Hauptsatz der linearen Optimierung

Lineare Optimierung
1. Was ist lineare Optimierung?
Im Jahre 1948 wurden beim Wiederaufbau der Stadt Moskau Mathematiker damit
beauftragt, den Transport von Kies aus 20 Kiesgruben zu 230 Baustellen
kostensparend zu optimieren. Mit Hilfe der linearen Optimierung konnte eine
Kostensenkung von 10% gegenüber dem ursprünglichen Preis erreicht werden.
W. Knödl von der TU Wien errechnete 1960 mit Hilfe der linearen Optimierung
einen optimalen Kostenplan für den Transport von Zucker aus fünf
österreichischen Zuckerfabriken an alle 300 österreichischen Großhändler. Auch
hier konnten die Transportkosten um 10 % gesenkt werden.
Heute wird die lineare Optimierung im Transportwesen angewendet, um
Transportkosten zu senken, in der Landwirtschaft, um Nutzflächen optimal
auszunützen, in der Organisationsplanung, um die günstigsten Stunden- und
Schichtpläne zu ermitteln usw.
Wir beschränken uns hier auf die Grundidee der linearen Optimierung und
beschränken uns auf 2 Variablen.
2. Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen
Eine lineare Gleichung mit 2 Variablen lautet:
implizite Form:
−𝑥 + 2𝑦 = 2
Durch Umformen erhalten wir die
explizite Form:
1
𝑦 = 2𝑥 + 1
Grafisch ergibt sich eine Gerade.
Verwendet man statt dem Gleichheitszeichen ein Ungleichheitszeichen, so erhalten
wir eine lineare Ungleichung.
1
−𝑥 + 2𝑦 < 2 wird zu 𝑦 < 2 𝑥 + 1.
Graphisch erhalten wir als Lösung eine Halbebene.
Achtung:
2𝑥 − 𝑦 < 3
wird zu: 2𝑥 < 3 + 𝑦
wird zu: 2𝑥 − 3 < 𝑦
also: 𝑦 > 2𝑥 − 3
2𝑥 − 𝑦 < 3
wird zu: −𝑦 < −2𝑥 + 3
mit (-1) multipliziert
also: 𝑦 > 2𝑥 − 3
MERKSATZ:
Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert (oder dividiert), ändert
sich das Ungleichheitszeichen.
Verbindet man mehrere lineare Ungleichungen durch eine „und“-Verknüpfung,
so wird der Lösungsbereich weiter eingeschränkt.
3. Was ist eine Zielfunktion
Ziel jeder Wirtschaftstätigkeit ist es, knappe Güter möglichst wirksam einzusetzen.
Das ökonomische Prinzip tritt dabei in folgenden zwei Formen auf:
Beim Maximalprinzip soll aus einem gegebenen Bestand an Mitteln ein möglichst
großer Nutzen oder Gewinn erzielt werden.
Beim Minimalprinzip soll ein gesetztes Ziel durch möglichst kleinen Aufwand oder
geringe Kosten erreicht werden.
Wirtschaften bedeutet, ein Optimierungsproblem zu lösen.
Lineare Ungleichungssysteme leisten einen wichtigen Beitrag, um
Optimierungsprobleme mit folgender Grundstruktur zu lösen:
Zielfunktion, die angibt, welche Größe maximiert oder minimiert werden soll, und
Nebenbedingungen, die den zulässigen Planungsbereich der Variablen begrenzen.
Sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen sind dabei lineare
Funktionen.
Hauptsatz der linearen Optimierung:
Die Zielfunktion erreicht ihr Maximum oder Minimum stets am Rand des
zulässigen Bereichs. In den meisten Aufgabenstellungen ist die Lösung eindeutig
und liegt in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs.
Lösungsweg:
Liegen nur zwei Variable vor, so kann die Lösung in einfacher Weise graphisch
erfolgen. Dabei wird zuerst der zulässige Bereich durch Zeichnen der Randgeraden
ermittelt, die den linearen Ungleichungen entsprechen.
