Ermitteln der Wahrscheinlichkeit durch Baumdiagramm,
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Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe Übungsaufgaben I Stochastik Schuljahr 2015/2016 Kurs: Mathematik AHR 13.1 Kurslehrer: Langenbach Aufgabe 1 Anna wirft fünfmal eine Münze und erhält dabei vier mal Wappen. Sie stellt darauf hin folgende Behauptungen auf: A: Bei dieser Münze ist Wahrscheinlichkeit für „Wappen“ 0,8. B: Die Chance, dass „Wappen“ fällt ist größer als die für „Zahl“. Ben ist nicht Annas Meinung. Er stellt die folgende Behauptung auf: C: Wenn man diese Münze tausend mal wirft, muss etwa 500 mal „Wappen“ fallen. Nehmen Sie Stellung zu den Behauptungen der beiden. A: Bei dieser Münze ist Wahrscheinlichkeit für „Wappen“ 0,8. Hier wurde die Wahrscheinlichkeit und die relative Häufigkeit verwechselt. Der Anteil von „Wappen“ an den bisher durchgeführten Würfen beträgt 80 % oder 0,8. Dies ist (in der Regel) nicht identisch mit der Wahrscheinlichkeit für „Wappen“ bei zukünftigen Würfen. B: Die Chance, dass „Wappen“ fällt ist größer als die für „Zahl“. Auch her wurde die Wahrscheinlichkeit und die relative Häufigkeit verwechselt. Um anhand der durchgeführten Würfe eine Prognose über zukünftige Ergebnisse wagen zu können, muss man wesentlich mehr Versuche durchführen („Gesetz der großen Zahlen“). Erst dann nähert sich die relative Häufigkeit der potentiellen Wahrscheinlichkeit an. C: Wenn man diese Münze tausend mal wirft, muss etwa 500 mal „Wappen“ fallen. Diese Behauptung sollte richtig sein. Bei einer „fairen“ Münze, die weder verbogen, noch auf andere Art ungleichmäßig ist, kann man davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit für „Wappen“ 0,5 beträgt. Daher sollte bei einer Zahl von 1000 Würfen („Gesetz der großen Zahlen“) die relative Häufigkeit etwa der potentiellen Wahrscheinlichkeit entsprechen. Aufgabe 2 An einer Losbude auf einem Jahrmarkt hängt das nebenstehende Schild. Welche der folgenden Aussagen treffen zu und welche nicht. Begründen und erläutern Sie Ihre Entscheidung. Jedes dritte Los gewinnt! Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe A: Ein Drittel aller Lose sind Gewinne. Übungsaufgaben I Stochastik Schuljahr 2015/2016 Kurs: Mathematik AHR 13.1 Kurslehrer: Langenbach richtig Wenn die Aussage „jedes dritte Los gewinnt“ korrekt ist, bedeutet sie, dass von allen Losen – im Durchschnitt - jeweils eins von dreien ein Gewinn sein sollte, was nur dann der Fall sein kann, wenn ein Drittel aller Lose Gewinne sind. B: Wenn man drei Lose kauft ist ein Gewinn dabei. falsch Das Schild bedeutet lediglich, dass von allen Losen – im Durchschnitt - jeweils eins von dreien ein Gewinn sein sollte. Dies bedeutet keinesfalls, dass immer bei drei Losen auch ein Gewinn dabei ist, da für jedes einzelne Los stets wieder neu die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn 1/3 beträgt. (Zumindest bei einer ausreichend großen Zahl von Losen. Ansonsten würde sich die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn nach dem Ziehen jedes Loses auch wieder verändern, da die Gesamtzahl der Lose immer eine andere ist. Bei einer „ausreichend großen Zahl von Losen“ wird jedoch davon ausgegangen, dass sich die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn nur marginal verändert, daher wird mit einer gleichbleibenden Wahrscheinlichkeit gerechnet.) C: Wenn man mehr als drei Lose kauft, ist bestimmt ein Gewinn dabei. falsch Analog zur Argumentation von oben (B) ist die Aussage keinesfalls immer richtig. Dennoch wird durch die Zahl der Versuche natürlich die Wahrscheinlichkeit erhöht mindestens einen Gewinn zu erzielen. D: Wenn man drei Lose kauft, können nicht drei Gewinn dabei sein. falsch Wenn für jedes einzelne Los stets wieder neu die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn 1/3 beträgt, heißt das, dass auch bei jedem neuen Los ein Gewinn gezogen