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•Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg
•Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-5: Lineare Funktionen 2
• LehrerInnenteam
In diesem Arbeitsblatt behandeln wir die Grundlagen linearer Funktionen.
Zwei mögliche Schreibweisen einer linearen Funktion lauten
f ( x)  k  x  d
y kxd
Die Bedeutung von k und d wird unten ausgeführt.
x kann jeder Wert der Definitionsmenge D sein, meisten wird die Menge
der reellen Zahlen ℝ als Definitionsmenge angenommen (oder eine andere Menge, je nach
Kontext eines Beispiels); das bedeutet, „alle Zahlen“ sind auf der x-Achse „erlaubt“.
Beispiel: f(x)=2x + 0
Zum Zeichnen des Graphen nehmen wir einige willkürlich ausgewählte
x-Werte und bestimmen durch Einsetzen in den Funktionsterm die zugehörigen
Funktionswerte f(x):
x
-3
-2
-1
0
1
2
f(x)
-6
-4
-2
0
2
4
Anschließend zeichnen wir die Punkte und verbinden sie.
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Beispiel: f(x)=2x + 3
Der Graph von f(x) schneidet die y-Achse an der Stelle 3. Das erhält man sehr schnell, wenn
im Funktionsterm für x den Wert Null einsetzt.
Erkenntnis:
d ist der Wert auf der y-Achse, bei dem der Graph der linearen Funktion
f ( x)  k  x  d
die y-Achse schneidet.
Bedeutung von k
k bedeutet die Steigung der linearen Funktion.
Die Steigung kann auf mehrere Arten verstanden werden.
Zur Bestimmung von k können Sie ein beliebig großes Dreieck in dieser Form zeichnen:
2
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Die Steigung k ist das Verhältnis von Δy zu Δx.
y
Also k 
x
Beim obigen Beispiel f(x)=2x + 3 ist
eines dieser möglichen „Steigungsdreicke“ in der Graphik gezeichnet.
Die Steigung ist hier also 2
Sie können aber auch jedes ähnliche Dreieck zur Bestimmung von k verwenden.
3
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Die Bedeutung von k kann auch so verstanden werden:
„geht man um 1 nach rechts“ (bessser: erhöht man x um 1) so geht man die Steigung k rauf
(oder runter, wenn k negativ ist).
Man erhält so den wichtigen Zusammhang bei linearen Funktionen (sozusagen ein
charakteristisches Merkmal):
f(x+1)=f(x)+k
Geht man um 2 nach rechts, so geht man 2 mal die Steigung nach oben (oder unten):
f(x+2)=f(x)+2k
und allgemein:
f(x+Δx)=f(x)+k Δx
oder umgeformt:
k
f ( x  x)  f ( x)
y
oder eben k 
x
x
4
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Anwendung:
Bestimmung von k und d, wenn 2 Punkte gegeben sind
(lineare Funktion vorausgesetzt).
k
y 3 1

x = 6 2
Man “setzt“ nun einen beliebigen
Punkt der Geraden in die
Funktionsgleichung ein:
Ich wähle hier den Punkt P.
1
y  xd
2
1
2  1 d
2
daraus folgt d=1,5
Lösung:
1
y  x  1,5
2
Anwendung von
f(x+Δx)=f(x)+k Δx
f(x)=2x + 3 ,
1
7
P  Q 
5 ,  ? 
Δx=6, also
f(1 + 6) = 5 + 2  6 = 17
also
7
Q 
17 
natürlich könnte man auch einfach f(7) bestimmen, was wiederum 17 ergibt.
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Hätten Sie in der Angabe nur die Steigung 2 gegegen, aber nicht den ganzen Funktionsterm,
so ist die obige Formel sehr hilfreich.
Eine weitere, sehr praktische Schreibweise von linearen Funktionen ist die
sogenannte
Achsenabschnittsform
x y
 1
a b
a und b sind die eingezeichneten „Achsenabschnitte“
Die Steigung einer in der Achsenabschnittsform gegebenen Geraden lautet
b
b
b
oder
oder 
a
a
a
Übung: Begründen Sie das mit Hilfe der Graphik:
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Beispiel:
x y
 1
4 5
Beispiel:
x y
 1
4 5
Umformen zu
x
y
 1
4 5

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Beispiel:
x y
 2
4 5
Umformen, bis rechts gleich 1
x y
 1
8 10
Beispiel:
5 x  4 y  20 |: 20
x y
 1
4 5
Nullstellen einer linearen Funktion
Nullstellen bedeuten y=0, also Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse.
Wiederum ist hier die Achsenabschnittsform sehr praktisch:
x y
 1
4 5
Daraus folgt Nullstelle bei 4 (=a).
Ist die Funktion gegeben als
f ( x)  k  x  d
oder
y kxd
so „setzt man die Funktion Null“, schreibt also statt f(x) den Wert 0.
Beispiel:
f(x)=2x+4
0=2x+4, woraus x=-2 folgt. Die Nullstelle liegt also beim Punkt
  2
N  
 0 .
Wann hat eine lineare Funktion keine Nullstelle?
Wenn k=0 und d ungleich 0.
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Verwendete GeoGebra-Arbeitsblätter:
auf:
abendgymnasium.schule.at
Mathematik/Dominik/math&comp/lineare Funktion
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