Anschließend setzt man den Zielfunktionswert gleich Null, sodass die zugehörige
Gerade einfach zu zeichnen ist. Diese Gerade verschiebt man parallel soweit nach
außen wie möglich (Maximum) bzw. soweit nach innen wie möglich (Minimum), bis
sie den Eckpunkt mit optimalem Zielfunktionswert erreicht.
Bemerkung:
1) Meistens gibt es nur einen Lösungspunkt. Es kann aber auch vorkommen, dass
die Gerade g zu einer Begrenzungsgeraden parallel ist. Jeder Punkt der Geraden
ist dann Lösungspunkt.
2) Die hier beschriebene graphische Lösungsmethode ist nur für zwei (höchstens
drei) Variable anwendbar. In der Praxis treten viel mehr Variable auf; solche
Verfahren sind nur noch mit rechnerischen Methoden (EDV!!) zu bewältigen.
4. Zusammenfassung
Hier nochmals die einzelnen Schritte zur Bearbeitung von linearen
Optimierungsaufgaben:
 Den Text genau durchlesen und Notizen machen. Eine Tabelle ist meist sehr
hilfreich.
 Wonach ist gefragt? Genaue Angabe, was mit x, was mit y angesetzt wird.
 Welche Bedingungen?
Aus dem Text das Ungleichungssystem erstellen.
Die Nichtnegativitätsbedingung hinzufügen.
 Was soll maximiert (minimiert) werden?
Aus dem Text die Zielfunktion erstellen.
 Ungleichungssystem und Zielfunktion alle nach y umformen.
 Ungleichungssystem zeichnen.
 Zielfunktion mit Z = 0 eintragen.
 Zielfunktion bei Maximierung so weit wie möglich parallel nach außen
verschieben.

 Zielfunktion bei Minimierung so weit wie möglich parallel nach innen
verschieben.
 Ermitteln des optimalen Punktes und der Geraden, deren Schnittpunkt dieser
Punkt ist.
 Berechnen des optimalen Punktes mit Eliminationsverfahren oder
Matrizenumformung oder ...
 Formulieren des Antwortsatzes.
5. Einführungsbeispiele zur linearen Optimierung
1) Zwei Weinhändler bieten je eine spezielle Sorte von Rot- und Weißwein als
Sonderangebot in einem Festzelt an. Die Zahl der pro Tag verkauften
Weißweinflaschen ist mit x bezeichnet, jene der Rotweinflaschen mit y.
a) Weinhändler Weininger kann erfahrungsgemäß bei diesem Fest höchstens
20 Flaschen Rotwein pro Tag verkaufen. Er kann pro Tag aber höchstens
30 Flaschen bei seinem Verkaufsstand unterbringen.
Der Gewinn beträgt bei einer Flasche Weißwein € 1,50 und bei einer
Flasche Rotwein € 2,50.
Der Händler möchte seine Verteilung der Weinflaschen so gestalten, dass
er maximalen Gewinn hat.


Gib alle notwendigen Ungleichungen an, die durch obigen Sachverhalt
beschrieben werden.
Stelle die Gleichung der Zielfunktion auf.
b) Der Verkauf von Weiß- und Rotweinflaschen des Weinhändlers Fassbinder
bei diesem Fest wird in folgender Grafik veranschaulicht:

Lies die Ungleichungen ab, die den Lösungsbereich begrenzen.
Die Zielfunktion lautet Z = 2x + 4y




Zeichne die Zielfunktion in die Grafik ein.
Lies aus der Grafik ab, bei welcher Verteilung der Weinflaschen der
Händler einen maximalen Gewinn erzielt.
Berechne den maximalen Gewinn.
Interpretiere die Bedeutung der Zahl 4 in der Zielfunktion im
Sachzusammenhang.