werden kann. Dies führt dazu, dass auch drei Gewinne möglich sind (wenn sie auch weniger Wahrscheinlich sind als 3 Nieten). E: Die Chance auf einen Gewinn beträgt 1/3. richtig Wenn ein Drittel aller Lose Gewinne sind ergibt sich entsprechend der Regel von Laplace eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 für einen Gewinn. F: Wenn man 20 Lose kauft, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn größer als 99 %. richtig Die Aufgabenstellung bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit dafür mindestens einen Gewinn zu erzielen. Die einzige Möglichkeit keinen Gewinn zu haben wäre es, immer eine Niete zu ziehen. Beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn 1/3, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn 2/3 (der „Rest zu 100 % bzw. zu 1). Um die Wahrscheinlichkeit für 20 Nieten zu bestimmen, müsste man 20 mal 2/3 20 0,0003 . miteinander multiplizieren 32 Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 0,03%, also deutlich weniger als 1 %. Somit muss die Wahrscheinlichkeit darauf, mindestens einen Gewinn zu erzielen entsprechend auch größer als 99 % sein. Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe Übungsaufgaben I Stochastik Schuljahr 2015/2016 Kurs: Mathematik AHR 13.1 Kurslehrer: Langenbach Aufgabe 3 Die Anfangsbuchstaben der Wörter in deutschen Texten weisen bestimmte typische (relative) Häufigkeiten auf. Bestimmen Sie die relative Häufigkeit des Anfangsbuchstaben D bei den Wörtern auf diesem Aufgabenblatt. Der Buchstabe D ist der häufigste Anfangsbuchstabe in deutschen Texten. Er tritt (bei längeren Texten) im Mittel mit einer relativen Häufigkeit von 14,2 % auf. (Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Buchstabenhäufigkeit) Bewerten Sie vor diesem Hintergrund die Häufigkeit des Anfangsbuchstaben D auf diesem Aufgabenblatt. Welche Bedeutung hätte es, wenn in einem Text der Anfangsbuchstabe D mit einer Häufigkeit von 3 % bzw. von 33 % als Anfangsbuchstabe auftritt? LÖSUNG Siehe unten („Anhang“) Aufgabe 4 Bei einer Umfrage zur Bürgermeisterwahl in Marienstadt werden 500 Wahlberechtigte nach ihren Wahlabsichten befragt. 28 wollen sich für Kandidat Abel entscheiden. 165 würden den Kandidaten Bernoulli bevorzugen und 222 wollen den Kandidaten Cantor wählen. Die restlichen Befragten haben sich für den Kandidaten Laplace entschieden. Bestimmen Sie anhand dieser Umfrage die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: A: Kandidat Abel wird Bürgermeister B: Kandidat Cantor wird Bürgermeister C: Kandidat Abel oder Kandidat Cantor werden Bürgermeister D: Kandidat Cantor wird nicht Bürgermeister Lösung: p( A ) 28 0,056 ˆ 5,6% 500 p( B ) 222 0,444 ˆ 44,4% 500 p( C ) 250 0,5 ˆ 50% 500 p( D ) p B 278 0,556 ˆ 55,6% 500 bzw. p( D ) p B 1 p( B ) 1 0,444 0,556 ˆ 55,6 % Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe Übungsaufgaben I Stochastik Schuljahr 2015/2016 Kurs: Mathematik AHR 13.1 Kurslehrer: Langenbach Aufgabe 5 In Ihrer Klasse wird eine Schülerin bzw. ein Schüler ausgelost. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Geburtstag dieser Schülerin bzw. dieses Schülers a) im April liegt. b) nicht im April liegt. c) auf den 30 April fällt. d) auf den 31 April fällt. e) in diesem Jahr auf einen Sonntag fällt. p( a ) 1 0,083 ˆ 8,3% 12 p( d ) 0 0 ˆ 0% 365 p( b ) 1 1 1 0,083 0,917 ˆ 91,7% 12 p( e ) 1 0,143 ˆ 14,3% 7 p( c ) 1 0,003 ˆ 0,3% 365 Aufgabe 6 In einem Restaurant gibt es die Vorspeisen V1, V2 und V3 sowie die Hauptspeisen H1, H2, H3 und H4. a) Geben Sie die Ergebnismenge für das Experiment „Auswahl eines Menüs, bestehend aus Vorspeise und Hauptspeise“ an. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast die Kombination V1 und H1 auswählt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast ein Menü mit der Vorspeise V1 auswählt? