigung a gleich der Fallbeschleunigung g (auch
Schwerebeschleunigung oder Erdbeschleunigung genannt). Auf der Erde beträgt sie im
Mittel g = 9,81 m/s2 (der Wert wird gleich verifiziert).
4.1
Experimentelle Bestimmung der Erdbeschleunigung
Um die Fallbeschleunigung der Erde zu bestimmen wird die Falldauer einer Stahlkugel für
verschiedene Fallhöhen bestimmt.
Versuchsaufbau und Durchführung
O
0
.0
0
0
START
STOP
h
s
Die Kugel hängt zunächst an einer Halterung. Zum Starten der Fallbewegung wird die
Startvorrichtung der Halterung betätigt um die Kugel loszulassen; dabei wird gleichzeitig
der Digitalzähler Z gestartet. Nach dem Durchfallen der Stecke s (entsprechend der
Fallhöhe h) trifft die Kugel auf einen Fangbecher, der einen Kontakt betätigt und den
Zähler Z stoppt. Der Zähler Z misst also die Falldauer t. Die Messung wird durch
Verschieben der Startvorrichtung für verschiedene Fallhöhen durchgeführt.
Für jede Fallhöhe h wird fünfmal die Zeit t gemessen und der Mittelwert tm errechnet. Der
Graph für das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls, das Weg-Zeit-Diagramm, wird in einem st- und in einem s-t2-Koordinatensystem gezeichnet.
11PS - KINEMATIK
4.2
20
Freier Fall
P. Rendulić 2015
Messwertetabelle (mit Beispielwerten)
s (m)
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
-
0,1427
0,2015
0,2470
0,2850
0,3191
0,3501
-
0,1428
0,2016
0,2469
0,2852
0,3191
0,3490
-
0,1430
0,2020
0,2471
0,2858
0,3195
0,3491
-
0,1426
0,2021
0,2465
0,2857
0,3196
0,3495
-
0,1428
0,2020
0,2475
0,2856
0,3192
0,3498
tm (s)
0
0,1428
0,2018
0,2470
0,2855
0,3193
0,3495
tm2 (s2)
0
0,0204
0,0407
0,0610
0,0815
0,1020
0,1222
t (s)
4.3
Graphiken
s-t2-Diagramm
s-t-Diagramm
s (m)
0,6
s (m)
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
s = 4,9095 t2
0,1
t (s)
0
2
2
t (s )
0
0
0,1
0,2
0,3
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
4.4
Ergebnis
Der sich im s-t2-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist eine Gerade durch den
Koordinatenursprung: Es handelt sich also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung
mit Beschleunigung a. Die Steigung der Regressionsgeraden entspricht also
k=
1
a
2
und
a = g = 2k .
Die Bestimmung der Steigung ergibt k = 4,9095 m/s2, womit sich folgender Wert für die
Erdbeschleunigung ergibt:
11PS - KINEMATIK
Freier Fall
P. Rendulić 2015
g = 9,81
21
m
s2
Des weiteren entspricht der sich im s-t-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug einer
Parabel. Dies erlaubt uns, die bereits bekannten Gesetze der geradlinig gleichmäßig
beschleunigten Bewegung im Fall des freien Falls anzuwenden.
4.5
Fallgesetze (nach Galileo Galilei)
Die Fallgesetze werden gefunden, indem man die bekannten Gesetzte der geradlinig
gleichmäßig beschleunigten Bewegung für die Fallbeschleunigung anwendet.
•
Die Fallgeschwindigkeit v wächst proportional mit der Fallzeit t:
v = g ⋅t
•
Die durchfallene Strecke h, der Fallweg, wächst proportional zu t2:
h=
•
1
⋅ g ⋅ t2
2
Durch Kombination beider vorherigen Gleichungen lässt sich die Fallgeschwindigkeit v
bei der Fallhöhe h bestimmen:
2
v 
v
1
1 v2
v = g ⋅ t ⇔ t = ⇒ h = ⋅ g ⋅   ⇔ h = ⋅
⇔ v = 2⋅g ⋅h
g
2
2 g
g
v = 2⋅g ⋅h
• Die zentrale Aussage der Fallgesetze lässt sich wie folgt zusammenfassen:
Weder Fallweg noch Fallgeschwindigkeit hängen von der Masse oder der Form des
fallenden Körpers ab.
Ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich.
Diese Feststellung wird später anhand des 2. Gesetzes nach Newton hergeleitet werden.
4.6
Fallbeschleunigungen
Fallbeschleunigung g in m/s2 bei Himmelskörpern
(bezogen auf die Oberfläche)
Merkur
3,82
Saturn
10,4
Venus
8,83
Uranus
9,42
Erde
9,81
Neptun
11,3
Mars
3,73
Sonne
274
Jupiter
24,6
Mond
1,63
Die angegebenen Werte gelten nur in Nähe der Oberfläche der angegebenen
Himmelskörper. Die Fallbeschleunigung nimmt mit zunehmender Höhe ab. Ist die Fallhöhe
zu groß, so ist die Fallbeschleunigung während des Falls nicht konstant.
11PS - KINEMATIK
4.7
P. Rendulić 2015
22
Aufgaben
4.7.1 Freier Fall
a. Ein Körper wird in einer gewissen Höhe losgelassen. Nach 5 Sekunden trifft er auf dem
Boden auf. Wie groß ist die Fallhöhe?
b. Mit welcher Geschwindigkeit trifft ein Springer vom 10-Meter-Turm auf der
Wasseroberfläche auf?
4.7.2 Fallschirmsprung
a. Angenommen ein Fallschirmspringer fällt ohne Luftwiderstand nach unten. Welche
Geschwindigkeit hätte er dann nach 2 000 m Fall erreicht?
b. Welche Geschwindigkeit erreicht er tatsächlich?
c. Wie kann ein Fallschirmspringer vor dem Öffnen des Schirms seine
Sinkgeschwindigkeit erhöhen bzw. verringern?
d. Skizziere das v-t-Diagramm und das s-t-Diagramm für einen vollständigen
Fallschirmsprung (unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes).
4.7.3 Tiefe eines Schachtes
Um die Tiefe eines Schachtes zu bestimmen, lässt man einen Stein fallen. Nach einer Zeit
von 4,6 Sekunden nach dem Loslassen hört man seinen Aufschlag.
a. Wie tief ist der Schacht unter Vernachlässigung der Laufzeit des Schalls?
b. Wie groß ist die Schachttiefe unter Berücksichtigung einer Schallgeschwindigkeit von
340 m/s?
4.7.4 Fliegende Melone
Eine Melone wird aus einem Hubschrauber aus einer Höhe von 150 m fallen gelassen.
a. Nach welcher Zeit wird sie am Boden auftreffen?
b. Wie groß ist dann die Aufschlaggeschwindigkeit?