2) Eine kleine Fluglinie erhält von einem Reiseunternehmen den Auftrag, für
ein Urlaubsprogramm täglich mindestens 600 Personen sowie zusätzlich
min. 12 000 kg Nutzlast zu befördern. Um diesen Auftrag zu erfüllen,
muss die Fluglinie Flugzeuge mieten. Zur Auswahl stehen 2 Typen:
Typ A kann höchstens 40 Personen sowie 1 000 kg Nutzlast befördern.
Typ B kann höchstens 56 Personen sowie 800 kg Nutzlast befördern
Die Mietkosten betragen € 40.000 für das Flugzeug Typ A und € 50.000
für das Flugzeug Typ B jeweils pro Maschine.
a) Gib die notwendigen Ungleichungen an, die durch obigen Sachverhalt
beschrieben werden.
Stelle die Gleichung der Zielfunktion auf.
b) Die folgende Grafik zeigt den mathematischen Sachverhalt:




Argumentiere, ob das Ziel der Kostenminimierung erreicht werden
kann, wenn 10 Flugzeuge Typ A und 10 Flugzeuge Typ B zur
Verfügung stehen.
Bestimme, wie viel von jedem Typ man mieten soll, wenn die
Mietkosten minimal sein sollen.
Argumentiere, ob der Auftrag bewältigt werden kann, wenn 3
Flugzeuge Typ A und 10 Flugzeuge Typ B zur Verfügung stehen.
Erkläre, was sich an der Lösung ändert, wenn sich die Mietkosten vom
Flugzeug Typ A von € 40.000 auf € 30.000 reduzieren.
Ergebnisse:
1a) x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 20, x + y ≤ 30, Z = 1,5x + 2,5y -> max b) x ≥ 0; y ≥ 0, x ≤ 30, y ≤ 50, x + y ≤ 60; 10 Fl. W., 50 Fl.
R, Gewinn: € 220; 4 bedeutet € 4 Gewinn pro Flasche Rotwein
2a) x ≥ 0, y ≥ 0, 40x+56y ≥ 600, 1 000x + 800y ≥ 12 000, b) Wenn man je 10 Flugzeuge anmietet, dann ist die
Auslastung nicht optimal und die Mietkosten sind zu hoch: € 900.000; optimal: 8 Flugzeuge vom Typ A und 5
Flugzeuge vom Typ B; Mit 3 Flugzeugen Typ A und 10 Flugzeugen Typ B kann der Auftrag nicht erfüllt werden.
Der Punkt (3|10) liegt außerhalb des Lösungsbereichs, das bedeutet, dass die geforderte Menge der Personen oder
der Nutzlast damit nicht transportiert werden kann. Hier kann die Nutzlast nicht transportiert werden. d) Die
Kostenfunktion verläuft dadurch flacher, die optimalen Mietkosten werden mit 15 Flugzeugen nur des Typs A
erreicht
6. Weitere Beispiele zur linearen Optimierung
1a) Kennzeichne jene der folgenden Ungleichungen,
die hier grafisch veranschaulicht ist.
 y≤3
 6x - y < 1
 -6 ≤ - 2x-3y
 2y ≥ -3x+2
 y ≤ 2/3x + 2
b) Kennzeichne, jene Zahlenpaare die
Elemente der Lösungsmenge sind:
 (0|0)
 (-1|2)
 (1|2)
 (-3|-3)
 (-3|4)
 (3|1)
c) Erkläre, wie viele Elemente die Lösungsmenge enthält.
2) Eine Automobilfabrik erzeugt Personenkraftwagen der Marke „Bendis“ und
Motorräder der Marke „Dolos“. Pro Monat können höchstens 600 Bendis
hergestellt werden. Insgesamt kann die Fabrik nicht mehr als 800
Fahrzeuge pro Monat herstellen. Die Reifenfabrik kann höchstens 2 600
Reifen pro Monat liefern. Bei einem Fahrzeug der Type Bendis werden
€ 3.000, bei einem Fahrzeug der Type Dolos € 2.000 verdient.
a) Stelle das Ungleichungssystem auf, das für die Herstellung der beiden
Produkte zu berücksichtigen ist.
