LK I Wachstumsmodelle 13

Christianeum
Mathematik (erhöhtes Niveau)
Funktionen (1)
SI
Wilms
8. 12. 2009
Der Begriff Polynom ist eine Verallgemeinerung des Begriffes Binom:
 Ein linearer Term (z.B.  3  x  2 ) kann als Polynom 1. Grades bezeichnet werden
 ein quadratischer Term (z.B.  3  x 2  2  x  1 ) wird als Polynom 2. Grades bezeichnet
 eine Funktion f : x  a  x 3  b  x 2  c  x  d mit a  0 heißt ganzrationale Funktion 3.
Grades. Ihr Funktionsterm heißt Polynom 3. Grades.
 Entsprechend lassen sich für jede natürliche Zahl ganzrationale Funktionen n-ten Grades
definieren, deren Funktionsterme Polynome n-ten Grades genannt werden, n   .
Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert. Ihre Graphen enthalten weder
Knickstellen noch Sprungstellen.
Aufgabe
Zeichne möglichst einfache und möglichst komplizierte Graphen von
ganzrationalen Funktionen 3., 4. und 5. Grades und nimm diese Zeichnungen zu
deinen Unterlagen.
Ganzrationale Funktionen können beliebig oft abgeleitet werden, aber schon die (n+1)-te
Ableitung ist ____________________ .
Die 1. Ableitung gibt für jedes x die Steigung sowie das Steigungsverhalten der Funktion f an.
Die 2. Ableitung gibt für jedes x das Krümmungsverhalten der Funktion f an.
Besonderheiten im Graphen einer Funktion:
 Nullstellen
Hier ist der y-Wert Null.
Um die Nullstellen zu finden,
löse f(x) = 0
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Innere Hochpunkte
Hier ist die Steigung Null und der Graph rechtsgekrümmt.
bilde die 1. Ableitung f ’
löse f ’(x) = 0
prüfe, ob f ’’(xe) < 0
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Innere Tiefpunkte
Hier ist die Steigung Null und der Graph linksgekrümmt.
Um die inneren Hochpunkte zu finden,
bilde die 1. Ableitung f ’
löse f ’(x) = 0
prüfe, ob f ’’(xe) > 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Wendepunkte
Hier ist die Steigung – jedenfalls in einer bestimmten
Umgebung - am größten bzw. am kleinsten.
Um die inneren Tiefpunkte zu finden,
Um die Wendepunkte zu finden,
bilde die 2. Ableitung
löse f ’’(x) = 0
prüfe, ob f ’’’(xw) ≠ 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------(Trickreiche) Frage: Wie viele Nullstellen hat eine ganzrationale Funktion n-ten Grades?
Zerlegungssatz:
Ist a eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f n-ten Grades, so lässt
sich f(x) in ein Produkt zerlegen („faktorisieren“): f ( x)  ( x  a)  g ( x) .
Dabei ist g(x) ein Polynom (n – 1)-ten Grades.
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->-> b.w.
(Beweis im Buch, S. 42)
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Aufgaben
1.
Hier sind zwei Graphen, deren ganzrationale Funktionsterme f und g den gleichen Grad
haben:
f
g
(a)
Gib eine Zahl an, die als Grad der Funktionen f und g in Frage kommt: ______
(b)
Gib an, welche der folgenden drei Zerlegungen für den Funktionsterm g(x)
zutreffen könnte, und begründe deine Entscheidung:
1. ( x  2)( x  1)( x  1)( x  2) , denn ___________________________________
2. ( x  2)( x  1)( x  1)( x  2)( x  2) , denn ______________________________
3. ( x  2)( x  2)( x  1)( x  1)( x  2) , denn ______________________________
2.
Untersuche die Funktion f : x  14  x 4  43  x 3  2  x 2 auf ihr Steigungs- und
Krümmungsverhalten, bestimme alle charakteristischen Punkte und zeichne den
Graphen. (Dieser Aufgabentyp heißt Kurvendiskussion und war früher sehr beliebt.)
3.
Gegeben ist die Funktion f : x 
4  x2
x2 1
Da eine Stammfunktion zu f nicht bekannt ist, bestimme näherungsweise durch je eine
Ober- und eine Untersumme von Rechtecken den Inhalt der Fläche, die der Graph der
Funktion f mit der x-Achse einschließt.
Hinweis: Wähle 8 Unterteilungen.
4.
Gegeben ist die Funktionenschar
f k:x 
4 x
x2  k
, k 
(a)
Betrachte die vier Graphen auf der Rückseite dieses Zettels. Gehören sie zur
Funktionenschar? Wenn nein, begründe es. Wenn ja, gib den zugehörigen
Parameter k an.
(b)
Stelle fest, welche Funktionen der Funktionenschar einen inneren Hochpunkt
besitzen. Prüfe, ob alle diese inneren Hochpunkte auf einer Kurve liegen
(genannt: Ortskurve der Hochpunkte). Wenn ja, gib die zugehörige
Funktionsvorschrift an und bestätige diesen Zusammenhang graphisch.
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->-> b.w.
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5.
Das Dach einer 20 m breiten und 60 m langen Tennishalle soll einen Parabelbogen
spannen, dessen Bauhöhe 8 m betragen soll. Der Bauherr befürchtet, dass das dadurch
entstehende Luftvolumen zu gering sein könnte, und verlangt 15.000 Hektoliter Luft mehr.
Darauf schlägt der Architekt vor, anstelle der ursprünglich geplanten Bauhöhe von 8 m
eine Höhe von 10 m zu wählen. Prüfe, ob dadurch die Forderung des Bauherren erfüllt
werden kann.
[email protected]