AufgabeBesucherzahl - Schule bei Feldhoff

Dr. J. Feldhoff, GK Q1
Beispielaufgabe zur 1. Mathematik-Klausur
Eine Ausstellung eröffnet um 11 Uhr vormittags und schließt um 15 Uhr. Die Anzahl der
Besucher kann näherungsweise durch die Funktion f (t)  12,5t 5  125t 4  250t 3  400 in
dem Intervall  1  t  3 beschrieben werden. Die Zeit t wird in Stunden gemessen, wobei
t = –1 für 11 Uhr und t = 3 für 15 Uhr steht.
1. Stellen Sie den Verlauf der Besucherzahlen grafisch dar. Benutzen Sie dazu Ihren
Taschenrechner und skizzieren Sie den Verlauf im Heft nach.
2. Skizzieren Sie ohne Berechnung qualitativ den Verlauf der Ableitungsfunktion von f.
3. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt innerhalb des angegebenen Zeitraums, zu dem
die Besucherzahl a) am größten, b) am kleinsten ist. Untersuchen Sie, ob der vom
Veranstalter vorgesehene Platz für 1000 Besucher ausreichend ist.
4. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt innerhalb des angegebenen Zeitraums, zu dem
die Besucherzahl a) am stärksten zunimmt, b) am stärksten abnimmt.
5. Jemand behauptet, es seien zeitweise 30 Besucher pro Minute in die Ausstellung
geströmt. Überprüfen Sie die Behauptung rechnerisch.
6. Bestimmen Sie rechnerisch innerhalb des angegebenen Zeitraums das Krümmungsverhalten und die Wendepunkte des Graphen. Erläutern Sie deren Bedeutung im
Sachkontext.
Dr. J. Feldhoff, GK Q1
Lösung
1.
2.
Flachpunkte1 von f liegen erkennbar bei
t = 0 und t = 2. Ansonsten ist die Ableitung
in [–1;2] positiv und in [2;3] negativ. Am
Sattelpunkt von f (also bei t = 0) hat f‘ ein
lokales Minimum, am anderen Wendepunkt
( t  1,25 ) hat f‘ ein lokales Maximum. Der
Graph kann damit qualitativ auch ohne
Taschenrechner bestimmt werden.
3.
Gesucht sind hier der größte und der kleinste Wert von f innerhalb des angegebenen
Intervalls und die zugehörigen Zeitpunkte. Dazu muss man die Werte von f an den Randstellen und an den Nullstellen von f  zwischen –1 und 3 zum Vergleich heranziehen.
Die Randstellen des Intervalls sind –1 und 3 mit f (1)  12,5 und f (3)  62,5 .
f (t)  62,5t 4  500 t 3  750 t 2  62,5t 2  (t 2  8 t  12) .
Nullstellen von f  sind t1 = 0, t2 = 2 und t3 = 6 (p-q-Formel!), aber 6 liegt nicht im
vorgegebenen Intervall [–1;3].
Vergleich der Werte: f (0)  400 , f (2)  800 , f (1)  12,5 , f (3)  62,5 .
Daraus ergibt sich: Die höchste Besucherzahl wird um 14 Uhr (t = 2) erreicht mit 800
Besuchern. Die niedrigste Besucherzahl wird um 11 Uhr (t = –1) erreicht mit ca. 13
Besuchern. Der Platz für 1000 Besucher ist also ausreichend.
1
(t|f(t)) heißt Flachpunkt von f, wenn f‘(t)=0 ist. „Flachpunkt“ ist also ein Oberbegriff für Hochpunkt, Tiefpunkt
oder Sattelpunkt.
Dr. J. Feldhoff, GK Q1
4.
Gesucht sind hier der größte und der kleinste Wert von f  innerhalb des angegebenen
Intervalls und die zugehörigen Zeitpunkte. Dazu muss man die Werte von f  an den
Randstellen und an den Nullstellen von f  zwischen –1 und 3 zum Vergleich
heranziehen.
Die Randstellen des Intervalls sind –1 und 3 mit f (1)  1312,5 und f (3)  1687,5 .
f (t)  250 t 3  1500 t 2  1500 t  250 t  (t 2  6 t  6)
Nullstellen von f  sind t1 = 0, t2 = 3  3 und t3 = 3  3 (p-q-Formel!), aber 3  3
liegt nicht im vorgegebenen Intervall [–1;3]. Wir benutzen 3  3  1,27 .
Vergleich der Werte: f (1)  1312,5 , f (0)  0 , f (1,27)  348,1 , f (3)  1687,5 .
Daraus ergibt sich: Die stärkste Besucherzustrom liegt bei der Eröffnung der Ausstellung
um 11 Uhr mit ca. 1313 Personen pro Stunde bzw. ca. 22 Personen pro Minute. Die
stärkste Abnahme der Besucherzahlen liegt bei Schließung der Ausstellung um 15 Uhr
mit ca. 1688 Personen pro Stunde bzw. ca. 28 Personen pro Minute.
5.
Die Behauptung ist falsch, da der maximale Zustrom ca. 22 Personen pro Minute
beträgt.
6.
Für  1  t  0 ist f (t )  0 (z.B. f (1)  3250 )  Rechtskrümmung
Für 0  t  1,27 ist f (t )  0 (z.B. f (1)  250 )  Linkskrümmung
Für 1,27  t  3 ist f (t )  0 (z.B. f (2)  1000 )  Rechtskrümmung
Wendepunkte im angegebenen Intervall sind (0|400) und (1,27|627,5).
Bedeutung im Sachkontext (die Angaben in Klammern sind optionale Ergänzungen):
Die Änderungsrate der Besucherzahl nimmt von 11 bis 12 Uhr ab (von anfangs ca. 22
Personen pro Minute bis auf 0), steigt dann bis ca. 13.16 Uhr (t = 1,27) wieder an (auf ca.
6 Personen pro Minute) und nimmt von da an nur noch ab. (Ab 14 Uhr ist die
Änderungsrate negativ, d.h. es verlassen mehr Personen die Ausstellung als
hinzukommen. Am Ende verlassen ca. 28 Personen pro Minute die Ausstellung.)
Bei t = 0 liegt ein lokales Minimum der Änderungsrate (aber nicht das globale
Minimum), bei t = 1,27 liegt ein lokales Maximum der Änderungsrate (aber nicht das
globale Maximum).