Ermittle die Zielfunktion, wenn die Firmenleitung einen möglichst großen
Monatsgewinn machen möchte.
b) Eine andere Automobilfabrik erzeugt ebenfalls „Bendis“ und „Dolos“.
Die folgende Grafik beschreibt die Situation dieser Fabrik.
Die Zielfunktion lautet:
Ermittle grafisch, wie viel Stück
jeder Marke produziert werden
müssen, damit der Gewinn
maximal wird. Berechne den
maximalen Gewinn.
c) Nach einer Umstrukturierung
ergeben sich für den Planungsbereich und die Zielfunktion neue
Bedingungen.
Begründe, warum es hier keine eindeutige Lösung gibt.
Gib mindestens zwei mögliche
Lösungen an.
3) Eine Kleiderfabrik stellt x Hosen und y Röcke her. Täglich kann man
höchstens 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht
mehr als 140 Stück.
Die Herstellungskosten betragen € 20 für eine Hose und € 15 für einen
Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt € 45 und je Rock € 35.
Stelle das Ungleichungssystem auf, das diesen Sachverhalt beschreibt.
Stelle den Lösungsbereich grafisch dar.
Ermittle die Zielfunktion, wenn man maximalen Gewinn anstrebt.
Zeichne die Zielfunktion in die Grafik ein.
Lies aus der Grafik ab, wie viele Röcke und Hosen täglich gefertigt werden
sollen, wenn der maximale Gewinn das Ziel ist.
Berechne den maximalen Gewinn.
4) a) Bauer Kalb hat 45 ha Land für den Anbau von x ha Braugerste und y
ha Zuckerrüben zur Verfügung.
Für die Frühjahrsarbeiten sind bei Braugerste 50 Stunden, bei
Zuckerrüben 110 Stunden je Hektar erforderlich. Während dieser Zeit
stehen insgesamt 2800 Stunden zur Verfügung. Für die Erntearbeit sind
bei der Braugerste 50 Stunden, bei den Zuckerrüben 80 Stunden je
Hektar notwendig. Während dieser Zeit stehen insgesamt 2000 Stunden
zur Verfügung.
Wegen des notwendigen Fruchtwechsels dürfen nicht mehr als 20 Hektar
Braugerste angebaut werden.
Gib alle Nebenbedingungen an, die folgendes Optimierungsproblem
beschreiben.
b) Bauer Dietrich baut x ha Mais und y ha Weizen an.
Das folgende Ungleichungssystem beschreibt seine
Produktionsbeschränkungen.
𝑥 + 𝑦 ≤ 50
40𝑥 + 120𝑦 ≤ 2600
40𝑥 + 80𝑦 ≤ 2400
𝑦 ≤ 15
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
Stelle den Lösungsbereich grafisch dar.
Argumentiere, ob Bauer Dietrich 40 ha Mais und 10 ha Weizen anbauen
kann.
c) Der Lösungsbereich von Bauer Müller ist in der folgenden Grafik
dargestellt.
Der Gewinn bei einem Hektar Gerste beträgt € 400, bei einem Hektar
Zuckerrüben € 1600. Die Fläche soll so genutzt werden, dass der
Gesamtgewinn maximal wird.



Stelle die Zielfunktion auf.
Ermittle, wie viel Hektar Braugerste und wie viel Hektar Zuckerrüben
der Bauer anbauen soll, damit der Gewinn maximal wird.
Berechne seinen Gewinn.
Durch neue Förderrichtlinien erhöht sich der Gewinn pro Hektar Gerste auf
€ 600, bei Zuckerrüben fällt er auf € 1200.
 Argumentiere, ob Bauer Müller nun seinen Bebauungsplan ändern soll.
5) Biogas ist ein alternativer Energieträger. Es kann unter anderem aus
Mais- oder Zuckerrüben gewonnen werden. Der Hauptbestandteil von
Biogas ist Methan.
x … Ackerfläche in Hektar (ha), auf der Mais angebaut wird
y … Ackerfläche in Hektar (ha), auf der Zuckerrüben angebaut werden
a) Eine Landwirtin hat insgesamt höchstens 40 Hektar (ha) Anbaufläche
zur Verfügung.
