KINEMATIK

11PS - KINEMATIK
EINTEILUNG VON BEWEGUNGEN
P. Rendulić 2011
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KINEMATIK
Die Kinematik (Bewegungslehre) behandelt die Gesetzmäßigkeiten, die den
Bewegungsabläufen zugrunde liegen. Die bei der Bewegung auftretenden Kräfte bleiben
unberücksichtigt.
Die im Bereich der Kinematik auftretenden Größen sind der Weg s, die Geschwindigkeit v
und die Beschleunigung a. Es handelt sich dabei um vektorielle Größen, sie werden
jedoch nur dann vektoriell geschrieben, wenn ihre Richtung zu beachten ist. In allen
anderen Fällen sind stets nur ihre Beträge gemeint.
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EINTEILUNG VON BEWEGUNGEN
Die Bewegung eines Körpers erfolgt längs einer Bahn, die man in verschiedenen Fällen
direkt sehen kann, z.B. bei einem Zug (Schienen), bei einem Flugzeug (Kondensstreifen),
bei Spuren im Schnee oder Sand.
1.1
Bahnformen
Bewegungen können nach ihrer Bahnform eingeteilt werden.
Geradlinige Bewegung
Der Körper bewegt sich auf einer
geraden Bahn. Beispiele:
•
Zug auf gerader Strecke
•
Person auf Rolltreppe
•
Apfel im freien Fall
•
Flugzeug in großer Höhe
Krummlinige Bewegung
Der Körper bewegt sich auf einer
krummlinigen
Bahn.
Die
Bewegung kann in enzelne
geradlinige
Phasen
unterteilt
werden. Beispiele:
•
Fußballspieler
•
Billiardkugel
•
Hase auf der Flucht
Kreisbewegung
Der Körper bewegt sich auf einer
Kreisbahn. Beispiele:
•
Gondel eines Riesenrads
•
Sitz auf einem Karussell
•
Reflektor auf Speichenrad
•
Zahn eines Zahnrads
1.2
Bewegungsarten
Bewegungen können auch nach Art der Bewegung längs der Bahn, der Bewegungsart,
eingeteilt werden.
Gleichförmige Bewegung
Ungleichförmige Bewegung
Der Körper bewegt sich mit einer konstanten
Geschwindigkeit, das heißt, Betrag und Richtung
der Geschwindigkeit sind konstant. Beispiele:
Der Körper bewegt sich mit veränderlicher
Geschwindigkeit, das heißt, Betrag oder Richtung
der Geschwindigkeit (oder beide zusammen) sind
nicht konstant. Beispiele:
•
Paket auf einem Förderband
•
Person auf Rolltreppe
•
Flugzeug in großer Höhe
•
Radfahrer auf kurviger Strecke
•
Auto im Berufsverkehr
•
Person auf der Achterbahn
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GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
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GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
2.1
Experimentelle Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes
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2.1.1 Versuchsbeschreibung
Auf einer Luftkissenbahn bewegt sich ein Schlitten reibungsfrei auf einer geraden Bahn.
Wirken auf den einmal in Bewegung gesetzten Schlitten keine weiteren Kräfte in
Bewegungsrichtung, so führt er eine geradlinig gleichförmige Bewegung aus.
Zur Bestimmung des Weg-Zeit-Gesetzes s = f (t ) werden die Zeiten t gemessen, die der
Schlitten für verschiedene Wege s benötigt. Um Schwankungen der Messwerte
auszugleichen, wird für jede Wegstrecke s die zugehörige Zeit t mehrmals gemessen und
ein Mittelwert gebildet tm.
2.1.2
Messwertetabelle
s (m)
0
-
t (s)
-
tm (s)
0
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GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
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2.1.3
Weg-Zeit-Diagramm im s-t Koordinatensystem
Der sich im s-t-Koordinatensystem
ergebende Kurvenzug ist eine Gerade
s
durch den Koordinatenursprung.
Bewegt sich ein Körper geradlinig
gleichförmig, so ist der von ihm
zurückgelegte Weg s der Zeit t, die er
für diesen Weg benötigt proportional:
s ~t ;
damit gilt für das Weg-Zeit-Gesetz
t
O
s = v ⋅t ,
wobei v eine Konstante ist.
2.1.4 Interpretation
Die Steigung v der Geraden s = f (t ) hat die Dimension einer Geschwindigkeit (m/s).
Bewegt sich ein Körper geradlinig gleichförmig, so ist seine Geschwindigkeit v konstant,
der Körper beharrt zu jedem Zeitpunkt in seinem Bewegungszustand
2.1.5
Schlussfolgerung
Das Weg-Zeit-Gesetz für eine geradlinig gleichförmige Bewegung
besagt, dass der vom Körper zurückgelegte Weg proportional zur
dafür benötigten Zeit ist.
