Symmetrieverhalten

Symmetrieverhalten
Sie haben es an Skizzen vielleicht schon gesehen :
Manche Funktionsgraphen haben die Eigenschaft, dass sie symmetrisch
sind. Z.B. gibt es eine senkrechte Achse, an der man den
Graphen einer Funktion
spiegeln kann und man hätte den gleichen Graphen wieder. Man kann
es auch so sehen: wenn man den linken Teil nach rechts klappt, erhält
man den rechten und umgekehrt. Besonders interessant sind vielleicht
die Fälle, in denen die y-Achse die Symmetrieachse darstellt.
Die x-Achse kann übrigens nicht als Symmetrieachse dienen,
denn zu einem x Wert kann es nur einen y-Wert geben,
nicht einen positiven und negativen gleichzeitig.
Neben Achsensymmetrie gibt es auch die Möglichkeit der
Punktsymmetrie, d.h. man kann an einem Punkt spiegeln - was einer
Drehung um 180° entspricht -, und erhält wieder den
gleichen Graphen. Besonders interessant ist natürlich die
Punktsymmetrie zum Ursprung.
Parabeln sind immer achsensymmetrisch zur senkrechten
Geraden durch den Scheitel. Und um ein Ergebnis vorwegzunehmen:
Funktionen 3. Grades besitzen immer einen Symmetriepunkt, den Wendepunkt,
in dem der Funktionsgraph seine Krümmung ändert. Ab 4. Grad gibt es
nicht immer eine Symmetrie.
Achsensymmetrie zur y-Achse
Typische Beispiele für achsensymmetrische Funktionen sind jene
Funktionen 4. Grades, bei denen man die Substitution anwenden
kann. Kennzeichnend für eine Funktion, die achsensymmetrisch
zur y- Achse ist, ist die Tatsache, dass der Funktionswert
bei -x der gleiche ist wie der bei x.
f(-x) = f(x)
Beispiel : f(x) = x4 - 10x² +25 :
f(-x) = (-x)4 -10(-x)² +25 = x4 - 10 x² +25 = f(x).
Man sieht wohl ziemlich schnell, dass die Bedingung f(x) = f(-x)
genau dann gilt, wenn der Funktionsterm nur gerade Potenzen enthält.
Der Hinweis auf die geraden Potenzen reicht dann auch als
Begründung für die Achsensymmetrie zur y-Achse.
Für den Graphen heißt dies unter anderem, dass die Funktion auf
der y-Achse umkehrt.
Punktsymmetrie zum Ursprung
Kennzeichnend ist hier, dass der Funktionswert bei -x das
andere Vorzeichen trägt als der bei x, aber betragsmäßig sind
sie gleich :
f(-x) = - f(x)
Beispiel : f(x) = x³ - 4x :
f(-x) = (-x)³ - 4(-x) = -x³ +4x
-f(x) = - (x³ -4x) = -x³ +4x,
also sind linke und rechte Seite gleich.
Beachten Sie bitte, dass die Minuszeichen jeweils richtig stehen !
Eine ganzrationale Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft,
muss natürlich auch durch den Ursprung gehen, d.h. f(0) =0.
Ansonsten sehen Sie sicher, dass nur ungerade Potenzen vorliegen
dürfen, damit man wirklich den entsprechenden Minuswert erhält.
Die Tatsache, dass nur ungerade Potenzen vorkommen und der Graph durch
den Ursprung geht, beinhaltet immer Punktsymmetrie zum Ursprung.
Parabeln
Was den Verlauf von Parabeln angeht, so gibt es im wesentlichen
2 Fälle : a<0 :
a>0:
In beiden Fällen gilt : Der Graph ist achsensymmetrisch
zur senkrechten Geraden durch den Scheitel, d.h. zur
Geraden x = xS (mit xS = -b/2a).
Ist b = 0, so liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor,
ansonsten zu einer dazu parallelen Achse.
Man beachte : Normalerweise werden Geraden immer in der Form
y = mx +t beschrieben. Bei senkrechten Geraden aber liegt
keine Funktion vor, die Steigung ist unendlich. Eine
senkrechte Gerade ist vielmehr die Menge aller Punkte mit
gleichem x-Wert (und beliebigem y-Wert), daher die
Geradengleichung x= ....
Noch ein Wort zur Wertemenge einer Parabel :
- Ist a>0, so ist yS der kleinste y-Wert, also :
W = { y y ≥ yS } = [yS; ∞[ .
- Ist a<0, so ist yS der größte y-Wert, also :
W = { y y ≤ yS } = ]- ∞; yS]
Beachten Sie, dass yS jeweils zur Wertemenge hinzugehört.
Wählt man die Intervallschreibweise, so gehört - ∞ bzw. ∞
nicht dazu, weil beide keine reellen Zahlen darstellen.
Funktionen 3. Grades
Die Funktion habe die Form f(x) = ax³+bx²+cx+d.
Ist b=d=0, so liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Ansonsten liegt der Symmetriepunkt an einer anderen Stelle.
Dass eine Funktion 3. Grades immer einen Wendepunkt WP besitzt
und dieser einen Symmetriepunkt darstellt, können Sie als gegeben
annehmen (so wie jede Parabel einen Scheitel besitzt). Im Lauf des
Schuljahres wird es rechnerisch begründet werden.