Sie will mindestens 5 ha Mais und mindestens 10 ha Zuckerrüben
anbauen.
Außerdem möchte sie einen Ertrag von mindestens 480 000 m3 Biogas
erzielen.
Sie möchte die Kosten für die Erzeugung von Methan möglichst gering
halten.
In der folgenden Tabelle sind die Kosten und Erträge aufgelistet:
Energiemais
Zuckerrüben
Produktionskosten
für Methan in €/m3
0,2
0,25
Methanertrag
in m3/ha
6 400
7 000
Biogasertrag
in m3/ha
11 000
12 600
- Stelle die notwendigen Ungleichungen auf.
- Ermittle die Zielfunktion.
b) Ein Landwirt ermittelt für seine Biogasproduktion folgende Zielfunktion
der entstehenden Kosten:
Z = 1 050 ∙ x + 1 500 ∙ y
Z … Kosten in Euro (€)
– Zeichne die Zielfunktion für die optimale Lösung in die nachstehende
Grafik mit dem grau unterlegten Lösungsbereich ein.
– Lies aus der Grafik diejenigen Ackerflächen für Mais und Zuckerrüben
ab, für die die Kosten minimal werden.
– Berechne die entstehenden minimalen Kosten.
c) Mögliche Werte für x und y werden durch folgende 6 Ungleichungen
beschrieben:
(1) x ≥ 10 (2) x ≤ 62 (3) y ≥ 8 (4) y ≤ 60 (5) y ≥ –0,75∙x + 70 (6) y ≥ –0,52∙x + 62
– Zeichne diejenige Fläche, die durch diese Ungleichungen bestimmt ist.
6) Für zwei unterschiedliche Produkte P1 und P2, die jeweils drei
verschiedene Abteilungen durchlaufen, sind die Fertigungszeiten und die
zeitliche Kapazität der Abteilungen in Minuten pro Tag in der folgenden
Tabelle ersichtlich:
Abteilung
Fertigung P1
Fertigung P2
Kapazität/Tag
A1
1 Minute
3 Minuten
13 Minuten
A2
7 Minuten
10 Minuten
50 Minuten
A3
7 Minuten
12 Minuten
90 Minuten
a) Stelle für diesen Fall das Ungleichungssystem für alle Arbeitsbedingungen
(Restriktionen) auf.
b) Zwei weitere Produkte P3 und P4, laufen in anderen drei Abteilungen
durch, wobei die Tageskapazitäten für A1 100 Minuten, für A2 490
Minuten und für A3 600 Minuten pro Tag betragen. Für diese Produkte
liegt die nebenstehende Grafik mit angezeigter Lösungsmenge vor.
Lies die Gleichung der linearen Funktion a aus der Grafik ab.
Interpretiere die lineare Funktion a in Bezug auf die Produktionsdauer der
Produkte P3 und P4, wenn a Abteilung A1 beschreibt.
Der Verkaufspreis beträgt € 12,50 pro Stück des Produkts P3 und € 10
pro Stück von P4. Die Herstellungskosten belaufen sich auf € 9,50 (P3)
bzw. € 4 pro Stück (P4).
Ermittle die Mengen von P3 und P4, die einen optimalen Tagesgewinn
sicherstellen.
Berechne den maximalen Gewinn.
7) Im Monat benötigt ein Mensch mindestens 600 mg Vitamin B und 300 mg
Vitamin H. Um diesen Bedarf für die 30 Mitarbeiter einer
Forschungsstation in der Antarktis zu decken, kann der leitende Arzt zwei
verschiedene Präparate einsetzen.
In einer Tablette VitaVita sind 30 mg Vitamin B und 10 mg Vitamin H
enthalten. In einer Tablette Bellavit sind 10 mg Vitamin B und 20 mg
Vitamin H enthalten. Die Packung VitaVita mit 50 Tabletten kostet € 6,
die Packung Bellavit mit 100 Tabletten € 8.
