Rekonstruktion von (ganzrationalen) Funktionen

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Rekonstruktion von (ganzrationalen) Funktionen
Bei der Rekonstruktion von Funktionen versucht man immer, aus der Kenntnis
bestimmter Eigenschaften der Funktion den Funktionsterm zu ermitteln.
Grundlegende Strategie für die Lösung solcher Aufgaben:
1) Bestimmen des höchsten Grades des Funktionsterms und notieren des
allgemeinen Funktionsterms, z.B. lautet die Aufgabe …eine ganzrationale
Funktion 3. Grades…  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d
Ziel ist es jetzt immer, die Parameter für diese Funktion zu finden, im Beispiel
also a, b. c und d zu ermitteln.
2) Bestimmen der notwendigen Ableitungen des allgemeinen Funktionsterms, in
unserem Beispiel also:
f ( x)  3ax 2  2bx  c und f ( x)  6ax  2b
In seltenen Fällen wird auch noch die 3. Ableitung benötigt.
3) Jetzt sehen wir uns die Parameter an, in unserem Beispiel haben wir
insgesamt 4, wir benötigen dabei für jeden Parameter eine Aussage für die
Rekonstruktion. Oft muss dabei ein Gleichungssystem gelöst werden.
Einige oft zu findende (Beispiel-)Aussagen und die entsprechenden Lösungsansätze
(die Koordinaten sind exemplarisch und müssen ev. ausgetauscht werden)…
Aussage: Die Funktion …
geht durch den Punkt P(1/3)
Ansatz
f (1)  3
hat ein Max./Min. bei x = 1
hat einen Wendepunkt bei x= 2
geht durch den Koordinatenursprung
ist achsensymmetrisch
(alternativ – ist eine gerade Funktion)
f (1)  0
f ( 2)  0
f (0)  0 , d.h. das absolute Glied ist 0
es gibt nur gerade Exponenten, die
Parameter vor den ungeraden
Exponenten sind 0
es gibt nur ungerade Exponenten, die
Parameter vor den geraden Exponenten
und das abs. Glied sind 0
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f (1)  0 (Berührung heißt: hier ist ein
Extrempunkt)
II: f (1)  0
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f (1)  0
II: f (1)  2
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f (1)  0
II: f (1)  2
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f (1)  3
II: f (1)  2
f (2)  0
ist punktsymmetrisch zum Ursprung
(alternativ – ist eine ungerade Funktion)
berührt die x-Achse bei x = 1
hat ein Max./Min. bei P(1/2)
hat einen Wendepunkt bei P(1/2)
besitzt eine Tangente im Punkt P, deren
Anstieg im Punkt P(1/2) ist 3
hat eine Nullstelle bei x=2
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schließt über der x-Achse im Intervall
[0;1] einen Flächeninhalt von 1 ein
1
 f ( x)dx  1(meist ist das der letzte
0
hat ein Max./Min. auf der y-Achse
hat einen Sattelpunkt bei x = 1
berührt eine Funktion g(x) an der Stelle
x0
hat einen Wendepunkt auf der y-Achse
hat an der Stelle x = 4 eine waagerechte
Tangente
hat bei x = 2 eine Wendestelle, ihre
Wendetangente hat die Steigung 4
hat an der Stelle x = 2 eine zu der
Geraden y = −4x + 5 parallele Tangente
hat an der Stelle x = 2 eine Tangente mit
der Gleichung y = −4x + 5
hat an den Stellen x1 = 1 und x2 = 3
parallele Tangenten
berührt eine weitere Funktion g(x) (muss
gegeben sein) an der Stelle x = 2
hat eine Tangente am Punkt P(2|3),
diese schneidet die x-Achse an der
Stelle −1 (lies: also im Punkt Q(−1|0))
Schritt, die Funktion wird mit dem
verbleibenden Parameter eingesetzt,
integriert und nach dem Parameter
aufgelöst)
f (0)  0
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f (1)  0
II: f (1)  0
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f ( x0 )  g ( x0 )
II: f ( x0 )  g ( x0 )
f (0)  0
f (4)  0
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f (2)  0
II: f (2)  4
f (2)  4
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f (2)  4
II: f (2)  4  2  5  3
f (1)  f (3)
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f (2)  g (2)
II: f (2)  g (2)
Achtung! Hier stecken 2 Aussagen drin:
I: f (2)  3
30
II: f (2) 
1
2  (1)
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Übungen
1) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades verläuft durch den Koordinatenursprung, der Anstieg der Tangenten ist dort 9. Weiterhin berührt sie die xAchse bei x = 6. Um welche Funktion handelt es sich?