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast ein Menü auswählt, das nicht die Vorspeise V1 enthält? LÖSUNG: V1 / H1; V1 / H2 ; V1 / H3 ; V1 / H4 ; a) V2 / H1; V2 / H2 ; V2 / H3 ; V2 / H4 V3 / H1; V3 / H2 ; V3 / H3 ; V3 / H4 b) p( b ) 1 0,083 ˆ 8,3% 12 c) p( c ) 4 0,33 ˆ 33% 12 d) p( d ) 1 p( c ) 1 4 1 0,33 ˆ 67% 12 (Es gilt: 12 ) Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe Übungsaufgaben I Stochastik Schuljahr 2015/2016 Kurs: Mathematik AHR 13.1 Kurslehrer: Langenbach ANHANG: Aufgabe 1 Anna wirft fünfmal eine Münze und erhält dabei vier mal Wappen. Sie stellt darauf hin folgende Behauptungen auf: A: Bei dieser Münze ist Wahrscheinlichkeit für „Wappen“ 0,8. B: Die Chance, dass „Wappen“ fällt ist größer als die für „Zahl“. Ben ist nicht Annas Meinung. Er stellt die folgende Behauptung auf: C: Wenn man diese Münze tausend mal wirft, muss etwa 500 mal „Wappen“ fallen. Nehmen Sie Stellung zu den Behauptungen der beiden. Aufgabe 2 An einer Losbude auf einem Jahrmarkt hängt das nebenstehende Schild. Welche der folgenden Aussagen treffen zu und welche nicht. Begründen Jedes dritte Los gewinnt! und erläutern Sie Ihre Entscheidung. A: Ein Drittel aller Lose sind Gewinne. B: Wenn man drei Lose kauft ist ein Gewinn dabei. C: Wenn man mehr als drei Lose kauft, ist bestimmt ein Gewinn dabei. D: Wenn man drei Lose kauft, können nicht drei Gewinn dabei sein. E: Die Chance auf einen Gewinn beträgt 1/3. F: Wenn man 20 Lose kauft, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn größer als 99 %. Aufgabe 3 Die Anfangsbuchstaben der Wörter in deutschen Texten weisen bestimmte typische (relative) Häufigkeiten auf. Bestimmen Sie die relative Häufigkeit des Anfangsbuchstaben D bei den Wörtern auf diesem Aufgabenblatt. Der Buchstabe D ist der häufigste Anfangsbuchstabe in deutschen Texten. Er tritt (bei längeren Texten) im Mittel mit einer relativen Häufigkeit von 14,2 % auf. (Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Buchstabenhäufigkeit) Bewerten Sie vor diesem Hintergrund die Häufigkeit des Anfangsbuchstaben D auf diesem Aufgabenblatt. Welche Bedeutung hätte es, wenn in einem Text der Anfangsbuchstabe D mit einer Häufigkeit von 3 % bzw. von 33 % als Anfangsbuchstabe auftritt? Hinweis: Dieses Aufgabenblatt besteht aus 487 Worten. Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe Übungsaufgaben I Stochastik Schuljahr 2015/2016 Kurs: Mathematik AHR 13.1 Kurslehrer: Langenbach Aufgabe 4 Bei einer Umfrage zur Bürgermeisterwahl in Marienstadt werden 500 Wahlberechtigte nach ihren Wahlabsichten befragt. 28 wollen sich für Kandidat Abel entscheiden. 165 würden den Kandidaten Bernoulli bevorzugen und 222 wollen den Kandidaten Cantor wählen. Die restlichen Befragten haben sich für den Kandidaten Laplace entschieden. Bestimmen Sie anhand dieser Umfrage die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: A: Kandidat Abel wird Bürgermeister B: Kandidat Cantor wird Bürgermeister C: Kandidat Abel oder Kandidat Cantor werden Bürgermeister D: Kandidat Cantor wird nicht Bürgermeister Aufgabe 5 In Ihrer Klasse wird eine Schülerin bzw. ein Schüler ausgelost. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Geburtstag dieser Schülerin bzw. dieses Schülers f) im April liegt. g) nicht im April liegt. h) auf den 30 April fällt. i) auf den 31 April fällt. j) in diesem Jahr auf einen Sonntag fällt. Aufgabe 6 In einem Restaurant gibt es die Vorspeisen V1, V2 und V3 sowie die Hauptspeisen H1, H2, H3 und H4. e) Geben Sie die Ergebnismenge für das Experiment „Auswahl eines Menüs, bestehend aus Hauptspeise und Vorspeise“ an. f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast die Kombination V1 und H1 auswählt? g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast ein Menü mit der Vorspeise V1 auswählt? h) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast ein Menü auswählt, das nicht die Vorspeise V1 enthält? 492 Worte --- 62 beginnen mit d h(" d" ) 62 0,126 das entspricht ca. 13 % !! 492