Der Einsatz auf der Forschungsstation dauert fünf Monate.
Ermittle, wie viele Packungen von jedem der beiden Medikamente der Arzt
bestellen muss, um den Bedarf mit möglichst geringen Kosten
abzudecken.
8) Ein Goldschmied stellt 2 Arten von Armbändern her: A und B. Jedes
Armband soll mindestens 10 g Gold enthalten. A enthält mindestens 20 g
Silber und 10 Diamantsplitter, B enthält mindestens 50 g Silber und 40
Diamantsplitter.
Der Goldschmied erhält dafür 207 g Gold, 600 g Silber und 450 Splitter.
Fertigungszeit laut Vertrag: 46 Stunden.
Für ein Armband vom Typ A benötigt man 3 Stunden, für ein Armband
vom Typ B 2 Stunden Arbeitszeit.
Für ein Armband vom Typ A wird ein Erlös von € 200, für ein Armband
vom Typ B ein Erlös von € 270 erzielt.
Nicht benötigte Materialien müssen zurückgegeben werden.
Ermittle, wie viele Armbänder der Goldschmied herstellen soll, damit der
Erlös maximal ist.
Bestimme, wie viel Material zurück gegeben werden muss.
Ergebnisse:
1a) ‐6 < ‐ 2x‐3y b) (0/0); (-1/2): (‐3/‐3) c) Unendlich viele Lösungspaare. Eine Gerade ist unendlich lang, daher ist
die Halbebene unbegrenzt und enthält somit unendlich viele
Zahlenpaare d.h. Punkte
2a) 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑥 ≤ 600; 𝑥 + 𝑦 ≤ 800; 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 2600; 𝑍 = 3000𝑥 + 2000𝑦 →
𝑀𝑎𝑥. b) Bendis: 500 Stück; Dolos: 400 Stück; GMax.=700.000 €; c)
Zielfunktion und Gerade durch D und E sind parallel; mögliche
Lösungen: 400 Bendis und 600 Dolos oder 500 Bendis und 300 Dolos
oder 600 Bendis und keine Dolos
3) 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑥 ≤ 70; 𝑦 ≤ 100; 𝑥 + 𝑦 ≤ 140;; 𝑍 = 25𝑥 + 20𝑦 → 𝑀𝑎𝑥. 70
Hosen, 70 Röcke, Gewinn = € 3150
4a) 𝑥 + 𝑦 ≤ 45; 50𝑥 + 110𝑦 ≤ 2800; 50𝑥 + 80𝑦 ≤ 2000; 𝑥 ≤ 20; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
b) Nein, da der Punkt außerhalb des Lösungsbereichs liegt (die
vorhandene Arbeitszeit im Frühjahr reicht nicht aus)
c) Z=400x+1600y; 20 ha Braugerste, 15 ha Zuckerrüben;
GMAX = € 32.000 ZNEU=600x+1200y
GMAX nun bei 40 ha Gerste und 8 ha Zuckerrüben
5a) x ≥ 5; y ≥ 10; x + y ≤ 40; 11 000∙x + 12 600∙y ≥ 480 000;
Z = 1 280∙x + 1 750∙y
b) Es werden 10 ha Mais und 29 ha Zuckerrüben angepflanzt.
Die minimalen Kosten betragen daher € 54.000.
6) a: x+ 3y ≤ 13; b: 7x + 10y ≤ 50; c: 7x + 12y ≤ 90; x ≥ 0;
y ≥ 0 b) 8x + 20y ≤100; Das Produkt P3 bleibt 8 Minuten in A1.
Das Produkt P4 bleibt 20 Minuten in A1.
Es sollen 5 Stück von P3 und 3 Stück von P4 hergestellt werden,
das ergibt einen Tagesgewinn von € 33
7) 54 Packungen Vitavita, 9 Packungen Bellavit
8) A: 10 Stk, B : 8 Stk, Rückgabe: 27 g Gold, kein Silber, 30 Diamantensplitter