1
Lösung: f ( x)  x 3  3 x 2  9 x
4
2) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades berührt die Parabel g ( x ) 
Ursprung und hat im Punkt P(5/
1 2
x im
4
25
) ein Maximum. Um welche Funktion
4
handelt es sich?
Lösung: f ( x)  
1 3 3 2
x  x
10
4
3) Eine ganzrationale, zur y-Achse symmetrische, Funktion 2. Grades verläuft
durch die Punkte P(0/0) und Q(1/1). Um welche Funktion handelt es sich?
Lösung: f ( x)  x 2
4) Eine ganzrationale, zur y-Achse symmetrische, Funktion 2. Grades verläuft
durch die Punkte P(1/2) und Q(4/0). Um welche Funktion handelt es sich?
2
32
Lösung: f ( x)   x 2 
15
15
5) Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades sind folgende Punkte
gegeben: P1(0/1); P2(1/0); P3(-1/-4); P4(2/-1).
Wie heißt die Funktionsgleichung?
Lösung: f ( x)  x 3  3x 2  x  1
6) Vom Graphen einer ganzrationalen, achsensymmetrischen Funktion 4.
Grades sind der Punkt P1(0/2) und das lokale Minimum bei P2(1/1) bekannt.
Wie heißt die Funktionsgleichung?
Lösung: f ( x)  x 4  2 x 2  2
7) Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades sind das Minimum bei
P1(-1/1) und das Maximum bei P2(1/5) bekannt.
Wie heißt die Funktionsgleichung?
Lösung: f ( x)   x 3  3x  3
8) Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades sind folgende
Merkmale bekannt: Sie besitzt bei x = 2 eine lokale Extremstelle, der Punkt
P(3/8) ist Wendepunkt und bei x = 0 besitzt sie eine Tangente mit dem Anstieg
m = 24. Wie heißt die Funktionsgleichung?
Lösung: f ( x)  x 3  9 x 2  24 x  10
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9) Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades sind folgende
Merkmale bekannt: Sie besitzt bei x = 0 einen Sattelpunkt und bei x = 2 eine
lokale Extremstelle, im Punkt P(1/-0,5) besitzt sie eine Tangente mit dem
Anstieg m = -6. Wie heißt die Funktionsgleichung?
Lösung: f ( x)  1,5 x 4  4 x 3  2
Für später (nach der Integralrechnung)
10)Eine ganzrationale Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung, hat bei x = 1
ein Maximum und bei x = 2 eine Wendestelle. Ihr Graph schließt mit der xAchse über dem Intervall [0;2] eine Fläche mit dem Inhalt 6 ein. Um welche
Funktion handelt es sich?
Lösung: f ( x)  x 3  6 x 2  9 x
11)Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt
und geht durch den Punkt P(1/3). Ihr Graph schließt mit der x-Achse über dem
Intervall [0;1] eine Fläche mit dem Inhalt 1 ein. Um welche Funktion handelt es
sich?
Lösung: f ( x)  2 x 3  x
12)Eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit einer Nullstelle bei x = 1, deren
Maximum auf der y-Achse liegt, schließt mit den beiden Koordinatenachsen im
1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt 1 ein. Um welche Funktion handelt
es sich?
3
3
Lösung: f ( x)   x 2 
2
2
13)Eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit einer Nullstelle bei x = 4 hat im
Ursprung einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Sie schließt mit der
x-Achse im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt 6,4 ein. Um welche
Funktion handelt es sich?
1
1
Lösung: f ( x)   x 4  x 3
8
2