Wenn Ihnen das missfällt, können Sie eine Menge von
Funktionen 3. Grades zeichnen und werden feststellen, dass immer
einer der folgenden 6 Fälle auftritt :
a>0 :
a<0 :
Sie sehen, dass es bei jedem dieser Graphen einen ausgezeichneten
Punkt, den sogenannten Wendepunkt. Was sich hier wendet, ist die
Krümmung (Stellen Sie sich etwa vor, Sie würden den Graphen auf einem
Motorrad abfahren und sich immer entsprechend in die Kurve legen. Beim
Wendepunkt müssen Sie von der einen Seite auf die andere wenden.
Der Wendepunkt wäre gerade jener Punkt, wo Sie gerade auf dem Motorrad
sitzen).
Dass der Wendepunkt immer der Punkt ist, wo die Krümmung ihr Vorzeichen
ändert, sollten Sie sich wirklich merken, damit sie ihn später
nie mit einem Hoch- oder Tiefpunkt verwechseln, bei dem die
Steigung ihr Vorzeichen wechselt.
Vielleicht sind Sie ein bisschen enttäuscht wegen der Namensgebung
des Wendepunktes. So richtig sehen Sie dem Graph das Wenden doch
gar nicht an und unter einem Wendepunkt im Leben haben Sie bisher
immer einen Punkt verstanden, wo es nach einem längeren Tiefgang
plötzlich wieder aufwärts geht (d.h. mathematisch gesprochen ein Tiefpunkt)
oder - leider - das Umgekehrte eintritt, also nach einem Anstieg plötzlich
wieder ein Fall nach unten kommt (d.h. ein mathematischen Hochpunkt).
Bedenken Sie aber bitte, dass unsere Kurven glatte, runde Kurven sind,
d.h. eine Änderung tritt dort nicht schlagartig ein (was zu einem
zackigen Graphen führen würde). So eine Änderung des Steigungsverhaltens
(auch Monotonieverhalten genannt) will also vorbereitet sein.
Die fallende Steigung muss langsam abnehmen, damit sie irgendwann bei 0
ist und in ein wirkliches Steigen übergehen kann. Und der Punkt, wo
das Tempo des Fallens beginnt abzunehmen, ist genau der Wendepunkt.
Stellen Sie sich vor, Sie sind mit dem Auto unterwegs und entscheiden
sich plötzlich, umzukehren. Das geht auch nicht auf der Stelle.
Wahrscheinlich werden Sie zuerst ihre Beschleunigung "wenden" und
bremsen, statt weiter zu beschleunigen. Wenn dann die Geschwindigkeit
herunten ist, können Sie mit dem Auto wenden und die ihre Fahrt in die
andere Richtung fortsetzen. (Bezogen auf die bisherige Fahrtrichtung
ist ihre neue Geschwindigkeit dann übrigens negativ. )
Wenn man für x die Zeit nimmt und mit f(x) die gefahrene Strecke
in eine bestimmte Richtung bezeichnet, entspricht die Steigung des Graphen übrigens der Geschwindigkeit und die
Krümmung der Beschleunigung.
Eine wichtige Anwendung in der Physik !
Im obigen Beispiel ist der Wendepunkt also der Punkt, wo Sie
sich überlegen, dass sie umkehren wollen, und nicht die Stelle, wo
Sie mit ihrem Wagen dann wirklich wenden.
Verzeihen Sie bitte den Mathematikern diese Definition und denken
Sie daran, dass es auch im täglichen Leben manchmal die eingeschlagene
Richtung noch ein bisschen beibehalten müssen, auch wenn sich Ihr
Denken gewendet hat - wenn auch nur, um das Umkehren vorbereiten zu können.
Nachdem Sie jetzt eine gewisse Vorstellung haben, was ein
Wendepunkt ist, möchten Sie vielleicht auch wissen, wie man einen
solchen berechnet. Wie man allgemein die Krümmung berechnet und dann
die Punkte mit Krümmung 0 sucht, lernen Sie in der 12. Klasse.
Für Funktionen 3. Grades aber kann ein Ergebnis vorweggenommen werden:
Es gibt dort genau eine Wendepunkt mit der x-Koordinate : -b/3a.
Die y-Koordinate bekommt man, wie sonst auch, durch Einsetzen
in den Funktionsterm.
Ergebnis : Jeder Graph einer Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch
zum WP(-b/3a, f(-b/3a)).
Beispiele : f(x) = x³ - 3x² + 4 : WP(1,2) , da f(1) = 1-3+4 =2,
f(x) = x³ - 3x + 4 : xWP = -0/3 = 0, yWP = 4
Beachten Sie bitte : gedanklich sind 0x² zu ergänzen, also ist b=0.
Beachten Sie außerdem : Sie müssen immer das a und das b aus dem
ursprünglichen Funktionsterm verwenden, nicht etwa die Werte, die Sie
bei der Polynomdivision für einen quadratischen Faktor erhalten.
Was übrigens die Wertemenge einer Funktion 3. Grades angeht, so
ist sie immer ganz R, weil die Funktion ja entweder (für a>0)
von unten nach oben oder (für a<0) von oben nach unten geht.