2.1.6
Definition der Geschwindigkeit
Unter der konstanten Geschwindigkeit v versteht man das
Verhältnis des zurückgelegten Weges zu der dafür benötigten
Zeit.
v=
s
t
Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist das Meter pro Sekunde (m/s). Als SI-fremde Einheit
wird oft die Einheit Kilometer pro Stunde benutzt (km/h). Dabei gilt:
m
km
= 3,6
s
h
km
m
1
= 0,2778
h
s
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2.1.7 Durchschnittsgeschwindigkeit (mittlere Geschwindigkeit)
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich nach der Definition:
Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird bestimmt, indem der
gesamte zurückgelegte Weg durch die dafür benötigte Zeit geteilt
wird.
v =
s
t
oder für ein Intervall der Bewegung
v =
s2 − s1 ∆s
=
t 2 − t1
∆t
2.1.8 Momentangeschwindigkeit (Augenblicksgeschwindigkeit)
Die Momentangeschwindigkeit ergibt sich nach der Definition:
Die Momentangeschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit,
gerechnet in einem sehr kurzen Weg-Zeit-Intervall
v=
ds
.
dt
Anmerkung:
Im
Fall
der
geradlinig
gleichförmigen
Bewegung
Momentangeschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit gleich groß.
2.2
sind
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes
2.2.1 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm im v-t-Koordinatensystem
v
Wenn ein Körper sich mit konstanter
Geschwindigkeit bewegt, misst man
zu jedem Zeitpunkt die gleiche
Geschwindigkeit.
Die sich im v-t-Koordinatensystem
ergebende Kurvenzüge sind parallele
Geraden zur Zeitachse.
O
t
2.2.2 Interpretation
Aus der Tatsache, dass die Geschwindigkeit eines sich geradlinig gleichförmig
bewegenden Körpers konstant ist, folgt, dass ein Körper nur dann seinen
Bewegungszustand ändert, wenn sich seine Geschwindigkeit ändert.
Damit jedoch eine Geschwindigkeitsänderung eintritt, muss eine äußere Kraft auf den
Körper einwirken
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2.2.3
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Schlussfolgerung
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz für eine geradlinig
gleichförmige Bewegung besagt, dass die Geschwindigkeit des
Körpers längs seiner Bahn konstant ist.
2.2.4 Graphische Methode zur Bestimmung der Strecke
Im v-t-Schaubild ist die Strecke durch ein Rechteck der Höhe v und der Länge t
dargestellt. Die zurückgelegte Strecke lässt sich geometrisch als die Fläche
unterhalb der Geschwindigkeitslinie darstellen.
v
s=v•t
t
Dieser Zusammenhang bleibt für jede Art von Bewegungen gültig.
v
s
t
In diesem Beispiel beschleunigt und bremst der Körper ungleichmäßig. Die zurückgelegte
Strecke kann jedoch geometrisch als Fläche zwischen Kurvenzug und Zeitachse bestimmt
werden.
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2.3
P. Rendulić 2011
GERADL. GLEICHFÖRM. BEWEGUNG
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Aufgaben
2.3.1 Wagen auf der Autobahn
Auf der Autobahn rast ein Fahrer: während einer Zeit von 0,5 min legt er eine Strecke von
1,5 km zurück.
m
km
und in
.
s
h
b. Welche Strecke legt er bei dieser Geschwindigkeit in 10 min zurück?
a. Berechne seine Geschwindigkeit in
2.3.2 Mittlere Geschwindigkeit
Ein Lastwagen fährt über einen Bergpass. Er fährt dabei zuerst während einer halben
Stunde mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 km/h bergauf, dann fährt er mit 60
km/h auf einer Strecke von 45 km bergab.
•
•
•
Welche Strecke legt der LKW beim bergauf fahren zurück?
Wie lange braucht der LKW, um den Berg auf der anderen Seite wieder hinunter zu
fahren?
Berechne die mittlere Geschwindigkeit des LKW auf der gesamten Strecke.
2.3.3 Schneckentempo
Eine Schnecke legt eine Strecke von 1 cm in 3 s zurück. Welche Strecke überwindet sie in
einer Stunde?
2.3.4 Autorennen
Bei einem Autorennen über einen Kurs von 8,5 km Länge erreicht ein Fahrer auf den
ersten 8 Runden eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 192 km/h. Die restlichen 4
Runden muss er wegen eines Schadens langsamer fahren, mit 171 km/h im Durchschnitt.
Hat er den Streckenrekord von 180 km/h für 12 Runden überboten?
2.3.5 s-t-Diagramm
Ein Lieferwagen fährt in 1,5 h 100 km weit. Dann steht er still während 0,5 h. Anschließend
fährt er während 60 min mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 km/h weiter. Er steht
dann wieder während 30 min still. Schließlich fährt er während 1,5 h mit einer
Geschwindigkeit von 80 km/h.
Ein Auto startet 90 Minuten nach der Abfahrt des Lieferwagens am gleichen Ort und
verfolgt diesen auf der gleichen Strecke. Das Auto fährt während 2 Stunden mit einer
mittleren Geschwindigkeit von 87,5 km/h; dann steht es still.
a. Fertige beide s-t-Diagramme auf der gleichen Graphik an.
b. Wo und wann treffen sich der Lieferwagen und das Auto?
2.3.6 Versäumter Start beim Ruderrennen
Bei einem Ruderrennen treten zwei Mannschaften (rot und blau) gegeneinander an. Durch
unglückliche Umstände kann die rote Mannschaft erst 20 Sekunden nach der blauen
starten. Da die rote Mannschaft sich nicht blamieren will rudert sie mit einer
Durchschnittsgeschwindigkeit von 15 km / h, wobei die blaue Mannschaft nur mit 12 km / h
rudert. Wie weit liegt der Treffpunkt der beiden Boote vom Startpunkt aus entfernt?